喬 梁, 李琳琳, 任俊超

(1. 北京科技大學 自動化學院, 北京 100083; 2. 東北大學 理學院, 遼寧 沈陽 110819)

奇異系統(tǒng)是由微分方程和代數方程共同構成,既能夠刻畫系統(tǒng)的動態(tài)行為,又能夠刻畫系統(tǒng)的靜態(tài)行為,區(qū)別于正常線性系統(tǒng),奇異系統(tǒng)具有的脈沖行為,以及對初始狀態(tài)的不相容性,使得有關研究變得復雜而富有新穎性.相比于正常系統(tǒng),奇異系統(tǒng)是更具有廣泛形式的一類動力系統(tǒng),存在于社會生產的眾多領域中,例如機器人系統(tǒng)、電力系統(tǒng)、經濟系統(tǒng)、宇航系統(tǒng)、電子網絡系統(tǒng)等,故對奇異系統(tǒng)進行研究具有十分重要的理論意義和實用價值[1-3].容許性(正則、無脈沖、穩(wěn)定)作為奇異系統(tǒng)正常運行的前提,是表征系統(tǒng)運動行為的一類重要結構特征.目前,針對奇異系統(tǒng)容許性的分析與綜合問題研究受到了控制學界的廣泛關注,并且得到了許多優(yōu)秀的理論結果[4-8].文獻[4]提出一種基于干擾觀測器的魯棒控制器,并利用李雅普諾夫穩(wěn)定性理論分析了閉環(huán)奇異系統(tǒng)的漸近穩(wěn)定性.文獻[5]研究一類不完全轉移率的Markov奇異系統(tǒng)的H∞控制問題,給出Markov跳變奇異系統(tǒng)的新型有界實引理以及狀態(tài)反饋控制方法設計.文獻[6]研究時滯矩形奇異系統(tǒng)的鎮(zhèn)定問題,通過引入時滯動態(tài)補償器對系統(tǒng)進行反饋補償,給出了以嚴格線性矩陣不等式表示的時滯矩形奇異系統(tǒng)的鎮(zhèn)定條件.文獻[7]基于二次型矩陣分析方法,給出了奇異凸多面體系統(tǒng)的容許性判據,并將理論結果推廣到具有時滯情形的系統(tǒng).文獻[8]設計基于觀測器的比例導數控制器,基于線性矩陣不等式提出模糊奇異系統(tǒng)容許的充分條件.

在實際系統(tǒng)的分析與設計時,系統(tǒng)的狀態(tài)變量通常是從系統(tǒng)外部不易直接測量獲得的,所以絕大部分情況下無法利用狀態(tài)反饋控制器實現系統(tǒng)鎮(zhèn)定與性能優(yōu)化.同時在系統(tǒng)狀態(tài)變量可以直接獲取時,相比于狀態(tài)反饋,對系統(tǒng)施加輸出反饋控制更能夠節(jié)約系統(tǒng)控制成本并提高系統(tǒng)可靠性.目前在輸出反饋控制器設計方法中,主要是用Lyapunov理論研究系統(tǒng)靜態(tài)輸出反饋鎮(zhèn)定問題,并結合線性不等式求解,但是其可解條件通常是一個雙線性矩陣不等式,這是一個NP-hard問題[9].文獻[10]中利用Lyapunov矩陣的合同變換求得系統(tǒng)的靜態(tài)輸出反饋控制器,其局限在于系統(tǒng)矩陣需要滿足限定條件.文獻[11]利用Finsler引理,通過增廣矩陣不等式維數,實現靜態(tài)輸出反饋控制器設計,增加了計算復雜性.文獻[12]利用輔助矩陣變量方法解決一類奇異系統(tǒng)輸出反饋控制設計問題,但是系統(tǒng)輸出矩陣要求是行滿秩的.文獻[13]通過將原系統(tǒng)輸出變量增廣為新系統(tǒng)的狀態(tài)變量方法,可以解除輸出反饋增益矩陣與系統(tǒng)輸入/輸出矩陣耦合關系,雖然避免出現雙線性矩陣不等式,但系統(tǒng)維數的擴大增加了計算的復雜度.文獻[14]通過輸出矩陣滿足矩陣等式約束,解決了一類隨機奇異系統(tǒng)的有限時間輸出反饋控制器設計中.

基于以上分析,本文利用矩陣跡不等式的理論,研究奇異系統(tǒng)容許性與靜態(tài)輸出反饋設計問題.首先給出了奇異系統(tǒng)容許的代數判據.并以此為基礎,設計靜態(tài)輸出反饋控制器保證閉環(huán)奇異系統(tǒng)容許,并給出相應算法完成控制器參數求解.本文所提方法規(guī)避已有結果中利用Lyapunov穩(wěn)定性理論結合線性矩陣不等式求解靜態(tài)輸出反饋增益矩陣面臨雙線性矩陣不等式的難點.同時該方法也可以應用到正常系統(tǒng)輸出反饋設計中.

1 問題描述

符號說明:

考慮如下的一類奇異系統(tǒng):

(1)

其中:x(t)∈Rn是狀態(tài)向量;u(t)∈Rm是控制輸入;y(t)∈Rp是測量輸出向量;E,A,B,C是給定的適維實數常矩陣,且

rank(E)=q≤n

定義1[1]考慮如下奇異系統(tǒng):

(2)

1) 系統(tǒng)(2)被稱為正則,如果存在s∈C,使得

det(sE-A)≠0;

2) 系統(tǒng)(2)被稱為無脈沖,如果

deg(det(sE-A))=rank(A);

3) 系統(tǒng)(2)被稱為穩(wěn)定,如果

σ(E,A)?C-;

其中:

C-={s|s∈C,Re(s)<0};

σ(E,A)={s|det(sE-A)=0} .

4) 系統(tǒng)(2)被稱為容許的,如果系統(tǒng)是正則、無脈沖且穩(wěn)定.

引理1[1]奇異系統(tǒng)(2)是無脈沖的充要條件為

(3)

引理2[15]設A∈Rn×n,且滿足

(4)

則A的特征值全部分布在復平面的左半部分.

引理3 如果矩陣E滿足rank(E)=q, 那么存在可逆矩陣U和正交矩陣V滿足:

(5)

證明 對矩陣E進行奇異值分解,有

(6)

其中:P,Q∈Rn×n是正交矩陣;E1∈Rq×q滿足

且σi>0,i=1,2,…,q是矩陣非零奇異值.然后選取

引理得證.

引理4[16]設A,B∈Rn×n,則有

1) tr{A+B}=tr{A}+tr{B};

2) tr{kA}=ktr{A};

3) tr{AT}=tr{A};

4) tr{AB}=tr{BA};

5) 若矩陣U∈Rn×n為可逆矩陣,那么

tr{U-1AU}=tr{A}.

引理5 如果矩陣V是正交矩陣,那么

tr{[H(VTAU)]2}=tr{[H(A)]2} .

(7)

證明 利用引理4中矩陣跡性質以及V為正交矩陣滿足VTV=I,可以推出

tr{H(VTAV)2}=

tr{VTH(A)VVTH(A)V}=

tr{VTH(A)H(A)V}=

tr{H(A)H(A)VTV}=

tr{H(A)H(A)}=tr{[H(A)]2}.

引理得證.

本文的目的是設計靜態(tài)輸出反饋控制器

u(t)=Ky(t)=KCx(t),

(8)

使得相應的閉環(huán)系統(tǒng)

(9)

是容許的.

2 主要結論

給出自治奇異系統(tǒng)(2)容許的代數判據,在此基礎上設計輸出反饋控制器實現閉環(huán)系統(tǒng)容許.

定理1對于自治奇異系統(tǒng)(2),如果滿足

(10)

tr{H(M-1AN-1T)}<

(11)

則自治奇異系統(tǒng)(2)是容許的.

其中:q=rank(E);M=E+A-AVUE;N=E+A-EVUA;T=M+N-2E-EVUAVUE; 矩陣U和V如式(5)中所示.

證明 根據引理3,存在可逆矩陣U和正交矩陣V滿足:

(12)

(13)

由引理1,推出系統(tǒng)(2)是無脈沖的.再由式(10),結合式(12),(13),可得

2q+rank(A4)=

n+rank(E)=n+q.

(14)

這時rank(A4)=n-q,且A4∈R(n-q)×(n-q),即A4是可逆矩陣.

進一步,考慮到

det(s0E-A)=

det(U-1)det(V-1) .

(15)

因此系統(tǒng)(2)是正則的.

下面證明系統(tǒng)(2)是穩(wěn)定的.考慮系統(tǒng)狀態(tài)變換如下:

然后,對系統(tǒng)(2)進行受限等價變換,可以推出

(16)

考慮到是可逆的,進行整理可得

(17)

接下來,考慮到

UMV=UEV+UAV-UAVUEV=

以及

計算可得

VTM-1AN-1TV=

VTM-1U-1UAVVTN-1U-1UTV=

(UMV)-1UAV(UNV)-1UTV=

則有

tr{H(M-1AN-1T)}=tr{VTH(M-1AN-1T)V}= tr{H(VTM-1AN-1TV)}= tr{H(A*)}+tr{H(In-q)}= tr{H(A*)}+n-q.

(18)

再利用引理5,可得

(19)

利用式(11),可以推出

(20)

det(sE-A)=0與det (sIq-(A1-

綜上,系統(tǒng)(2)是容許的.

注1 利用矩陣跡的不等式,定理1給出了奇異系統(tǒng)容許的代數判據.相對于文獻[3]中的基于線性不等式的容許性判定定理需要尋求矩陣P滿足不等式

(21)

定理1只需要計算系統(tǒng)矩陣的矩陣跡和矩陣秩來完成系統(tǒng)容許性判斷,所提方法更加直觀簡單,易于計算.

由定理1,直接給出閉環(huán)系統(tǒng)(9)的輸出反饋控制器設計定理.

定理2閉環(huán)系統(tǒng)(9)是容許的,如果滿足如下條件：

(22)

(23)

注2 利用定理2求解輸出反饋控制器時,不需要對系統(tǒng)輸出矩陣C進行特殊設定,這就區(qū)別于文獻[12]只能針對輸出矩陣C是行滿秩矩陣情況,以及文獻[14]要求C和Lyapunov矩陣P滿足等式約束

PCT=CTZ.

也可以利用定理2設計狀態(tài)反饋控制器使得閉環(huán)系統(tǒng)容許,得到如下推論.

推論1 在狀態(tài)反饋控制器u(t)=Kx(t)下,閉環(huán)系統(tǒng)是容許的,如果滿足

當E=I,奇異系統(tǒng)可以轉化為正常線性系統(tǒng),系統(tǒng)(1)轉化為

(24)

又因為線性系統(tǒng)總是正則和無脈沖的,定理2可以轉為線性系統(tǒng)輸出反饋控制設計定理.

推論2 在輸出反饋控制器u(t)=Ky(t)下,正常系統(tǒng)(24)是容許的,如果滿足

其中,

利用定理2求解奇異系統(tǒng)輸出反饋控制器參數,關鍵在于求解式(22),式(23).算法的基本思路將定理條件轉換為非線性規(guī)劃求解問題,并通過Matlab編程實現,其中目標函數為最小化矩陣A+BKC的范數,式(22),式(23)為非線性約束條件,通過算法求解K保證閉環(huán)系統(tǒng)容許性.即求解最優(yōu)化問題:

min‖A+BKC‖.

n-q.

3 仿真算例

例1 含管理在內的石油催化、裂化過程非常復雜.美國Profimatics公司實現了這一過程的建模和控制,其簡化模型為

0=A21x1(t)+A22x2(t)+B2u(t)+F2f(t).

(25)

且輸出方程為

y(t)=C1x1(t)+C2x2(t) .

(26)

其中:x1(t)為被調節(jié)量,如再生溫度、滑閥位置、鼓風機能力等;x2(t)是由影響過程、企業(yè)效益和反映企業(yè)管理政策的一些變量組成的,如壓力、油漿回收率、重油回收率等;u(t)為調節(jié)量;f(t)為外部干擾.

系統(tǒng)參數為

整理可得如下的奇異系統(tǒng):

其中:

由于A22=0,系統(tǒng)存在脈沖行為,不滿足容許條件.通過定理2,求解靜態(tài)輸出反饋控制器參數如下:

選取初態(tài)x1(0)=2,x2(0)=1,該閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)響應如圖1所示.

進一步計算系統(tǒng)的極點為(-2.254 3,-0.120 0),可見閉環(huán)奇異系統(tǒng)是容許的.

例2[17]考慮如圖2所示的電路.此電路是由電壓源、電容器、電感器和一個電流控制器組成.

圖1 閉環(huán)奇異系統(tǒng)狀態(tài)響應(輸出反饋)Fig.1 State response of closed-loop singular system (output feedback)

圖2 電路結構圖Fig.2 The structure of circuit

按照文獻[17]建立系統(tǒng)模型:

(26)

選取C=1 F,L=1 H,γ(t)=2,令

可以將式(26)表示成奇異系統(tǒng)為

其中:

計算

因此系統(tǒng)存在脈沖行為,不滿足容許條件.通過推論1,求解得出狀態(tài)反饋增益矩陣:

K=[-0.873 6 -0.109 5 0.437 9] .

進一步計算

可以得出系統(tǒng)是無脈沖的,同時選取初態(tài)x1(0)=2,x2(0)=1,該閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)響應如圖3所示.

圖3 閉環(huán)奇異系統(tǒng)狀態(tài)響應(狀態(tài)反饋)Fig.3 State response of closed-loop singular system (state feedback)

此時系統(tǒng)的極點為(-0.192 5±1.138 6i),可見閉環(huán)奇異系統(tǒng)是容許的.

例3 考慮如下的正常線性系統(tǒng):

(27)

其中:

取初態(tài)x1(0)=3,x2(0)=1,x3(0)=-1,該開環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)響應如圖4所示.由圖4可以看出系統(tǒng)是不穩(wěn)定的.

圖4 開環(huán)系統(tǒng)狀態(tài)響應Fig.4 State response of open-loop system

進一步由推論2可得輸出反饋增益矩陣為

K=-3.221 3.

選取相同初態(tài),該閉環(huán)線性系統(tǒng)的狀態(tài)響應如圖5所示.

此時閉環(huán)線性系統(tǒng)的極點為(-0.259 6±0.270 7i,-0.153 1),所以此系統(tǒng)是穩(wěn)定的.

圖5 閉環(huán)線性系統(tǒng)狀態(tài)響應Fig.5 State response of closed-loop linear system

4 結 語

本文針對奇異系統(tǒng)的容許性和輸出反饋設計問題展開研究.利用矩陣跡不等式理論,提出該類系統(tǒng)容許性代數判據和靜態(tài)輸出反饋控制器設計方法.從根本上避免了已有靜態(tài)輸出反饋設計方法中求解雙線性不等式條件的難點問題.同時,對于奇異系統(tǒng)的狀態(tài)反饋設計以及正常系統(tǒng)的輸出反饋設計問題,本文所提方法仍然有效.最后,通過仿真例子證明了所提方法的可行性與有效性.