江蘇省興化市楚水實驗學校 袁小強 （郵編：225799）

課堂的預設是指教師為了有效地開展課堂教學，完成計劃中的教與學的任務，教師對課堂中即將發(fā)生的活動計劃達成的目標進行預先的設計與勾畫.事實上，教師在實施課堂教學時，經(jīng)常遇到一些“意外”，也就是教師課堂預設之外，而這種意外往往是在建構(gòu)數(shù)學概念之前，也是新知識生成之時，教師要善于抓住這樣的“拐點”，將“節(jié)外生枝”變成“意外的精彩”，教學原本就是即席創(chuàng)造，這樣讓課堂變得有趣，充滿對智慧的挑戰(zhàn)和對好奇心的刺激，使師生的生命力得到充分發(fā)揮、張揚.

1 課堂意外生成

上新授課《拋物線的標準方程》，在探究拋物線的定義時，給出一個數(shù)學小實驗，提問：從做的數(shù)學小實驗中，你發(fā)現(xiàn)了哪些關系？生 1：PF+PA＝定值，這是一個意外，原來設想學生可以很快找到PF＝PC，從而輕松得到拋物線的定義.既然學生提出了，也可以探究一下，先不打算調(diào)整學生的思路，嘗試一下是否可以走下去，追問：和為定值，前面貌似研究過，應該是什么曲線？學生小聲地說：橢圓.繼續(xù)追問：是橢圓嗎？但畫出來是什么？學生回答：拋物線.質(zhì)疑：那怎么矛盾了啊？哪里出問題了？

2 引發(fā)師生研討

學生在沉思，激發(fā)了學生的學習興趣.師：帶著這個問題，重新回看一下剛剛看的數(shù)學實驗，小組討論一下.生2：A點也在動，不是橢圓，橢圓定義是到兩個定點的距離，F(xiàn)點是定點，A點是動點.師：很好，現(xiàn)在發(fā)現(xiàn)和橢圓的定義不矛盾了，可以繼續(xù)研究拋物線的方程嗎？剛剛同學已經(jīng)找到了關系：PF+PA＝定值，但是點A在動，還能繼續(xù)研究嗎？

3 摸著石頭過河

生3：可以研究，雖然A點在動，但是A點在一條定直線上.師：既然可以繼續(xù)研究，嘗試一下，要研究拋物線的方程一般步驟是什么？生4：建系，設點，列式，代點，化簡.師：很好！怎么建立合理的平面直角坐標系呢？生4：顯然以拋物線的頂點為原點建立，這樣拋物線的方程最簡單.師：很好！那就按照你的方式建系.要研究P點軌跡，先設一些已知量，設PF+PA＝2a，F(xiàn)點是定點，可設為F（c，0），A點在定直線x＝m上，大家自己嘗試研究一下P點的軌跡方程.生5： 設P（x，y），由PF+PA＝2a，可 得移 項 平 方 化 簡.師：很好！生 5：平方.師：能直接平方嗎？生4：大于零才能，有絕對值，先去絕對值，分類討論.當x≥m時，要 保 證 2a+mx≥0，也就是m≤x≤m+2a時，平方化簡得y2＝（2c-4a-2m）x+（2a+m）2-c2，當x＜m時要保證x+2a-m≥0，也就是m-2a≤x＜m時，平方化簡 得y2＝（4a-2m+2c）x+（2a-m）2-c2，綜上：當m≤x≤m+2a時，P點的軌跡方程為：y2＝（2c-4a-2m）x+（2a+m）2-c2，當m-2a≤x＜m時，P點的軌跡方程為：y2＝（4a-2m+2c）x+（2a-m）2-c2.師：很好！這樣我們畫出的圖形是拋物線嗎？生6：顯然不是，由于m、a是定值，x的范圍是[ ]m-2a，m+2a也定了，而拋物線是可以無限延伸的.師：非常好！為何出現(xiàn)這種狀況？生6：繩子長度定了，有限制.師：這樣研究有局限性，和我們拋物線圖形不符合，我們可以換個思路來研究P點的軌跡方程嗎？

4 回到問題本身

師：我們回頭繼續(xù)再來看題目：除了PF+PA＝定值，還有其他關系嗎？生7：CP+PA＝定值.師：找到兩組等量關系，怎么研究P點的軌跡更方便呢？生7：PF＝CP.師：為什么這樣研究更方便呢？生7：F點是定點，C點在定直線l上.師：剛剛生2也說F點是定點，A點在定直線上，一樣嗎？生7：不一樣，剛剛是和為定值，現(xiàn)在是等量關系，化簡更簡單.師：很好！化簡是更簡單些，還有其他理由嗎？生8：定值有限制，PF＝CP無限制，剛剛研究的只能在[]m-2a，m+2a，現(xiàn)在可以跳出繩子的長度限制條件.師：生8用了個“跳出”，很好！這樣我們和A點沒關系了，只需滿足PF＝CP，你想象一下，這樣的點是不是可以無限延伸？接下來我們研究拋物線的方程.生9：以拋物線的頂點為原點建系，設F（c，0），則直線l:x＝-c，設P（x，y），由PF＝CP，得師：需要取絕對值分類討論嗎？生9：不需要，直接平方化簡得y2＝4cx.師：很好！大家比較一下以上兩種方法，哪種研究拋物線更方便？生：第二種.師：大家現(xiàn)在可以給出拋物線的定義嗎？生10：PF＝CP，也就是到一個定點和到一定直線距離相等的點的軌跡是拋物線.師：很好！生10不僅用數(shù)學符號語言刻畫了拋物線定義，同時還用自然文字語言刻畫了，記得研究橢圓和雙曲線時有限制條件，那么你認為拋物線需要補充嗎？生11：定點不能就在定直線上.師：如果定點在定直線上時，軌跡是什么？生11：過點F垂直于直線l的直線.

5 生成核心概念

師：很好！現(xiàn)在可以給出拋物線的定義：平面內(nèi)與一個定點F和一條定直線l（l不經(jīng)過點F）的距離相等的點的軌跡叫做拋物線.點F叫做拋物線的焦點，直線l叫做拋物線的準線.我們把焦點到準線的距離記作p，那么以上拋物線的標準方程就為：y2＝2px.問題：在建立橢圓、雙曲線的標準方程時，選擇不同的坐標系我們得到了不同的形式的標準方程.拋物線的標準方程有哪些不同的形式？請大家自主完成.（利用時間，制作幾何畫板）

6 辨析釋疑解惑

這時，生1有點疑惑，明明畫出的圖象是一樣的，怎么表達式不一樣還分段呢？師看出生1的表情：生1還有什么疑惑呢？生1：雖然繩子是有限制的，感覺圖象在繩子范圍內(nèi)應該是一樣的，所以表達式也一樣，為什么不一樣呢？師：既然生1有疑惑，有同學可以幫忙解決一下嗎？我們先研究當m-2a≤x＜m時，P點的軌跡方程為：y2＝（4a-2m+2c）x+（2a-m）2-c2的 情 況.生12：剛剛我們把量換了，c用表示的，得y2＝（4a-2m+p）x+（2a-m）2-（）2，a、m、p好像有關系.師：很好！大家結(jié)合圖形思考一下a、m、p有關系嗎？生13：我發(fā)現(xiàn)了，PF＝CP，那么2a＝m+，代入上式就得到：y2＝2px，和拋物線方程一樣.師：非常棒！三個量a、m、p其實它們有2a＝m+這個等量關系，通過代換消元就可以得到y(tǒng)2＝2px，但是僅限于m-2a≤x＜m，也就是直線x＝m的左側(cè)，其實P點也可以在x＝m的右側(cè)，只要保證PF+PA＝2a，大家用類似的方法處理一下.生1：當m≤x≤m+2a時，P點的軌跡方程為：y2＝（2c-4a-2m）x+（2a+m）2-（c）2，由 于c＜m，所 以x的系數(shù)2c-4a-2m＜0，也是拋物線，不是標準方程.師：非常好！你能猜想一下拋物線的開口方向嗎？生1：向左.師：直線x＝m的左側(cè)時軌跡是拋物線開口向右，直線x＝m的右側(cè)時軌跡是拋物線開口向左.生1：是一個封閉的曲線.師：很好！這是我們剛剛的猜想，我們用幾何畫板驗證一下我們大家的猜想.

教師展示動畫過程，思考：現(xiàn)在，你又有什么發(fā)現(xiàn)？和上面的代數(shù)研究有區(qū)別和聯(lián)系嗎？生1：我終于明白了.由于繩子長度是定值，所以圖象有限制，是個封閉的圖形，是又兩個拋物線構(gòu)成的，分別在直線的兩側(cè)，我開始沒發(fā)現(xiàn)直線右側(cè)也有圖象.

7 “意外”拓展思維

師：生1給了大家一個新的思考方向，新的視角，你是怎么想到的？生1：前面將來到兩定點距離之和，差的絕對值為定值，分別是橢圓和雙曲線，這里是到定點和定直線距離之和為定值.師：生1用的是類比的方法來研究的，我們還能提出哪些問題可以研究呢？生13：到定點和定直線距離差的絕對值為定值.師：很好！前面我們研究的是到兩個定點距離和、差為定值，我們還可以研究？生：積、商.師：非常棒！兩個定點距離之比為定值，只要不是1，就是前面研究的阿波羅尼斯圓，當然還可以平方和、平方差、立方和、立方差，兩點除了可以研究距離還可以研究什么？生14：斜率，向量.斜率的和差積商、向量數(shù)量積為定值等等.生14：兩個定點還可以變?yōu)槎c和定直線，到到定點和定直線距離之積、比、平方和、平方差為定值等等.師：太厲害了！有興趣的同學課后可以仿照研究橢圓、雙曲線、拋物線方程的方法嘗試著研究它們的軌跡方程.

8 課堂“意外”的反思

8.1 “意外”發(fā)展學生的高階思維能力

高階思維是指發(fā)生在較高認知水平層次上的心智活動或認知能力，這種思維能力是創(chuàng)新能力、問題解決能力、決策力和批判性思維能力的核心.從學習內(nèi)容角度看，數(shù)學課堂教學是高階思維培育的主陣地，必須將高階思維的培育融于日常的數(shù)學教學中.從教與學的方式角度看，培養(yǎng)高階思維，需要采用探究性學習、合作學習、小組討論等方式，需要提供以學習者為中心的環(huán)境，營造情境化的學習氛圍，展現(xiàn)基于過程的教學模式，注重知識生成和批判性思維的運用等.通過對問題的思考、探究、比較，對拋物線定義的辨析，發(fā)展學生的判性思維性思維能力.

8.2 “意外”發(fā)展學生的深度學習能力

美國心理學家布魯納說：“最好的動機莫過于學生對所學材料本身內(nèi)在的興趣，有新發(fā)現(xiàn)的自信感.”學生可以用自己的“發(fā)現(xiàn)”作為最高獎勵而推進學習的過程.“深度學習”是學習者學習新知識發(fā)展過程中，學會遷移學習知識，運用學習知識分析、解決問題，并在學習過程中不斷提升發(fā)展自身學習能力和素養(yǎng)的過程.學生在課堂上提出新的想法思路是，教師應當順勢引導學生思維，經(jīng)過大家熱烈的討論，思維碰撞，不斷探究、質(zhì)疑、補充、完善，最后得出拋物線的定義，概念教學應當借助知識的生成過程促使學生學會思考，讓學生學會學習，從而實現(xiàn)新課程倡導的“一切為了學生”的核心理念.

8.3 “意外”發(fā)展學生的主人翁意識

課堂教學過程超出了教師的預設，但這才是課堂的精彩之處，讓學生成為課堂的真正的主人，讓學生充分發(fā)揮主觀能動性，積極提出問題，主動參與探究，合作交流，學生在學習過程中實現(xiàn)再創(chuàng)造的過程，使學生的潛能和創(chuàng)造性得到發(fā)揮，培養(yǎng)了學生對自己的信心，喜歡去積極探究，刨根究底，會用數(shù)學的眼光觀察世界，會用數(shù)學的思維思考世界，會用數(shù)學的語言表達世界.