馮娟娟,李元杰，王心華

(1．蘭州大學(xué) 物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院 物理學(xué)國(guó)家級(jí)實(shí)驗(yàn)教學(xué)示范中心,甘肅 蘭州 730000；2.蘭州大學(xué) 物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院,甘肅 蘭州 730000)

懸浮是一種利用磁場(chǎng)、電場(chǎng)或聲場(chǎng)使物體懸浮在穩(wěn)定的機(jī)械平衡狀態(tài)以對(duì)抗重力的技術(shù)。尋找便宜而簡(jiǎn)單的穩(wěn)定懸浮方法為其廣泛應(yīng)用提供了前景，如無(wú)摩擦運(yùn)輸、無(wú)容器存儲(chǔ)、無(wú)接觸操縱等[1-7]。對(duì)于磁懸浮，需要考慮歐肖定理，該定理表明，偶極子只有在動(dòng)態(tài)穩(wěn)定的情況下才能被懸浮[8-13]。本文討論一種新的方法：使用標(biāo)準(zhǔn)的實(shí)驗(yàn)室工具:磁力攪拌器，實(shí)現(xiàn)被動(dòng)磁懸浮。利用這個(gè)裝置，在甘油中，觀察到一個(gè)簡(jiǎn)單的棒狀磁子經(jīng)歷了從穩(wěn)定的旋轉(zhuǎn)模式到穩(wěn)定的振蕩懸浮模式的轉(zhuǎn)變。

主要的實(shí)驗(yàn)裝置為磁力攪拌器，棒狀磁子，粘性液體-甘油。通過(guò)逐漸增大驅(qū)動(dòng)子的轉(zhuǎn)速。在某些特定情況下，磁力攪拌器的“攪拌子”在攪拌時(shí)，能在粘性流體中穩(wěn)定地上升和懸浮。本文探究了“攪拌子”動(dòng)態(tài)穩(wěn)定的起源，討論了相關(guān)參數(shù)的影響。

所謂的動(dòng)態(tài)穩(wěn)定包括豎直穩(wěn)定和徑向穩(wěn)定。豎直穩(wěn)定是指在豎直方向上磁子幾何中心高度基本保持不變。而徑向穩(wěn)定是指磁子在水平方向基本處于中心位置，并且認(rèn)為磁子能保持30 s以上穩(wěn)定，并且給其微擾可以回歸。

1 懸浮子的動(dòng)力學(xué)

驅(qū)動(dòng)子和懸浮子在懸浮子角速度ωd=ω↑時(shí)懸浮子開始懸浮。當(dāng)ωd減小到ω↑時(shí)，懸浮子不下落，直到ωd=ω↓時(shí)下落。其中ωd是驅(qū)動(dòng)子角速度，ω↑定義為懸浮子開始懸浮時(shí)攪拌子的臨界角速度，ω↓定義為懸浮子從懸浮狀態(tài)開始下落時(shí)攪拌子的臨界角速度。

水平方向上的轉(zhuǎn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)的分析：由于磁力的水平分量提供的磁力矩作周期性變化，懸浮后的懸浮子在水平方向上的轉(zhuǎn)動(dòng)除了一個(gè)有恒定角速度為ωs的旋轉(zhuǎn)(spin)外，還有一個(gè)角振幅為A,角頻率為ωw的搖擺(waggle)。

通過(guò)初步分析，本文認(rèn)為磁子豎直方向上的穩(wěn)定性是由于磁子轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，排斥力作用時(shí)間大于吸引力作用時(shí)間，一個(gè)周期內(nèi)斥力和吸引力的平均作用效果和重力作用效果實(shí)現(xiàn)平衡(抵消)[14]，而水平方向上的穩(wěn)定是由于偏離驅(qū)動(dòng)子轉(zhuǎn)軸的攪拌子會(huì)進(jìn)行偏心抖動(dòng)，產(chǎn)生指向驅(qū)動(dòng)子轉(zhuǎn)軸的向心力，使其回歸。

令燒杯底至驅(qū)動(dòng)子距離為Zb,攪拌子至驅(qū)動(dòng)子距離為Z,攪拌子轉(zhuǎn)過(guò)的角度為θ，驅(qū)動(dòng)子與攪拌子的夾角為φ。

圖1為實(shí)驗(yàn)裝置示意圖。

(a) 實(shí)驗(yàn)裝置示意圖

對(duì)于磁子懸浮前的過(guò)程，稱之為同步過(guò)程。當(dāng)驅(qū)動(dòng)子轉(zhuǎn)速不大時(shí)，攪拌子停留在容器底部，與驅(qū)動(dòng)子同步轉(zhuǎn)動(dòng)。同步旋轉(zhuǎn)階段的動(dòng)力學(xué)方程為：

(1)

D是長(zhǎng)橢球體的阻力常數(shù)，K是幾何因子，? 表示由于容器底部的接近而增加的阻力，ι是攪拌子長(zhǎng)度，η是粘滯系數(shù)。md和mf分別是驅(qū)動(dòng)器和懸浮子的磁矩，μ0是真空磁導(dǎo)率。

隨著ωd逐漸增加，φ逐漸增大至π/2，此時(shí)磁力作用效果由吸引變?yōu)榕懦?，磁力矩達(dá)到最大值。進(jìn)一步加大轉(zhuǎn)速，使得阻力矩大于磁力矩，攪拌子與驅(qū)動(dòng)子不再同步，最后達(dá)到懸浮狀態(tài)。

(2)

將M和D的表達(dá)式代入，得：

(3)

此即懸浮子開始懸浮時(shí)的驅(qū)動(dòng)子角速度。

懸浮后的水平方向上的動(dòng)力學(xué)方程為：

(4)

而歸化后的豎直方向上的動(dòng)力學(xué)方程為：

(5)

Z0為懸浮子到驅(qū)動(dòng)子的距離，此時(shí)豎直方向上的磁力等于重力。νt為攪拌子在甘油中自由下落的最終速度，g′為考慮浮力后修正的重力加速度。

2 穩(wěn)定懸浮高度與ωd的關(guān)系

要進(jìn)行數(shù)值計(jì)算，需要知道的參量有：磁子的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量I，式中的阻力常數(shù)D，磁力力矩M(Z0)、等效重力加速度g′,磁子下落的穩(wěn)定速度νt以及式中的平衡高度Z0。

運(yùn)用扭擺測(cè)量，得轉(zhuǎn)動(dòng)慣量I=2.47×10-8kg·m2?？紤]到浮力后修正的等效重力加速度為g′=8.01 m/s2。測(cè)得Z0為4.25 cm。代入(3)得μ0mdmf=1.27×10-6m5·kg·s-2。測(cè)得此時(shí)的ω↑為242 rad/s。由其表達(dá)式可得D=6.8×10-4kg·m/s。通過(guò)tracker獲得懸浮子下沉的坐標(biāo)數(shù)據(jù)，通過(guò)線性擬合后得到νt=6.62 cm/s。

聯(lián)立(4)、(5)，

將上面所測(cè)量結(jié)果帶入微分方程，運(yùn)用MATLAB計(jì)算，結(jié)果見圖2。

t/s

圖2(a)是通過(guò)龍格庫(kù)塔法[15]得到的θ隨時(shí)間的變化情況，可以看到，正如預(yù)期的，它是一個(gè)勻速轉(zhuǎn)動(dòng)和擺動(dòng)的疊加。運(yùn)用ODE函數(shù)[16]驗(yàn)證，得到了類似的結(jié)果(圖2(b))。

而后圖3是轉(zhuǎn)速分別為180、240、300、360 rad/s下，Z隨時(shí)間的變化關(guān)系。

從圖3可以看出，隨著轉(zhuǎn)速的增大，穩(wěn)定懸浮的高度逐漸降低，振幅逐漸變小。

通過(guò)實(shí)驗(yàn)結(jié)果，可以驗(yàn)證上面的模擬結(jié)果。

t/s

在模擬時(shí)通過(guò)取不同的ωd得到相應(yīng)的穩(wěn)定懸浮的高度，再將其連接起來(lái)，作為Z-ωd理論曲線。實(shí)際實(shí)驗(yàn)中，通過(guò)在不同的ωd下測(cè)得穩(wěn)定懸浮的高度，作為實(shí)驗(yàn)值，從圖4中可以看出實(shí)驗(yàn)值與理論值吻合得很好，表明理論模型基本正確。

ωd(rad/s)

上述的理論計(jì)算結(jié)果和實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，在甘油液體中，可以通過(guò)改變相關(guān)參量(例如ωd)，來(lái)控制穩(wěn)定懸浮的懸浮高度。

3 影響ω↑與ω↓的相關(guān)參數(shù)

另外，對(duì)可能影響ω↑、ω↓的另外幾個(gè)參數(shù)也進(jìn)行了研究。具體研究的參量關(guān)系有：(a)研究了ω↑、ω↓與液體深度的關(guān)系(圖5.(a))，結(jié)果表明ω↑、ω↓與液體深度無(wú)明顯關(guān)系；(b)研究了ω↑、ω↓與甘油濃度的關(guān)系，如圖5(b)所示，ω↑與粘度的-1.5次方成正比；(c)研究了ω↑、ω↓與Zb的關(guān)系，圖5(c)顯示ω↑與Zb的負(fù)三次方成正比；(d)研究了不同尺寸攪拌子與ω↑、ω↓的關(guān)系(圖5(d)),可以看到ω↑、ω↓對(duì)于不同尺寸存在差異；(e)研究了不同杯徑燒杯與ω↑、ω↓的關(guān)系(圖5(e))，實(shí)驗(yàn)結(jié)果ω↑、ω↓與杯徑無(wú)明顯關(guān)系。

Liquid depth/cm

圖5為相應(yīng)的實(shí)驗(yàn)結(jié)果，從圖中可以看出ω↑、ω↓與液體深度和杯徑無(wú)明顯關(guān)系。并且正如理論預(yù)測(cè)，ω↑與粘度的-1.5次方成正比，與Zb的負(fù)三次方成正比。另外，由于不同形狀和長(zhǎng)度的磁子會(huì)影響ω↑中的其它各參量,又研究了ω與幾何外型的定性關(guān)系。

從以上數(shù)據(jù)可得，實(shí)驗(yàn)的現(xiàn)象基本符合ω↑的理論公式的結(jié)論。

4 結(jié) 語(yǔ)

綜上所述，磁力攪拌器提供了一種簡(jiǎn)單的被動(dòng)磁懸浮方法，在這種方法中，懸浮子可以長(zhǎng)時(shí)間地穩(wěn)定懸浮。本研究中觀察了磁懸浮現(xiàn)象，分析了其處于動(dòng)態(tài)穩(wěn)定狀態(tài)的原因，得到了具體的運(yùn)動(dòng)方程。而后通過(guò)用數(shù)值方法解微分方程，得到了理論結(jié)果，并通過(guò)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)驗(yàn)證了理論計(jì)算，最后探究了穩(wěn)定懸浮的閾值與相關(guān)參數(shù)的影響。