羅 豐

（甘肅省平?jīng)鍪徐o寧縣第一中學(xué)，甘肅 平?jīng)觯?/p>

數(shù)學(xué)高階思維是指學(xué)生通過題目中的各項已知條件找出隱含條件，再觀察數(shù)據(jù)之間的關(guān)系，分析解題思路。對學(xué)生來講，既要有較高的邏輯思維能力，又要有挖掘能力，這樣才能利用已學(xué)的數(shù)學(xué)知識順利解答數(shù)學(xué)問題。

一、關(guān)注學(xué)生的空間想象能力

高中數(shù)學(xué)幾何知識有復(fù)雜的空間圖形，學(xué)生要利用空間想象能力解決題目。所謂空間想象是指人腦在對已知信息進行處理和對比之后，轉(zhuǎn)變成已學(xué)的數(shù)學(xué)知識的過程。學(xué)生一定要有較強的空間想象能力，才能接受知識、利用知識。從某種程度上講，想象力比知識更加重要。現(xiàn)階段，信息化技術(shù)手段已經(jīng)走進教室，教師可以利用信息技術(shù)為學(xué)生創(chuàng)造直觀的數(shù)學(xué)空間知識，讓學(xué)生通過多媒體的幫助，迅速掌握關(guān)于幾何圖形的各類空間問題，教師還可以引導(dǎo)學(xué)生通過觀察，大膽發(fā)揮想象，提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣。

二、關(guān)注學(xué)生思維的簡潔性

很多高中數(shù)學(xué)例題中有著復(fù)雜的已知條件，也包含一些干擾條件，學(xué)生在解答題目時，應(yīng)當(dāng)快速排除干擾項，找出有用的條件，這就要求學(xué)生具備一定的刪繁就簡能力。學(xué)生可以發(fā)掘條件中的矛盾，從而做到思維上的簡潔性，例如，函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為（-∞，-2），則k的取值范圍為（ ）。

分析：有的學(xué)生往往受導(dǎo)數(shù)處理函數(shù)單調(diào)性的思維定式的影響，會聯(lián)想到用導(dǎo)數(shù)來解決本題，教師可以引導(dǎo)學(xué)生換種思維思考。首先，去絕對值符號可得f（x）=所得分段函數(shù)由一次函數(shù)與二次函數(shù)組成，繼續(xù)思考：此處必須要用導(dǎo)數(shù)知識來解決嗎？

其次，“函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間為（-∞，-2）”這一條件學(xué)生應(yīng)當(dāng)如何更深刻地理解？教師可以將題目轉(zhuǎn)換成如下意思：已知（-∞，-2）為函數(shù)（x∈R）的單調(diào)區(qū)間，k的取值范圍如何？學(xué)生經(jīng)過思考就會認(rèn)為不可以這樣轉(zhuǎn)化。因為原題想表達的是（-∞，-2）為函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間，且函數(shù)f（x）只在這一區(qū)間上為單調(diào)減函數(shù)。結(jié)合函數(shù)圖象可知，對稱軸x=-k/4在［-2，2］之間，于是可得出-2≤-k/4≤2且k>0，解得0

三、重視學(xué)生思維的嚴(yán)謹(jǐn)性

在解答高中數(shù)學(xué)題目時，學(xué)生要全面思考問題，用嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膽B(tài)度對待每一項已知條件，這樣才能將所有的可能結(jié)果進行分析，最終解答出正確答案。依靠思維的嚴(yán)謹(jǐn)性可以讓學(xué)生知其然，并且知其所以然，這也是教師在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中的重點內(nèi)容之一。如下例題中，已知函數(shù)f（x）=ax/（x2+1），g（x）=sin4x-cos4x，若對于任意的x1∈R均存在x2∈R，并令g（x2）=f（x1），則實數(shù)a的取值范圍為______。

分析：g（x）=sin4x-cos4x=-cos2x∈［-1，1］。由條件易知函數(shù)f（x）的值域應(yīng)為函數(shù)g（x）值域的子集。f（x）的定義域為R，因此接下來應(yīng)求函數(shù)f（x）的值域。

解題方法1：

首先對x進行分類討論。

當(dāng)x=0或a=0時，f（x）=0。當(dāng)x＞0時，f（x）=ax/（x2+1）=

a·1/（x+1/x），

若a＞0，則0＜f（x）≤a/2；若a＜0，則-a/2≤f（x）＜0。

當(dāng)x＜0時，f（x）=ax/（x2+1）=-a·1/［（-x）+1/（-x）］。

若a＞0，則-a/2≤f（x）＜0；

若a＜0，則0＜f（x）≤a/2。

綜上可知，|f（x）|≤a/2，即-a/2≤f（x）≤a/2，因為f（x）的值域為g（x）值域的子集，所以有[-a/2，a/2]?［-1，1］，則所求實數(shù)a的取值范圍為［-2，2］。

解題方法2：運用導(dǎo)數(shù)知識。

f′（x）=a（1-x2）/（x2+1）2，然后就a＞0，a=0，a＜0三種情況對函數(shù)的最值展開研究，并利用f（x）與g（x）值域之間的關(guān)系求得實數(shù)a的取值范圍。

這兩種思路相對于這樣一道中等水平的填空題來說較費筆墨。觀察函數(shù)f（x）解析式的結(jié)構(gòu)特點并聯(lián)想基本不等式a2+b2≥2ab（a，b∈R）的加強形式a2+b2≥2|a||b|（a，b∈R），可以這樣求解函數(shù)f（x）的值域：

若a=0或x=0，則f（x）=0，符合題意；

當(dāng)a≠0且x≠0時，|f（x）|=|a|·1/（|x|+1/|x|）≤|a|/2。

綜上可知，|f（x）|≤|a/2|。以下同上。

教師可以引導(dǎo)學(xué)生思考是否還有更簡單的思路。再次審題時可以看出，f（x）=ax/（x2+1）=a·x/（x2+1），因為，則|（f x）|≤|a/2|。

總而言之，作為高中數(shù)學(xué)教師，應(yīng)當(dāng)在教學(xué)中重視學(xué)生的高階思維培養(yǎng)。要根據(jù)典型案例題目，讓學(xué)生形成良好的解題思路和解題習(xí)慣，讓學(xué)生用嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膽B(tài)度舉一反三，真正提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的有效性。