程景順，張瑋瑋，張紅梅，張 海

（安慶師范大學 數(shù)理學院，安徽 安慶 246133）

分數(shù)階微積分本質(zhì)上是任意階的微積分，它是整數(shù)階微積分的推廣，在工程學[1]、生物學[2]、經(jīng)濟學[3]以及物理學[4]等領(lǐng)域都有廣泛應用。分數(shù)階微積分比整數(shù)階微積分具有更多的自由度和更好的記憶與遺傳性質(zhì)，可以更好地描述神經(jīng)元之間的信號傳遞關(guān)系，更精準地描述各類系統(tǒng)的動力學行為。

人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)具有人腦的一些基本功能，其模型在不同程度、不同層次上能模擬人腦神經(jīng)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)。利用常微分方程刻畫神經(jīng)元動力學是很不準確的，因為它是局部的，無法描述神經(jīng)元的記憶和遺傳的性質(zhì)。而分數(shù)階微積分模型可以更準確地描述實際系統(tǒng)的動態(tài)響應，提高動態(tài)系統(tǒng)的設(shè)計和控制能力。近年來，一些專家、學者將分數(shù)階導數(shù)引入到神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中，建立了分數(shù)階神經(jīng)元微分方程模型。研究表明，分數(shù)階微積分的引入有利于神經(jīng)元之間的信息傳輸[5]，在分數(shù)階層次上的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)逼近與整數(shù)階模型相比具有較高的收斂速度[6]，因此對分數(shù)階神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的研究具有重大意義。

同步在密碼學[7]、安全通信[8]、圖像加密[9]等領(lǐng)域應用廣泛，且類型很多，如準一致同步[10]、投影同步[11]、完全同步[12]、Mittag-Leffler同步[13]、全局漸近同步[14]等。在工程應用中，人們希望同步能夠盡快地實現(xiàn)，甚至在一段有限時間內(nèi)實現(xiàn)，基于此，有限時間同步的概念被提出。有限時間同步的概念主要有兩種：（1）當t到達有限時間T時，同步誤差e(t)收斂于0，當t≥T時，e(t)=0；（2）同步誤差e(t)在有限時間內(nèi)保持在一定的范圍。本文采用第2種有限時間同步的定義。

分數(shù)階微積分經(jīng)常被用來描述記憶效應，而時滯動力學系統(tǒng)可以討論另一種記憶效應。事實上，由于神經(jīng)元之間的信息傳輸速度和信號處理受到限制，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)不可避免地會遇到時間延遲，這會導致系統(tǒng)的振蕩、分叉和混沌。延遲有不同的類型，例如離散延遲[15]、泄露延遲[16]、分布式延遲[17]等。由于各種原因，時間延遲在神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的同步實現(xiàn)中不可避免。因此，對神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)時間延遲的研究具有非常重要意義[18]。然而，對分數(shù)階混合時滯神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型的有限時間同步問題還未見文獻報道，因此，本文就這一問題展開研究，主要利用Gronwall不等式、不等式放縮技巧等導出帶混合時滯的分數(shù)階神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)有限時間同步的充分條件，以降低分析和計算的復雜性，使所得結(jié)果更加準確。

1 預備知識

1.1 分數(shù)階微積分的定義和引理

定義1[19]函數(shù)的α階分數(shù)積分的定義為

定義2[19]函數(shù)的α階Caputo導數(shù)定義為

其中，t≥t0，n∈Z+，n-1＜α＜n。特別地，當0＜α＜1時

引理1[18]如果f(t)∈C n[0,+∞)且n-1＜α,β＜n∈Z+，則（1）

引理2[20]（Gronwall不等式） 假設(shè)λ＞0,0＜T＜+∞,u(t),a(t),b(t),l(t),k(t)是定義在[t0,T]上的非負連續(xù)函數(shù)，φ(t)是定義在[t0-τ,t0]上的非負連續(xù)函數(shù)，若有

則對t∈[t0,t0+τ]，有

對t∈[t0+τ,T]，有

進一步講，如果a(t),b(t),φ(t)是非遞減函數(shù)，φ(t0)=a(t0)，則

1.2 模型描述

本文所考慮的一類具有混合時滯的分數(shù)階神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型可描述為

其中，0＜α＜1，x i(t)是驅(qū)動系統(tǒng)（1）的狀態(tài)變量；f(x)表示不帶時滯的激活函數(shù)，h(x)，g(x)均表示具有時滯的激活函數(shù)；c i＞0為反饋連接權(quán)重，a ij,b ij,mij是常數(shù)，分別表示第j神經(jīng)元在時間t,t-τ,t-σ時與第i神經(jīng)元的連接，τ,σ表示非負常數(shù)的傳輸延遲；I i表示外部輸入偏差。

系統(tǒng)（1）作為驅(qū)動系統(tǒng)，初始條件為x i(s)=φi(s),t∈[-γ,0),γ∈max{ }τ,σ,i=1,2,3,…,n，其中，系統(tǒng)（1）的響應系統(tǒng)可表示為

其中，y i(t)表示響應系統(tǒng)（2）的狀態(tài)變量，U i(t)是外部控制器，其他符號與驅(qū)動系統(tǒng)（1）相同。系統(tǒng)（2）的初始值為

為了得到驅(qū)動-響應系統(tǒng)的同步，選取如下控制器

其中，μi＞0為控制增益。驅(qū)動系統(tǒng)（1）和響應系統(tǒng)（2）的同步誤差e i(t)=y i(t)-x i(t)，則誤差系統(tǒng)為

為了方便，將驅(qū)動系統(tǒng)、響應系統(tǒng)和誤差系統(tǒng)改寫為向量形式：

其中，Q=C+μ。

假設(shè)1神經(jīng)激活函數(shù)f(x),g(x),h(x)滿足：

其中，F(xiàn),G,H＞0，且均是Lipschitz常數(shù)，u、v∈R。

定義3[20]在控制器（3）下，驅(qū)動系統(tǒng)（1）和響應系統(tǒng)（2）在有限時間實現(xiàn)同步，即誤差系統(tǒng)的狀態(tài)是有限時間穩(wěn)定的，若存在正數(shù)δ,ε,T，ε＞δ，當且僅當‖ψi‖＜δ，有‖e(t) ‖＜ε，對均成立。

2 主要結(jié)果

下面，利用Gronwall不等式推導一類分數(shù)階混合時滯神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的有限時間同步的充分條件。

定理在假設(shè)1的條件下，如果滿足下列條件：

則驅(qū)動系統(tǒng)（1）與響應系統(tǒng)（2）在控制器（3）下實現(xiàn)有限時間同步，其中，t∈[0,T],p,q＞0使得

證明由引理1可知，對誤差系統(tǒng)（7）進行α階積分有

對兩邊取適當?shù)姆稊?shù)，在假設(shè)1下有

在條件（8）下，可以得到‖e(t)‖＜ε。由定義3可知：誤差系統(tǒng)（4）是有限時間穩(wěn)定的，即驅(qū)動系統(tǒng)（1）與響應系統(tǒng)（2）在控制器（3）下實現(xiàn)有限時間同步。

3 數(shù)值模擬

考慮一類具有混合時滯的分數(shù)階神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)作為驅(qū)動系統(tǒng)：

其對應的響應系統(tǒng)為

其中，激活函數(shù)取f i(x i(t))=g i(x i(t))=h i(x i(t))=tanhx。由假設(shè)1可知，F(xiàn)=G=H=1，參數(shù)分別為

令p=2,ε=1,δ=0.01,σ=1,τ=0.4，控制器中取‖μ=1‖，由定理可得：

通過計算可知，同步時間T約為0.786 06。

當α1=0.93,α2=0.75,α3=0.25時，初始條件取x(t0)=0.2,y(t0)=0.1，在控制器（3）下的驅(qū)動系統(tǒng)（9）和響應系統(tǒng)（10）的誤差變量e(t)的運動軌跡如圖1所示，其范數(shù)‖e(t)‖的運動軌跡如圖2所示。

圖1 e(t)的運動軌跡

圖2 ‖e(t)‖的運動軌跡

圖3 e i(t)的運動軌跡

圖4 ‖e i(t)‖的運動軌跡

4 結(jié)論

綜上所述，本文借助具有時滯的Gronwall不等式以及一些分析技巧推導了具有混合時滯的分數(shù)階神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的有限時間同步的充分判據(jù)。通過具體的數(shù)值實例證實了所得結(jié)果的正確性和可行性。值得指出的是，分數(shù)階微積分模型在很多方面都有研究，在今后的研究課題中，也可以繼續(xù)利用本文的一些分析技巧來處理其他更為復雜的模型。