張?zhí)N祿 霍秋萍 (山東省實(shí)驗(yàn)中學(xué)東校 250109)

要問當(dāng)下高中數(shù)學(xué)教學(xué)最流行的話題是什么，我們幾乎會(huì)異口同聲地說：“數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)．”高中數(shù)學(xué)課堂刮起了數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的東風(fēng)，高中數(shù)學(xué)教學(xué)要以發(fā)展學(xué)生學(xué)科核心素養(yǎng)為導(dǎo)向，新高考也將從能力立意轉(zhuǎn)到素養(yǎng)導(dǎo)向．整個(gè)高中數(shù)學(xué)教學(xué)的方方面面仿佛都沉浸在核心素養(yǎng)的海洋之中，教師備課、上課、聽課、評課、做課題研究、寫文章等每一個(gè)環(huán)節(jié)只要少了“核心素養(yǎng)”就好像已經(jīng)落伍了．然而在一次考試中有兩個(gè)題目，學(xué)生的解答與現(xiàn)實(shí)生活實(shí)際完全吻合，只是由于與評分標(biāo)準(zhǔn)提供的“標(biāo)準(zhǔn)答案”不同而不能得分，這引發(fā)了筆者的關(guān)注和思考．很多根深蒂固的習(xí)慣性做法使數(shù)學(xué)應(yīng)用變得舉步維艱，甚至背離了方向．?dāng)?shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)要真正落地生根，甚至開花結(jié)果，我們?nèi)沃囟肋h(yuǎn)．

1 沒有得分的正確答案

例1有4張卡片，正反兩面上分別標(biāo)有1和2，3和4，5和6，7和8.選其中3張并排在一起組成三位數(shù)，不同的三位數(shù)有多少個(gè)？

例1是某次考試中的一個(gè)題目，評分標(biāo)準(zhǔn)提供的標(biāo)準(zhǔn)答案為下面的解法1．

解法1 完成這件事共分3個(gè)步驟：第一步，選擇一個(gè)數(shù)放在首位上，有8種不同的選擇；第二步，再從剩下的6個(gè)數(shù)中選一個(gè)數(shù)放在第二位上，有6種選擇；第三步，再從剩下的2個(gè)數(shù)中選一個(gè)數(shù)放在第三位上，共有2種選擇．于是可構(gòu)成8×6×4=192個(gè)不同的三位數(shù)．

閱卷時(shí)發(fā)現(xiàn)，個(gè)別學(xué)生解答時(shí)用的是下面的解法2．

解法2 阿拉伯?dāng)?shù)字“6”倒過來可作“9”用．若不用卡片“5,6”，有6×4×2=48種.若用卡片“5,6”，這張卡片可提供5,6,9三個(gè)數(shù)字共3種情況，然后再選擇一個(gè)位置放好共3種情況；還剩下2個(gè)位置、3張卡片，有6×4=24種.于是一共可組成不同的三位數(shù)有48+3×3×24=264個(gè)．

筆者認(rèn)為解法2符合客觀存在，應(yīng)該得全分，課堂教學(xué)時(shí)也是這樣處理的．可結(jié)果是由于解法2與標(biāo)準(zhǔn)答案不同而不能得分．無論筆者如何“申辯”，還是不能得到閱卷組長的認(rèn)同．其理由是題目中沒有注明“6”可作“9”用．考試以后學(xué)生紛紛質(zhì)疑筆者，為什么不能得分、到底什么情況下“6”可作“9”用．筆者無奈，只能極不情愿地告訴學(xué)生，只有在題目有說明的情況下“6”方可作“9”用并能得分．同樣的問題還發(fā)生在下面的例2．

例2對某種產(chǎn)品的6件不同的正品和4件不同的次品一一進(jìn)行測試，直到區(qū)分出所有的次品為止，若所有次品恰好到第6次測試時(shí)被全部發(fā)現(xiàn)，則這樣的測試方法有多少種可能？

例2也是該次考試中的一個(gè)題目，評分標(biāo)準(zhǔn)提供的標(biāo)準(zhǔn)答案為下面的解法1．

與例1類似，閱卷時(shí)有個(gè)別學(xué)生解答時(shí)用的是下面的解法2．

例2是各類教輔資料和網(wǎng)絡(luò)上的一個(gè)常見問題，所提供的解法也多為解法1．與例1類似，解法2也是由于與標(biāo)準(zhǔn)答案不同而不能得分．這次閱卷組長拿出了一本教輔資料上的一道例題及其解法作為依據(jù)．

例3某產(chǎn)品有3只次品，7只正品，每次取出1只測試，取后不放回．求：

(1) 3只次品恰好到第5次全部被測出的概率；

(2) 3只次品恰好到第k次全部被測出的概率P(k)的最大值與最小值．

(3≤k≤10)．

筆者認(rèn)為例3的解法1是不妥當(dāng)?shù)模舻?次發(fā)現(xiàn)第3件次品，或者前7次發(fā)現(xiàn)的全部是正品(剩下的3只就是3件次品)，都應(yīng)該叫3只次品恰好到第7次全部被測出；第8次發(fā)現(xiàn)第3只次品，或者說前8次中有一件次品，都屬于3只次品恰好到第8次全部被測出；第9次發(fā)現(xiàn)第3只次品，或者說前9次中有2件次品，都屬于3只次品恰好到第9次全部被測出；k的取值范圍應(yīng)為3≤k≤9．例3第(2)問的正確解法應(yīng)為下面的解法2．

但無論筆者如何解釋，閱卷組長還是沒有同意，并且許多閱卷教師也提出了反對意見，甚至有部分教師認(rèn)為包括例1在內(nèi)筆者是在“強(qiáng)詞奪理、鉆牛角尖”．最終結(jié)果是例2采用解法2的學(xué)生被判零分．筆者認(rèn)為例1、例2的解法2與現(xiàn)實(shí)生活實(shí)際完全吻合，在現(xiàn)實(shí)世界中也是“真實(shí)存在”的．這種正確解法不能得分使筆者陷入極端的困惑之中，并由此聯(lián)想到了中國足協(xié)由于考慮不周而引發(fā)的幾起“鬧劇”．

2 中國足球史上的幾起“鬧劇”

許多球迷朋友知道，中國足協(xié)經(jīng)常制定出漏洞百出、令人啼笑皆非的規(guī)則和政策．這些規(guī)則和政策使得各種“鬧劇”時(shí)有發(fā)生，諸如“6,9風(fēng)波”“洗牌門”“輸球進(jìn)中超”等．

1999年中乙決賽遭遇了排名難題，中國足協(xié)不得不從小組比賽并列第二名的毅騰連鐵和綿陽豐谷中通過抽簽決定其中一支隊(duì)伍晉級八強(qiáng)．當(dāng)時(shí)郎效農(nóng)主任的具體做法是讓兩隊(duì)代表分選“單”“雙”，然后各從0至9的數(shù)字中抽出一數(shù)相加，如果和是單數(shù)，那么選“單”者獲勝，如果和是雙數(shù)，選“雙”者獲勝．結(jié)果在抽簽當(dāng)場選擇單數(shù)的毅騰教練王軍將紙條交給郎效農(nóng)后，郎效農(nóng)當(dāng)場詢問王軍數(shù)字，王軍答曰“9”．由于此時(shí)綿陽隊(duì)總經(jīng)理李海生目睹了整個(gè)問答過程，隨即答道：“綿陽隊(duì)也是9．”正是依靠這個(gè)似是而非的9(也可能是6)綿陽隊(duì)晉級．事后毅騰連鐵向足協(xié)提出了申訴，一時(shí)間兩個(gè)阿拉伯?dāng)?shù)字“6”和“9”搞得足協(xié)焦頭爛額．

2003年末代甲A，中國足協(xié)定下一個(gè)特殊的沖超規(guī)則，即捆綁式中超資格積分公式：中超資格積分=2002年的排名×0.5+2003年的排名．這個(gè)看似理想的計(jì)算方法，卻差一點(diǎn)使“輸球進(jìn)中超”成為現(xiàn)實(shí)．因?yàn)榘凑者@一特殊規(guī)則，最后一輪重慶隊(duì)只有輸給青島隊(duì)(無論輸贏，重慶隊(duì)都是2003年的倒數(shù)第二名)，在天津隊(duì)輸球的前提下就會(huì)通過提高青島隊(duì)的名次而擠掉天津隊(duì)，重慶隊(duì)若是贏球則徹底失去沖超希望．于是出現(xiàn)了震驚中國足壇、在世界足壇也是極為罕見的“輸球保級戰(zhàn)”鬧?。疫\(yùn)的是最后一輪天津隊(duì)贏了球保住了進(jìn)入中超的資格，才避免了貽笑大方的結(jié)局發(fā)生．

2008年中國足協(xié)針對武漢光谷的退出制定了一個(gè)有巨大漏洞的規(guī)則：所有比賽都判武漢0∶3輸，但這些比賽都算正常比賽．上海申花隊(duì)很好地利用了這一規(guī)則漏洞，在與山東魯能隊(duì)的比賽中(下一輪申花要對陣已退出的武漢光谷，只要湊夠4張黃牌，就可以在不用比賽的情況下消掉身上的黃牌)申花隊(duì)一共主動(dòng)申請到10張黃牌和1張紅牌．這就是震驚中國足壇的申花隊(duì)“洗牌門”事件．

事實(shí)上，中國足壇的每一起鬧劇都是由中國足協(xié)考慮不周全、不細(xì)致、主觀臆斷，忽視了某些“客觀存在”造成的．如果制定規(guī)則時(shí)把各種“客觀存在”考慮得再縝密周全一些，類似鬧劇是完全可以避免的．

3 由正確答案不能得分引發(fā)的思考

3.1 不要讓歷史的鬧劇重演

筆者為何花費(fèi)如此多的篇幅介紹中國足協(xié)由于考慮不周而犯的低級失誤，一個(gè)重要原因就是這些鬧劇的發(fā)生難道與我們的學(xué)校教育沒有關(guān)系嗎？另一個(gè)原因是難道我們還要讓類似的鬧劇再度上演嗎？誠然，如果例2中提示“6可作9用”，許多學(xué)生就會(huì)考慮到這一點(diǎn)．同樣的道理，如果當(dāng)時(shí)有人給郎效農(nóng)主任注明“6可作9用”，那郎主任還會(huì)犯如此低級的錯(cuò)誤嗎？如果題目中沒有注明，學(xué)生卻想到了，那才是難能可貴的．筆者相信這樣的學(xué)生將來走向社會(huì)是不會(huì)犯“足協(xié)式錯(cuò)誤”的，即便是抽阿拉伯?dāng)?shù)字也會(huì)把6與9單獨(dú)作一下標(biāo)記以示區(qū)別．現(xiàn)實(shí)生活中存款、貸款、打借條等我們習(xí)慣于用中國大寫數(shù)字而非阿拉伯?dāng)?shù)字，一個(gè)主要原因就是阿拉伯?dāng)?shù)字容易被涂改．

筆者認(rèn)為，例1的解法1是一個(gè)正常思維結(jié)果，答案是對的，但不能說好．解法2不僅是對的，而且比解法1要更好．若前者得滿分10分的話，后者應(yīng)得12分，因?yàn)檫@是有創(chuàng)造性的答案．按例3的解法1，要找出3件次品的實(shí)驗(yàn)次數(shù)k的取值范圍為3≤k≤10．如果某人抽9次都不能找出所有次品，非要10件產(chǎn)品全部取出才能找出3件次品，我們只能說這個(gè)學(xué)生有點(diǎn)“二”，這樣的學(xué)生踏入社會(huì)后很難說不會(huì)重復(fù)“足協(xié)式錯(cuò)誤”．如果說例1的解法1可以說對而不能說好，例2的解法1就應(yīng)該是一個(gè)錯(cuò)誤的解答．學(xué)生用例1與例2解法2的方式思考問題，決不是鉆牛角尖，而是思維的廣闊性更強(qiáng)，考慮問題更縝密周全．

3.2 數(shù)學(xué)應(yīng)用的本質(zhì)是數(shù)學(xué)為社會(huì)實(shí)踐服務(wù)

數(shù)學(xué)是刻畫自然規(guī)律與社會(huì)規(guī)律的科學(xué)語言和有效工具．荷蘭數(shù)學(xué)家弗賴登塔爾指出：“數(shù)學(xué)源于現(xiàn)實(shí)，就必須寓于現(xiàn)實(shí)，并且用于現(xiàn)實(shí)．”數(shù)學(xué)應(yīng)用的本質(zhì)是數(shù)學(xué)為社會(huì)實(shí)踐服務(wù)，是用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界，用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)世界，用數(shù)學(xué)的思維分析世界，而不是實(shí)際問題符合于數(shù)學(xué)模型(或者說讓實(shí)際問題遷就數(shù)學(xué)模型)，這應(yīng)該成為數(shù)學(xué)應(yīng)用教學(xué)的立足點(diǎn)．當(dāng)然，數(shù)學(xué)教學(xué)中讓實(shí)際問題服務(wù)于我們的教學(xué)這是無可厚非的，但這不能背離了數(shù)學(xué)服務(wù)于社會(huì)實(shí)踐的本質(zhì)．也就是說數(shù)學(xué)應(yīng)用教學(xué)是運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題，應(yīng)該以實(shí)際問題為中心，而不是以數(shù)學(xué)為中心、教學(xué)為中心．有了這樣的立足點(diǎn)我們的數(shù)學(xué)建模與應(yīng)用才能落到實(shí)處，才能不流于形式．

3.3 真情實(shí)景是編擬數(shù)學(xué)應(yīng)用問題的基本原則

根據(jù)數(shù)學(xué)知識(shí)來編擬應(yīng)用問題本無可厚非，因?yàn)樵跀?shù)學(xué)教學(xué)中數(shù)學(xué)的應(yīng)用也不是盲目應(yīng)用，而是根據(jù)所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)有針對性地進(jìn)行．但是數(shù)學(xué)應(yīng)用問題必須是從實(shí)際中來，必須與實(shí)際問題相吻合，呈現(xiàn)給學(xué)生的應(yīng)用問題必須是真情實(shí)景，而不是主觀臆造．

文[1]提出了高考要以真情實(shí)景落實(shí)“五育并舉”，而編擬數(shù)學(xué)問題必須突出真情實(shí)景．2019年高考文科、理科全國卷Ⅰ第4題以著名雕塑“斷臂維納斯”為例，探討人體黃金分割之美．2019年高考文理、理科全國卷Ⅱ第16題，融入了中國金石文化，賦予幾何體的真實(shí)背景．這些典型的應(yīng)用問題都給人一種真情實(shí)景之感．

例41936年美國權(quán)威的《文學(xué)文摘》雜志社，為了預(yù)測總統(tǒng)候選人民主黨羅斯福與共和黨蘭登兩個(gè)誰能當(dāng)選，以電話簿上的地址和俱樂部成員名單上的地址發(fā)出1 000萬封信，收回回信200萬封，花費(fèi)了大量的人力物力．雜志社相信自己的調(diào)查結(jié)果——蘭登將以57%對43%的比例獲勝，并進(jìn)行大力宣傳，最后選舉的結(jié)果卻是羅斯福以62%對38%的巨大優(yōu)勢獲勝連任總統(tǒng)．這個(gè)調(diào)查使《文學(xué)文摘》雜志社威信掃地，不久只得關(guān)門?？垎栠@家雜志社預(yù)測失敗的原因是( )．

A．抽樣的樣本容量太小

B．收回回信比例太小

C．調(diào)查結(jié)果公布過早，結(jié)果公布后羅斯福團(tuán)隊(duì)擴(kuò)大宣傳實(shí)現(xiàn)逆襲

D．抽樣具有片面性，沒有保證每個(gè)選民被抽到的概率相等

例4以歷史真實(shí)事件為背景，是真情實(shí)景的典型案例，解答時(shí)運(yùn)用統(tǒng)計(jì)知識(shí)方法來分析．這是典型的用數(shù)學(xué)的思維來分析世界．

3.4 客觀存在應(yīng)成為應(yīng)用問題的評判依據(jù)

考試應(yīng)該有答案，也應(yīng)該有評分標(biāo)準(zhǔn)，這是無可爭議的．我們經(jīng)常說要敢于向權(quán)威質(zhì)疑，我們完全可以向命題人提供的“標(biāo)準(zhǔn)答案”質(zhì)疑．另一方面，不同的人從不同的角度來思考可以得出不同的結(jié)論，這是極為正常的一件事情，為什么成千上萬的學(xué)生都要和命題人從同一角度思考問題？特別是一些與現(xiàn)實(shí)生活密切相關(guān)的實(shí)際問題，從不同角度考慮往往會(huì)得出不同的答案．

例5一排共12個(gè)停車位置，今有8輛車需要停放，要求空位連在一起，則停車方法有．

在解答例5時(shí)，也出現(xiàn)了兩種不同的解法：

顯然，解法1是把8輛車看做不同的車，解法2是把8輛車視作相同的車．筆者認(rèn)為，從不同的角度都有其道理．若從停車場管理員的角度去考慮，往往管理員不考慮車的不同，不管這輛是“奧迪”、那輛是“大眾”，他只關(guān)心哪個(gè)位置停了車，哪個(gè)位置還空著．從此角度分析，把所有的8輛車視作相同的車是完全合理的．若從另一角度去分析，例如你和朋友一行共8輛車需要停放在停車場，此時(shí)停車不僅要考慮哪幾個(gè)位置停放，還要考慮哪個(gè)位置停放的是哪輛車，就應(yīng)該把車視作不同的了．

例6如圖1，要在河邊修建一個(gè)水泵站，分別向張村、李莊送水，修在河邊什么地方可使所用水管最短？

這是初中課本的一個(gè)傳統(tǒng)、典型的應(yīng)用題．很顯然，這是根據(jù)對稱點(diǎn)的性質(zhì)編擬出來的，其答案就是圖1中的點(diǎn)C．而有位學(xué)生提出:如果DA+AB

圖1

據(jù)筆者了解，許多供水問題正是按照這位學(xué)生提出的供水方案來完成的．也就是說，課本提供的答案與實(shí)際情況是有出入的．不過學(xué)生在解答時(shí)若選擇點(diǎn)D肯定是與答案不符的．

所以我們在處理有關(guān)數(shù)學(xué)應(yīng)用問題時(shí)可能會(huì)出現(xiàn)多種“正確答案”并存的現(xiàn)象．如果我們被所謂的“標(biāo)準(zhǔn)答案”束縛著，在教學(xué)中充斥著不是“對”就是“錯(cuò)”，不管實(shí)際問題的實(shí)際背景，教條式地解讀已知條件，這樣的教育能培養(yǎng)出創(chuàng)造性人才嗎？

求解數(shù)學(xué)應(yīng)用問題離不開數(shù)學(xué)知識(shí)和方法，但判罰的依據(jù)應(yīng)該是與實(shí)際問題的吻合程度，只要是存在的就應(yīng)該是合理的．這應(yīng)該成為廣大數(shù)學(xué)教師在教學(xué)、閱卷等活動(dòng)中共同遵守的一個(gè)基本原則．有了這樣一個(gè)原則，閱卷時(shí)出現(xiàn)的許多棘手問題就有了一個(gè)判罰的依據(jù)；有了這樣一個(gè)原則，我們面對學(xué)生諸如“什么時(shí)候能用”的疑問時(shí)，也就有了答疑解惑的依據(jù)．

4 結(jié)束語

數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)以真情實(shí)景、客觀存在為本落實(shí)數(shù)學(xué)的應(yīng)用，讓數(shù)學(xué)真正為社會(huì)實(shí)踐服務(wù)．如果我們無視客觀存在，唯數(shù)學(xué)論，將來還會(huì)出現(xiàn)新的意想不到的鬧劇．到那時(shí)再來反思我們的教學(xué)、反思我們的學(xué)校教育是不是已經(jīng)晚矣．