石秀文

(邢臺學(xué)院數(shù)學(xué)與信息技術(shù)學(xué)院，河北邢臺 054001)

在“學(xué)生中心、產(chǎn)出導(dǎo)向、持續(xù)改進(jìn)”的OBE理念的指導(dǎo)下，高校師范專業(yè)課程教學(xué)改革進(jìn)一步深化，數(shù)學(xué)分析作為數(shù)學(xué)師范專業(yè)的核心基礎(chǔ)課，對學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)、專業(yè)能力及科學(xué)精神的培養(yǎng)起著至關(guān)重要的作用。為了進(jìn)一步提升數(shù)學(xué)分析課程的教學(xué)效果，從教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)方法、教學(xué)評價等多方面探究新理念下數(shù)學(xué)分析課程的教學(xué)改革與實踐。本文以數(shù)學(xué)分析三為例來說明課程教學(xué)的創(chuàng)新探究與實施。

一、教學(xué)內(nèi)容的探究與實施

在教學(xué)內(nèi)容改革的研究中，堅持以學(xué)生中心的理念，聚焦學(xué)生的課程學(xué)習(xí)效果，關(guān)注數(shù)學(xué)分析服務(wù)于其他課程的基礎(chǔ)作用，來合理設(shè)計教學(xué)內(nèi)容。而數(shù)學(xué)分析課程的知識體系具有嚴(yán)密的邏輯性，課程教學(xué)中保證知識體系的完整有助于學(xué)生循序漸進(jìn)的掌握知識，因此在教學(xué)安排上，要考慮前后知識的銜接順暢以順應(yīng)學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。同時考慮加強(qiáng)數(shù)學(xué)分析與中學(xué)數(shù)學(xué)的有機(jī)銜接、增加相關(guān)數(shù)學(xué)史內(nèi)容，以提升學(xué)生學(xué)科素養(yǎng)，體現(xiàn)課程育人的價值。

(一)改革課程內(nèi)容體系，提升教學(xué)效果

我院數(shù)學(xué)分析三在大二第一學(xué)期開設(shè)，按內(nèi)容特點可分兩大板塊，第一板塊是隱函數(shù)及其應(yīng)用與含參量積分，第二板塊是曲線積分、重積分、曲面積分[1]。長期以來一直按照教材的順序，先學(xué)習(xí)第一板塊，再學(xué)習(xí)第二板塊。

目前教學(xué)中面臨兩個問題，一是按照教材中內(nèi)容的次序，學(xué)生先學(xué)完含參量積分(課程難點內(nèi)容)后，對接下來的多元函數(shù)積分學(xué)(重點內(nèi)容)的學(xué)習(xí)積極性有所減弱。二是重積分的計算方法是數(shù)學(xué)實驗課中必用的方法，數(shù)學(xué)實驗課程與數(shù)學(xué)分析三同時開課，按照教材的內(nèi)容的順序講授，不利于數(shù)學(xué)實驗課程的學(xué)習(xí)。因此，嘗試調(diào)整兩個板塊的學(xué)習(xí)次序，先學(xué)第二板塊。第二板塊多元函數(shù)積分學(xué)是數(shù)學(xué)分析三的重點內(nèi)容，學(xué)期初始先學(xué)，學(xué)生積極性比較高，由定積分的復(fù)習(xí)，引出曲線積分，再過度到重積分、曲面積分，整個過程是由易到難，循序漸進(jìn)，符合學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，實踐說明這樣調(diào)整提升了重點知識的學(xué)習(xí)效果，同時能及時對數(shù)學(xué)實驗課程的學(xué)習(xí)提供幫助。

調(diào)整內(nèi)容先后次序，課程內(nèi)部結(jié)構(gòu)發(fā)生變化，邏輯關(guān)系上主要有兩個問題，其一是二重積分化為累次積分的定理證明中涉及第一板塊含參量積分性質(zhì)的應(yīng)用，其二是計算空間曲線積分的例題中用到第一板塊求曲線的切向量。在教學(xué)中，恰當(dāng)處理了兩個板塊前后關(guān)聯(lián)問題。一是課堂上淡化理論，從幾何意義上來說明二重積分可化為累次積分，學(xué)生較易理解，二是指導(dǎo)學(xué)生繞過含參量積分性質(zhì)，應(yīng)用啟發(fā)探究式學(xué)習(xí)本定理的證明，不影響教學(xué)效果。對于空間曲線積分的例題中切向量的問題，明確告訴同學(xué)們，這個問題涉及第一板塊內(nèi)容，暫時不講如何得到，重點學(xué)習(xí)應(yīng)用兩類曲線積分之間的關(guān)系簡化積分計算的解題思想。在后面學(xué)習(xí)第一板塊中隱函數(shù)的應(yīng)用后，再把此例題留作課后探究題目，讓學(xué)生重新完成。這樣處理后，學(xué)生帶著問題去學(xué)習(xí)空間曲線的切線方程，調(diào)動了學(xué)習(xí)積極性，通過學(xué)生獨立去解決曲線積分遺留的問題，加強(qiáng)了知識的復(fù)習(xí)與應(yīng)用，加深了知識理解，收到良好效果。

(二)挖掘教材與中學(xué)數(shù)學(xué)有關(guān)的內(nèi)容

為了培養(yǎng)學(xué)生用高等數(shù)學(xué)的觀點與思想方法去理解初等數(shù)學(xué)的內(nèi)容，挖掘數(shù)學(xué)分析與初等數(shù)學(xué)相聯(lián)系的內(nèi)容，融入到教學(xué)過程中，深化對中學(xué)數(shù)學(xué)的理解，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

在學(xué)習(xí)二重積分的概念時，需要先研究曲頂柱體的體積計算，在此教師和學(xué)生一起回顧祖暅原理，指出定積分計算立體體積的方法就是祖暅原理的體現(xiàn)，提問球體的體積公式如何得到？簡單描述一下利用祖暅原理獲得半球體體積的方法，讓學(xué)生知道簡單公式背后的歷史文化，感嘆祖暅原理的妙用，同時復(fù)習(xí)定積分計算球體體積、橢球體積的方法，加深學(xué)生對初等知識的認(rèn)識，培養(yǎng)學(xué)生用高等數(shù)學(xué)的思想方法去理解初等數(shù)學(xué)問題的意識。然后，設(shè)問如果一般空間立體的截面面積函數(shù)未知，如何計算其體積？讓學(xué)生有一點想知道的沖動，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，調(diào)動學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性。

在數(shù)學(xué)分析三中，有許多與中學(xué)數(shù)學(xué)關(guān)聯(lián)的內(nèi)容。其中求曲線的參數(shù)方程是與中學(xué)數(shù)學(xué)相關(guān)，也是學(xué)生的糊涂點。讓學(xué)生利用熟悉的圓的參數(shù)方程去尋找相關(guān)聯(lián)的一類曲線參數(shù)方程的規(guī)律，由此學(xué)生可以輕松得到橢圓的參數(shù)方程，但學(xué)生并不清楚橢圓的參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義，指導(dǎo)學(xué)生課后進(jìn)行小組探究獲得答案，加深對橢圓參數(shù)方程的理解。將曲線的切線、曲面的切平面等問題與初等數(shù)學(xué)聯(lián)系起來，讓學(xué)生再思考、再認(rèn)識，加強(qiáng)對初等數(shù)學(xué)知識的理解。在學(xué)習(xí)條件極值時，增加中學(xué)數(shù)學(xué)中的一些不等式、幾何最值、點到直線或平面的距離等問題，讓學(xué)生課后用條件極值的方法去解決，使學(xué)生認(rèn)識到可用微積分方法更簡單的處理中學(xué)數(shù)學(xué)問題，養(yǎng)成建立高等數(shù)學(xué)與初等數(shù)學(xué)的聯(lián)系以及用高等數(shù)學(xué)的觀點、思想、方法理解相關(guān)的中學(xué)數(shù)學(xué)知識的習(xí)慣。

(三)增加數(shù)學(xué)史內(nèi)容，簡述數(shù)學(xué)家故事

微積分的創(chuàng)立被譽為“人類精神”的偉大勝利，“數(shù)學(xué)分析是人類思維的偉大成果”，是歷經(jīng)300多年，眾多數(shù)學(xué)家辛勤努力、刻苦鉆研的結(jié)果[2]。因此，要充分挖掘與課程內(nèi)容有關(guān)的數(shù)學(xué)史料，將數(shù)學(xué)家的趣事和科學(xué)精神滲透教學(xué)中，以鼓勵學(xué)生發(fā)揚數(shù)學(xué)家刻苦鉆研的精神，培養(yǎng)腳踏實地，孜孜不倦的學(xué)習(xí)習(xí)慣。數(shù)學(xué)分析三的課程內(nèi)容涉及到多位數(shù)學(xué)家，搜集、整理這些數(shù)學(xué)家的生平事跡，重點簡介對數(shù)學(xué)分析的貢獻(xiàn)、與科學(xué)有關(guān)的趣事和科學(xué)精神，或滲透到課堂中，或推送給學(xué)生課外閱讀，提升學(xué)生的人文素養(yǎng)。

學(xué)習(xí)拉格朗日乘數(shù)法時求極值問題時，介紹18世紀(jì)歐洲偉大數(shù)學(xué)家拉格朗日成才經(jīng)歷與勤奮學(xué)習(xí)、刻苦鉆研的精神，激勵學(xué)生奮發(fā)圖強(qiáng)。讓學(xué)生課后搜集數(shù)學(xué)分析中以他命名的概念、定理及方法，加強(qiáng)對數(shù)學(xué)分析中重要定理、公式的復(fù)習(xí)，提升對數(shù)學(xué)分析的學(xué)習(xí)興趣。

含參量積分是數(shù)學(xué)分析的難點之一，是數(shù)學(xué)分析二中多個難點知識的綜合應(yīng)用。在學(xué)習(xí)含參量積分一致收斂的概念時，復(fù)習(xí)函數(shù)項級數(shù)一致收斂的概念及判別法，可以提問最早提出一致收斂概念是哪位數(shù)學(xué)家？學(xué)生得知是現(xiàn)代分析之父的維爾斯特拉斯，簡述他對數(shù)學(xué)分析的重要貢獻(xiàn)，進(jìn)一步了解“一致收斂”概念產(chǎn)生的意義，能激發(fā)學(xué)生對抽象的新概念與理論的學(xué)習(xí)熱情，加強(qiáng)對基礎(chǔ)知識的鞏固。在學(xué)習(xí)歐拉積分時，許多學(xué)生出現(xiàn)畏難情緒，教師不直接介紹歐拉積分的定義，先和學(xué)生一起復(fù)習(xí)譽為最優(yōu)美公式的歐拉公式，激發(fā)對歐拉的興趣，然后簡介歐拉對數(shù)學(xué)的巨大貢獻(xiàn)及科學(xué)精神，吸引學(xué)生學(xué)習(xí)歐拉積分的注意力，促使學(xué)生產(chǎn)生學(xué)習(xí)歐拉積分的愿望，培養(yǎng)學(xué)生踏實學(xué)習(xí)、刻苦鉆研的精神。本章學(xué)習(xí)中，可以布置課外任務(wù)，讓學(xué)生了解與課程內(nèi)容有關(guān)的數(shù)學(xué)家柯西, 維爾斯特拉斯、狄利克雷及阿貝爾等科學(xué)家的故事、成就及追求真理的科學(xué)精神。

學(xué)習(xí)兩類曲線積分關(guān)系時，介紹巴羅的“微分三角形”及數(shù)學(xué)史上傳為佳話的“巴羅讓賢”故事[2]，讓學(xué)生學(xué)習(xí)科學(xué)家的高尚品格，在學(xué)習(xí)和工作中要踏實做事、淡泊名利。

學(xué)習(xí)二重積分的概念時，讓學(xué)生了解祖暅原理及球體的體積計算，增加學(xué)生的民族情懷，調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)積極性；學(xué)習(xí)高斯公式，介紹數(shù)學(xué)王子高斯的典型趣事，激發(fā)學(xué)生對高斯公式的學(xué)習(xí)熱情，同時讓學(xué)生學(xué)習(xí)高斯愛動腦思考的良好習(xí)慣，勇于探索復(fù)雜未知問題的科學(xué)精神，堅持不懈的毅力，吃苦耐勞、艱苦奮斗的品質(zhì)。

二、教學(xué)方法與學(xué)習(xí)方式的改革

(一)課程的教學(xué)方法

在OBE理念的指導(dǎo)下，以發(fā)展學(xué)生的思維能力、提升課程的學(xué)習(xí)效果為目的，從學(xué)生的角度去思考課程怎么講、學(xué)生如何學(xué)的問題。在課堂教學(xué)中，變革以前的講授法，以啟發(fā)式教學(xué)為主，同時針對課程內(nèi)容特點結(jié)合學(xué)情選擇適合的教學(xué)方法。對于在理論或方法上有相似之處的內(nèi)容，采用對比學(xué)習(xí)法以提升學(xué)習(xí)效率。對于重點的抽象的理論知識，將其分解為幾個簡單的具體問題，采用引導(dǎo)探究法降低學(xué)習(xí)難度，通過學(xué)生的思考、探究來加深對知識的理解，培養(yǎng)學(xué)生的思維能力。 對于應(yīng)用性強(qiáng)的知識采取問題驅(qū)動法，提升學(xué)生分析問題、解決問題的能力。

對比式教學(xué)法是引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)想已學(xué)過的與其相似、相關(guān)或相反的知識,并進(jìn)行對照分析、比較,以求尋找它們的共性和差異,從而使學(xué)生獲得準(zhǔn)確、深刻的認(rèn)識。對含參量反常積分一致收斂性概念、性質(zhì)及判定方法，應(yīng)用對比式教學(xué)法，引導(dǎo)聯(lián)想函數(shù)項級數(shù)，對照比較，尋找共性，歸納總結(jié)的異同，加強(qiáng)了對新知識理解，同時鞏固了已學(xué)知識。第一型曲線、曲面積分、重積分的學(xué)習(xí)采用對比教學(xué)法，與定積分進(jìn)行對照比較學(xué)習(xí)，提升了學(xué)習(xí)效果。

運用引導(dǎo)探究法來學(xué)習(xí)重點與難點知識。在學(xué)習(xí)隱函數(shù)存在條件分析、格林公式、高斯公式時，將復(fù)雜問題設(shè)計成幾個簡單問題，引導(dǎo)學(xué)生自己探究解決每個簡單問題，獲得結(jié)論。通過引導(dǎo)探究法，讓學(xué)生參與思考，加強(qiáng)了知識的理解，培養(yǎng)學(xué)生解決復(fù)雜問題的信心和能力，同時體驗到數(shù)學(xué)家的思維活動，有助于培養(yǎng)創(chuàng)新思維意識。

運用問題驅(qū)動法學(xué)習(xí)條件極值概念與拉格朗日乘數(shù)法。學(xué)習(xí)條件極值概念時，教師提出無蓋魚缸的設(shè)計問題，學(xué)生分組討論，各組提出自己解決方案，教師歸納總結(jié)，完善解決方案，引出條件極值概念，進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生分析一般條件極值解決方法，歸納總結(jié)，得到拉格朗日乘數(shù)法。問題驅(qū)動法將學(xué)生被動學(xué)習(xí)轉(zhuǎn)變?yōu)閷W(xué)生主動去分析、解決問題，充分調(diào)動了學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，體現(xiàn)了“學(xué)生中心”的基本理念。

(二)課程學(xué)習(xí)方式的改革

課前、課上、課后相結(jié)合的學(xué)習(xí)模式。針對一些簡單內(nèi)容，教師列出詳細(xì)學(xué)習(xí)提綱，在提綱的引導(dǎo)下，學(xué)生自學(xué)相關(guān)內(nèi)容。針對課程難點問題，不難發(fā)現(xiàn)“難”的原因之一是基本概念和理論的綜合運用，“難”的原因之二是學(xué)生對已有概念和定理及其應(yīng)用的方法出現(xiàn)遺忘，因此，通過分解難點，列出與其有關(guān)的概念、定理及典型的應(yīng)用例題，讓學(xué)生課前復(fù)習(xí)學(xué)習(xí)。學(xué)生可以根據(jù)自己的情況有選擇的復(fù)習(xí)相關(guān)的基礎(chǔ)知識，同時學(xué)生隨時通過學(xué)習(xí)通、QQ平臺與教師討論，為課堂學(xué)習(xí)做鋪墊、清障礙，提升課堂的學(xué)習(xí)效果，節(jié)省了課堂的教學(xué)時間，部分課后作業(yè)變?yōu)殡S堂練習(xí)，從而可適當(dāng)減少課后作業(yè)，能讓學(xué)生課后有時間去復(fù)習(xí)、閱讀、思考，并逐漸形成良性循環(huán)，發(fā)揮學(xué)生學(xué)習(xí)主體作用，培養(yǎng)學(xué)生良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣。

線上線下混合模式。課堂教學(xué)采用板書教學(xué)為主，結(jié)合線上進(jìn)行隨堂練習(xí)與檢測，線上布置學(xué)習(xí)任務(wù)，課后作業(yè)線上限時提交，教師及時批閱，學(xué)生可以及時糾正作業(yè)中錯題，并要求學(xué)生作業(yè)必須線下、課前提交，以促使學(xué)生獨立完成。增加線上學(xué)生互評作業(yè)方式，為學(xué)生提供相互學(xué)習(xí)、相互比較、理性分析自我、評價自我的機(jī)會。

加強(qiáng)反思，提升效果。增設(shè)期初反思，旨在反省自己上學(xué)期數(shù)學(xué)分析學(xué)習(xí)中存在的問題，力求本學(xué)期得到糾正；增設(shè)期中反思總結(jié)，旨在反思本學(xué)期學(xué)習(xí)中問題，力求及時糾正；增設(shè)期末反思總結(jié)，加強(qiáng)學(xué)生自我認(rèn)識，為之后(包括假期)學(xué)習(xí)做好規(guī)劃，同時提醒自己假期不可懈怠，學(xué)習(xí)不應(yīng)間斷，讓學(xué)生度過愉快而又充實的假期。通過反思總結(jié)，加強(qiáng)學(xué)生的反思意識，養(yǎng)成反思習(xí)慣，提高學(xué)習(xí)的自覺性。

實施助教輔導(dǎo)的學(xué)習(xí)模式。在數(shù)學(xué)分析三教學(xué)過程中，嘗試選取高年級四名優(yōu)秀學(xué)生做助教，每周搜集學(xué)生學(xué)習(xí)中問題，利用周末進(jìn)行輔導(dǎo)答疑，也是一種有效的輔助教學(xué)方式。

三、教學(xué)評價的改進(jìn)與實施

教學(xué)評價是為了檢驗學(xué)生的學(xué)習(xí)效果，檢驗是否實現(xiàn)課程教學(xué)目標(biāo)的達(dá)成，同時通過過程評價引導(dǎo)師生反思教學(xué)中存在的問題，促使學(xué)生改善學(xué)習(xí)態(tài)度、改進(jìn)學(xué)習(xí)方式與學(xué)習(xí)行為，促進(jìn)教師優(yōu)化教學(xué)過程。為達(dá)到此目的，數(shù)學(xué)分析教學(xué)加強(qiáng)了過程性評價，增加了多種形式的作業(yè)評價，如課前作業(yè)、課后常規(guī)作業(yè)、課后小組合作探究性作業(yè)、章節(jié)思維導(dǎo)圖總結(jié)作業(yè)等，規(guī)范了階段測驗，加強(qiáng)了課堂學(xué)習(xí)評價。除此之外，還實施了以下評價。

增加肯定性評價。對于學(xué)生在課堂上回答問題、參與小組討論積極，隨堂練習(xí)表現(xiàn)優(yōu)異、善于質(zhì)疑和思考的學(xué)生，教師及時鼓勵、贊揚，在過程考核中適當(dāng)體現(xiàn)，激勵學(xué)生積極進(jìn)取。

增加線上評價，提升評價客觀性。加強(qiáng)學(xué)習(xí)通隨堂練習(xí)，設(shè)計線上提交課后作業(yè)，教師通過學(xué)生線上提交的時間、完成的正確度及作業(yè)中體現(xiàn)的獨立思考性和創(chuàng)新思維，從而較為客觀的評價學(xué)生的學(xué)習(xí)態(tài)度、學(xué)習(xí)積極性、課堂學(xué)習(xí)效果以及學(xué)生的基礎(chǔ)水平，同時便于及時鼓勵優(yōu)秀生再接再厲，及時發(fā)現(xiàn)落后生學(xué)習(xí)中的問題，督促學(xué)生改進(jìn)，加強(qiáng)了師生互動，從互動中更全面的了解學(xué)生的實際情況。

增設(shè)學(xué)生參與評價活動。對部分網(wǎng)上作業(yè)與測驗，讓學(xué)生依據(jù)教師提供的詳細(xì)參考答案及評分標(biāo)準(zhǔn)，對作業(yè)、測驗進(jìn)行互評，為學(xué)生提供互相學(xué)習(xí)的機(jī)會。對階段測驗，嘗試讓優(yōu)秀學(xué)生做參考答案及評分標(biāo)準(zhǔn)，鍛煉規(guī)范編輯數(shù)學(xué)符號的能力，加強(qiáng)對規(guī)范解題過程的認(rèn)識及獨立解決問題能力。同時，通過階段測驗及作業(yè)互評，能促使學(xué)生發(fā)現(xiàn)自己學(xué)習(xí)中不足與差距，及時調(diào)整自己學(xué)習(xí)狀態(tài)，端正學(xué)習(xí)態(tài)度。

增加課程小論文。圍繞課程重點內(nèi)容設(shè)計課程小論文題目，以小組的方式完成。有助于學(xué)生復(fù)習(xí)鞏固所學(xué)知識，加強(qiáng)應(yīng)用所學(xué)知識分析、思考、解決問題的意識和能力。

四、問題與反思

數(shù)學(xué)分析教學(xué)改革的探索與實踐體現(xiàn)了“學(xué)生中心、產(chǎn)出導(dǎo)向、持續(xù)改進(jìn)”的師范認(rèn)證理念，調(diào)動了學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，促進(jìn)了學(xué)生主動參與課堂內(nèi)外的學(xué)習(xí)，基本實現(xiàn)了讓學(xué)生忙起來、學(xué)起來、動起來，教學(xué)效果也得到提高。

數(shù)學(xué)分析課程是數(shù)學(xué)師范專業(yè)基礎(chǔ)課中普遍認(rèn)為難學(xué)的一門課，雖然依托師范認(rèn)證理念，認(rèn)真、踏實的進(jìn)行教學(xué)改革探索與實踐，但問題仍然不少。比如學(xué)生自主獲取知識的能力還不強(qiáng)；學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)分析理論知識綜合分析、解決較復(fù)雜問題的能力不足；仍有部分學(xué)生缺乏學(xué)習(xí)興趣。不同的學(xué)生有不同的知識基礎(chǔ)和理解能力，教師如何根據(jù)學(xué)生的差異做到更有效的因材施教，使每個師范生的知識、能力與素質(zhì)在各自的基礎(chǔ)上有顯著提高；教學(xué)評價如何更精準(zhǔn)的對接課程目標(biāo)，如何做到更加全面、客觀的反映學(xué)生的實際情況，提升評價的可信度；教師還需要綜合考慮學(xué)生的知識結(jié)構(gòu)、基礎(chǔ)水平、課余可支配的時間等多種因素，從質(zhì)和量上探索合理的設(shè)計研究性作業(yè)、探索性作業(yè)、常規(guī)性作業(yè)及其評價量規(guī)等等。因此，今后仍需要在教學(xué)實踐中持續(xù)不斷的探索，進(jìn)一步改進(jìn)和完善教學(xué)方法和考核評價方式，優(yōu)化數(shù)學(xué)分析課程的教學(xué)過程，提高課程的教學(xué)質(zhì)量。