趙潤東， 孫梅慈， 劉啟明

陸軍工程大學(xué)石家莊校區(qū) 軍政基礎(chǔ)系， 石家莊 050003

傳染病歷來是危害人類健康的大敵， 為了遏制疾病傳播， 許多學(xué)者通過建立數(shù)學(xué)模型來研究其傳播過程， 其中主要使用的是“倉室”(Compartment)模型． 1927年， 文獻(xiàn)[1]建立了著名的SIR傳染病倉室模型． 其后， 經(jīng)過許多學(xué)者的不斷研究， 建立了適用不同疾病的傳染病模型， 如SIS[2]， SEIR[3]， SEIRS[4]等．

遏制疾病的傳播， 我們通常采用疫苗接種和隔離兩種方法． 但是針對新出現(xiàn)的傳染病， 疫苗的研發(fā)和生產(chǎn)往往需要很長時(shí)間， 因此在疾病傳播初期最為有效的方法就是對人群進(jìn)行隔離[5]． 1995年， 文獻(xiàn)[6]首次在傳染病模型中考慮隔離的影響， 建立了SIQR模型； 2002年， 文獻(xiàn)[7]在隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)傳染病模型中加入隔離項(xiàng)， 建立并研究了SIQS傳染病模型． 上述研究都是基于隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)研究的， 其特點(diǎn)是每個(gè)個(gè)體是均勻接觸的．

然而， 文獻(xiàn)[8]發(fā)現(xiàn)現(xiàn)實(shí)中大多數(shù)網(wǎng)絡(luò)的節(jié)點(diǎn)分布符合無標(biāo)度性(異質(zhì)性)， 也就是服從冪律分布p(k)=Ck-γ(2<γ≤3)， 因此基于異質(zhì)復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)來建立模型就更加貼合實(shí)際． 2001年， 文獻(xiàn)[9]首次在無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)上對一類SIS傳染病模型進(jìn)行了研究． 此后， 許多學(xué)者開始研究復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)上的傳染病動力學(xué)． 另一方面， 現(xiàn)實(shí)中許多傳染病當(dāng)前的傳播狀態(tài)會受到過去狀態(tài)的影響， 因此， 建立時(shí)滯傳染病模型就更具有現(xiàn)實(shí)意義， 其中時(shí)滯可以用來描述病人的平均感染周期、 潛伏周期、 免疫周期和隔離周期等[10]． 近期許多學(xué)者將網(wǎng)絡(luò)的無標(biāo)度性和時(shí)滯結(jié)合在一起研究傳染病模型， 取得了豐富成果． 2012年， 文獻(xiàn)[11]建立了時(shí)滯SEIRS網(wǎng)絡(luò)傳染病模型， 其中時(shí)滯代表平均免疫周期． 2018年， 文獻(xiàn)[12]建立并研究了時(shí)滯SEIR網(wǎng)絡(luò)傳染病模型， 其時(shí)滯代表疾病的平均潛伏周期． 2019年， 文獻(xiàn)[13]研究了復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)上一類新的時(shí)滯SIS模型， 其時(shí)滯代表病人的平均感染周期． 但是鮮有人在網(wǎng)絡(luò)上用時(shí)滯表示隔離周期來建立數(shù)學(xué)模型對傳染病動力學(xué)性態(tài)進(jìn)行研究．

根據(jù)以上分析， 本文基于無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)建立一類新的具有時(shí)滯的SIQR傳染病模型， 其中時(shí)滯代表平均隔離周期． 通過泛函微分方程穩(wěn)定性理論， 研究了該模型的動力學(xué)行為， 得到疾病傳播的基本再生數(shù)， 分析了平衡點(diǎn)的全局穩(wěn)定性， 并通過數(shù)值模擬驗(yàn)證了研究結(jié)果的正確性．

1 模型建立

假設(shè)總?cè)巳旱慕佑|網(wǎng)絡(luò)是一個(gè)無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)， 一個(gè)節(jié)點(diǎn)表示一個(gè)人， 網(wǎng)絡(luò)上的連邊表示人與人之間的接觸． 我們作如下假設(shè)：

1) 整個(gè)網(wǎng)絡(luò)的出生率和自然死亡率分別為A和d， 并且出生的個(gè)體都為易感染者． 依據(jù)文獻(xiàn)[14]， 添加和刪除節(jié)點(diǎn)和邊在網(wǎng)絡(luò)中只占很小的比例， 對網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的改變很小， 因此可以假設(shè)網(wǎng)絡(luò)上的總節(jié)點(diǎn)數(shù)N是不變的， 是靜態(tài)的， 也就是A=d．

2) 網(wǎng)絡(luò)上的人分為4類： 易感染者S(Susceptible)、 感染者I(Infected)、 隔離者Q(Quarantine)、 恢復(fù)者R(Recovered)． 令Sk(t)，Ik(t)，Qk(t)和Rk(t)分別代表度為k的易感染者、 感染者、 隔離者和恢復(fù)者在t時(shí)刻的相對密度． 標(biāo)準(zhǔn)化后，Sk(t)+Ik(t)+Qk(t)+Rk(t)=1．

3) 每個(gè)易感染者S都有概率λ(k)(與節(jié)點(diǎn)的度k有關(guān))被感染者感染， 成為感染者I． 感染者I有概率δ被隔離， 成為隔離者Q． 感染者I同時(shí)有概率γ恢復(fù)健康， 成為恢復(fù)者R． 隔離者Q經(jīng)過τ時(shí)間的隔離治療后， 成為恢復(fù)者R．

圖1 時(shí)滯SIQR模型的倉室框圖

基于以上假設(shè)， 可建立SIQR模型的倉室框圖(圖1)， 對應(yīng)的微分方程系統(tǒng)如下：

(1)

其中λ(k)為感染率， 其形式一般有如下兩種[14]：λk，λc(k)．Θ(t)代表一個(gè)度為k的易感染者每次接觸感染者的概率[14]， 其形式如下：

(2)

給出系統(tǒng)(1)的初始條件

(3)

其中

由泛函微分方程的基本理論[18]易知在初始條件(3)下， 系統(tǒng)(1)存在唯一解， 并且當(dāng)t≥0時(shí)， 系統(tǒng)(1)存在唯一正解． 同時(shí)， 不難得出區(qū)域Ω是系統(tǒng)(1)的正向不變集， 本文將在Ω內(nèi)討論系統(tǒng)(1)的性態(tài)．

(4)

2 模型動力學(xué)分析

建立模型后， 需得出疾病的基本再生數(shù)R0[18]， 即單位病程內(nèi)一個(gè)病人所傳染的人數(shù)． 當(dāng)R0<1時(shí)， 一個(gè)病人在單位病程能傳染的人數(shù)小于1， 疾病將自然消失， 不會流行； 當(dāng)R0>1時(shí)， 一個(gè)病人在單位病程能傳染的人數(shù)大于1， 疾病將持久存在， 成為流行?。?/p>

定理1令

1) 系統(tǒng)存在無病平衡點(diǎn)E0

2) 當(dāng)R0>0 時(shí)， 系統(tǒng)(1)存在地方病平衡點(diǎn)E*

證由系統(tǒng)(1)中的方程組， 不難得出系統(tǒng)(1)始終存在無病平衡點(diǎn)E0

接下來， 假設(shè)系統(tǒng)存在地方病平衡點(diǎn)E*，

則E*滿足系統(tǒng)(1)

(5)

其中，

(6)

解方程組(5)， 得到

(7)

(8)

顯然，Θ*=0是平凡解． 當(dāng)Θ*≠0時(shí)對(8)式兩邊同除以Θ*， 研究函數(shù)

因此， 我們定義基本再生數(shù)R0如下

綜合上述分析， 當(dāng)R0>1時(shí)， 系統(tǒng)(1)存在地方病平衡點(diǎn)E*．

注1由R0的表達(dá)式得出，R0與出生率A， 感染率λ(k)和非線性傳染系數(shù)φ(k)正相關(guān)， 與死亡率d， 恢復(fù)率γ和隔離率δ負(fù)相關(guān)．

定理2當(dāng)R0<1時(shí)， 系統(tǒng)(1)的無病平衡點(diǎn)E0全局漸近穩(wěn)定．

計(jì)算V(t)沿系統(tǒng)(1)的導(dǎo)數(shù)可得

定理3當(dāng)R0>1時(shí)， 系統(tǒng)(1)的地方病平衡點(diǎn)E*全局漸近穩(wěn)定．

證注意到， 系統(tǒng)(1)中的前兩個(gè)方程不涉及Q(t)和R(t)， 由此， 只需考慮如下系統(tǒng)：

(9)

其中

聯(lián)合(9)式和(5)式， 得到

考慮如下函數(shù)

(10)

U(t)沿系統(tǒng)(9)求導(dǎo)， 得

(11)

定義函數(shù)

H(x)=-x+lnx，G(x)=x-1-lnx

注意到當(dāng)x>0時(shí)，G(x)≥0， 當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)， 等號成立． 則(11)式可化為

(12)

考慮如下兩個(gè)矩陣

v=(v1，v2， …，vn)=(C11，C22， …，Cnn)

即

(13)

現(xiàn)在定義Lyapunov函數(shù)

注3當(dāng)A=0，d=0，λ(k)=λk，φ(k)=k， 并取時(shí)滯τ=ε-1， 時(shí)滯微分系統(tǒng)(1)簡化為文獻(xiàn)[22]中的常微分系統(tǒng)(1)． 此時(shí)基本再生數(shù)的表達(dá)式R0=λ〈k2〉·[〈k〉(γ+δ)]-1， 結(jié)論與文獻(xiàn)[22]一致．

3 數(shù)值模擬

取λ=0.1，A=0.1，d=0.1，τ=3，δ=0.1，γ=0.03， 則R0≈0.774 1<1．I40(t)，I80(t)，I120(t)，I160(t)和I(t)隨時(shí)間t的變化趨勢見圖2， 可以看出當(dāng)R0<1時(shí)， 疾病逐漸消失． 取λ=0.2，A=0.1，d=0.1，τ=3，δ=0.1，γ=0.03， 則R0≈1.548 2>1．I40(t)，I80(t)，I120(t)，I160(t)和I(t)隨時(shí)間t的變化趨勢見圖3， 可以看出當(dāng)R0>1時(shí)， 疾病持續(xù)存在， 并且逐漸趨向到一個(gè)穩(wěn)定值． 圖2和圖3分別驗(yàn)證了定理2和定理3．

最后， 我們進(jìn)行參數(shù)敏感性分析， 用PRCC(偏秩相關(guān)系數(shù))檢測基本再生數(shù)R0對于參數(shù)的依賴性． 取樣本空間n=1 200， 計(jì)算6個(gè)影響R0參數(shù)的PRCC值． 如圖4所示，λ和A對R0有正影響，d，γ，δ對R0負(fù)影響， 而R0對τ不敏感． 圖4驗(yàn)證了注1 中對R0表達(dá)式的說明． 因此， 增大隔離率δ， 提高恢復(fù)率γ， 降低感染率λ可以控制疾病傳播．

圖4 R0關(guān)于不同參數(shù)的PRCC值

4 結(jié)論

為了研究隔離周期對傳染病的影響， 本文基于無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)建立了具有時(shí)滯的SIQR傳染病模型， 其中時(shí)滯代表平均隔離周期． 通過微分方程定性與穩(wěn)定性理論， 得到了疾病傳播的基本再生數(shù)． 通過構(gòu)造Lyapunov函數(shù)， 證明了當(dāng)R0<1時(shí)， 無病平衡點(diǎn)是全局漸近穩(wěn)定的； 當(dāng)R0>1時(shí)， 地方病平衡點(diǎn)是全局漸近穩(wěn)定的． 最后， 對模型進(jìn)行數(shù)值模擬， 驗(yàn)證了結(jié)論的正確性， 并對不同參數(shù)進(jìn)行了敏感性分析． 研究結(jié)果表明隔離周期的長短不影響易感染者和感染者的最終人數(shù)， 但是影響隔離者和恢復(fù)者的最終人數(shù)． 基于R0的表達(dá)式以及不同參數(shù)的PRCC值， 得出控制疾病傳播的有效方法為增大隔離率， 提高恢復(fù)率和降低感染率．