劉鐵林，楊 越，李文博

（沈陽建筑大學土木工程學院，遼寧 沈陽 110168）

引言

建筑結(jié)構(gòu)扭轉(zhuǎn)破壞是一種常見的震害形式。針對建筑結(jié)構(gòu)地震扭轉(zhuǎn)振動問題，學者已經(jīng)開展了許多研究工作。一些學者研究了一致激勵偏心框架及框剪結(jié)構(gòu)的彈性扭轉(zhuǎn)［1-4］和彈塑性扭轉(zhuǎn)［5-9］問題。自從Newmark［10］率先開展行波激勵下對稱建筑結(jié)構(gòu)地震扭轉(zhuǎn)振動問題的研究之后，一些學者針對行波激勵下對稱和偏心結(jié)構(gòu)的地震扭轉(zhuǎn)響應進行了研究。Hao［11］針對多點激勵下的單層對稱框架結(jié)構(gòu)，研究了柱剪力和樓板扭矩。結(jié)果表明，不考慮行波效應會低估柱子的剪力值。Heredia-Zavoni 等［12］和陽棟等［13］針對多點地震激勵下的對稱框架結(jié)構(gòu)，研究了柱剪力的響應。結(jié)果表明，考慮地震動的行波效應時，底層柱剪力明顯增大。Hao［14］利用隨機方法研究了多點激勵下單層偏心框架結(jié)構(gòu)的扭轉(zhuǎn)響應，結(jié)果表明，結(jié)構(gòu)自振頻率和地震動相位差以及非耦聯(lián)扭平頻率比都會影響結(jié)構(gòu)的扭轉(zhuǎn)響應。

上述研究采用數(shù)值方法。劉鐵林等［15］針對正弦行波激勵下單層對稱框架結(jié)構(gòu)，采用解析方法研究了結(jié)構(gòu)的扭轉(zhuǎn)響應。結(jié)果表明，激勵頻率在低于基頻的一定范圍，激勵頻率越低，柱剪力行波效應越顯著。

文中針對正弦行波激勵下單層偏心框架結(jié)構(gòu)的扭轉(zhuǎn)振動問題，采用解析方法研究結(jié)構(gòu)的扭轉(zhuǎn)響應。建立單層偏心框架結(jié)構(gòu)在行波激勵下的振動方程并采用相對運動法對其進行求解，獲得結(jié)構(gòu)響應的解析解。計算正弦行波激勵下單層偏心框架結(jié)構(gòu)扭轉(zhuǎn)響應，探討質(zhì)量偏心率和激勵頻率對結(jié)構(gòu)的峰值樓板扭矩和峰值柱剪力的影響規(guī)律。

1 振動方程

1.1 振動方程建立

圖1（a）是單層偏心框架結(jié)構(gòu)示意圖，其中b和a分別是x和y方向跨度，h是結(jié)構(gòu)高度。設m是剛性樓板質(zhì)量，Jcm是繞樓板質(zhì)心鉛直軸的轉(zhuǎn)動慣量。kx與ky分別是各柱在x和y方向的側(cè)移剛度。點Cs是結(jié)構(gòu)的剛心和樓板形心重合點，點Cm是樓板質(zhì)心，ex是x方向的質(zhì)量偏心距。波動沿x方向傳播，y方向激勵。左側(cè)1 柱和2 柱的柱底先同時受到激勵，右側(cè)3 柱和4 柱的柱底經(jīng)b/v時間后再同時受到激勵，v是視波速。圖1（b）是某時刻樓板振動示意圖，其中粗實線是樓板經(jīng)過質(zhì)心y方向平動和繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動后的振動位置。

圖1 單層偏心框架結(jié)構(gòu)Fig.1 Single-story eccentric frame structure

設柱頂x方向絕對位移分別為ux1、ux2、ux3和ux4，柱頂y方向絕對位移分別為uy1、uy2、uy3和uy4，柱底y方向絕對位移分別為uy01、uy02、uy03和uy04，則由圖1可建立結(jié)構(gòu)y方向平動和扭轉(zhuǎn)振動方程為：

需要說明的是，左側(cè)的1柱和2柱y方向的剪力相等，右側(cè)的3柱和4柱y方向的剪力相等。

1.2 擬靜力位移和動力量方程

利用相對運動法，由方程（3）可得擬靜力位移為：

分別為結(jié)構(gòu)非耦聯(lián)的y方向自振圓頻率和扭轉(zhuǎn)自振圓頻率。

2 樓板扭矩和柱剪力的解析解

2.1 正弦行波激勵加速度

利用地震動加速度和位移時程的構(gòu)成［16］，選取地震動加速度和位移時程通項作為正弦行波激勵，則左側(cè)柱底和右側(cè)柱底y方向正弦激勵時程如下：

當0≤t≤b/v時

當t≥b/v時

式中，Ag為正弦行波振幅；θ為激勵頻率。

2.2 樓板質(zhì)心的絕對位移和樓板轉(zhuǎn)角位移

將式（8）和式（9）中的柱底y方向的位移時程代入式（4）得到擬靜力位移，將式（8）和式（9）中的柱底y方向的加速度時程代入方程（5），利用振型疊加法得到動力量位移，將擬靜力位移和動力量位移相加，可得行波激勵下偏心結(jié)構(gòu)樓板質(zhì)心的絕對位移和樓板轉(zhuǎn)角位移穩(wěn)態(tài)解如下：

當0≤t≤b/v時，

當t≥b/v時，

式中，η=ex/b為文中采用的樓板x方向偏心率。

當激勵頻率θ趨于0 時，sinθt和sinθ(t-b/v)分別近似為θt和θ(t-b/v)，則由式（10）～（13）可知位移響應均為零。當θ趨于∞時，則由式（10）～式（13）顯然可知位移響應也皆為零。即當激勵頻率θ趨于0或∞時，樓板質(zhì)心y方向的絕對位移和繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)角位移都趨于0，即處于靜止狀態(tài)。

當偏心距ex趨于0即η= 0時，有ω1=ωy，則式（10）～式（13）可退化為文獻［15］給出的行波激勵下對稱框架結(jié)構(gòu)扭轉(zhuǎn)響應的解析解。

當視波速v趨于無窮大時，式（12）和式（13）可退化為一致激勵下偏心結(jié)構(gòu)的位移響應

由式（14）中的右式可知，一致激勵下偏心結(jié)構(gòu)樓板會產(chǎn)生扭轉(zhuǎn)振動，并存在2 個共振區(qū)，而一致激勵下對稱結(jié)構(gòu)樓板不產(chǎn)生扭轉(zhuǎn)振動。

由式（14）的第一個式子減去一致激勵情況下的基礎位移uy0l=uy0r= -( )Ag θ2sinθt+Agt/θ，可得一致激勵下偏心結(jié)構(gòu)的樓板質(zhì)心相對于基礎的y方向側(cè)移為

式（14）中的左式和式（15）不顯含偏心率η，但ω1和ω2與結(jié)構(gòu)偏心距ex有關(guān)，因此樓板質(zhì)心y方向的絕對位移和相對側(cè)移實際上皆與結(jié)構(gòu)的偏心有關(guān)。一致激勵下偏心結(jié)構(gòu)的y方向振動存在2個共振區(qū)。

注意到對稱結(jié)構(gòu)即偏心率η為零時，ω1=ωy，則由式（15）可得一致激勵下對稱框架結(jié)構(gòu)樓板相對基礎的y方向側(cè)移為

2.3 樓板扭矩

注意到η=ex/b，則由方程（3）的第二行，得扭矩為：

將式（10）～式（13）代入上式，可得行波激勵下偏心結(jié)構(gòu)樓板扭矩的穩(wěn)態(tài)解如下：

當0≤t≤b/v時，

當t≥b/v時，

與絕對位移響應的分析同理，當激勵頻率θ趨于0和∞時，易得兩個時間段的扭矩都為0。

注意到偏心率η= 0 時有ω1=ωy，則式（18）～式（19）可退化為文獻［15］給出的行波激勵下對稱框架結(jié)構(gòu)樓板扭矩穩(wěn)態(tài)響應的解析解。

當視波速v趨于無窮大時，式（19）可退化為一致激勵下偏心結(jié)構(gòu)的樓板扭矩，

由式（18）和式（19）可見，行波激勵下無論是偏心結(jié)構(gòu)還是對稱結(jié)構(gòu)都會產(chǎn)生扭轉(zhuǎn)振動。由式（20）易見，一致激勵下偏心結(jié)構(gòu)的樓板扭矩不為零，而對稱結(jié)構(gòu)的樓板扭矩為零。

2.4 柱剪力

考慮到左側(cè)的1柱和2柱y方向的剪力相等，可用Fyl表示1柱或2柱y方向的剪力；考慮到右側(cè)的3柱和4柱y方向的剪力相等，可用Fyr表示3柱或4柱y方向的剪力。則柱頂剪力有：

將式（10）～式（13）代入式（21）和式（22），可得行波激勵下偏心結(jié)構(gòu)左側(cè)和右側(cè)柱子y方向的柱剪力穩(wěn)態(tài)解如下：

當0≤t≤b/v時，

當t≥b/v時，

與絕對位移響應的分析同理，當激勵頻率θ趨于0和∞時，易知左側(cè)和右側(cè)柱子的兩個時間段y方向的柱剪力都為0，結(jié)果合理。

當偏心率η趨于0 時，有ω1=ωy、ω2=ωφ和4r2ω2φ-b2ω2y=a2ω2x，則式（23）～式（26）可退化為文獻［15］給出的行波激勵下對稱框架結(jié)構(gòu)y方向柱剪力穩(wěn)態(tài)響應的解析解。

當視波速v趨于無窮大時，式（25）和式（26）可退化成一致激勵下偏心結(jié)構(gòu)的y方向柱剪力，

當視波速v無窮大且偏心率為零時，由式（27）和式（28）可得一致激勵下對稱結(jié)構(gòu)的y方向柱剪力為，

3 算例

取圖1（a）中的單層偏心框架結(jié)構(gòu)為例，樓板邊長b取6 600 mm，a取4 500 mm，厚度取120 mm。各梁截面尺寸皆取300 mm × 550 mm。柱高h取4 200 mm，各柱截面尺寸皆取500 mm × 500 mm?；炷翉姸鹊燃墳镃30，彈性模量為3×104MPa。鋼筋混凝土密度取2 500 kg/m3。正弦激勵的加速度振幅Ag取1.0 m/s2，持續(xù)時長50 s，視波速取3 000 m/s。分析不同偏心率和不同激勵頻率時正弦行波激勵下單層偏心框架結(jié)構(gòu)的峰值樓板扭矩和y方向峰值柱剪力。

3.1 偏心率與結(jié)構(gòu)頻率關(guān)系

圖2是結(jié)構(gòu)固有頻率ω1和ω2以及結(jié)構(gòu)非耦聯(lián)的y方向自振圓頻率ωy和扭轉(zhuǎn)自振圓頻率ωφ與偏心率η的關(guān)系。

圖2 結(jié)構(gòu)頻率與偏心率關(guān)系曲線Fig.2 Relations between structural frequency and eccentricity ratio

由圖2、式（6）第一式和式（7）可知，結(jié)構(gòu)非耦聯(lián)的y方向自振圓頻率ωy與偏心率無關(guān)，結(jié)構(gòu)非耦聯(lián)的扭轉(zhuǎn)自振圓頻率ωφ不偏心時有最大值，且隨偏心率增大而逐漸降低。結(jié)構(gòu)固有頻率ω1不偏心時有最大值且等于ωy，相同偏心情況下ω1小于ωy，ω1隨偏心率增大而逐漸降低。結(jié)構(gòu)固有頻率ω2不偏心時有最大值且等于ωφ，相同偏心情況下ω2大于ωφ，ω2隨偏心率增大而逐漸降低。

3.2 峰值樓板扭矩

圖3（a）是視波速為3 000 m/s時峰值樓板扭矩與偏心率和激勵頻率的關(guān)系曲面圖，圖3（b）是不同偏心率情況下峰值樓板扭矩與激勵頻率的關(guān)系。

圖3 峰值樓板扭矩Fig.3 Peak floor torque

由圖3（a）和（b）可知，峰值樓板扭矩關(guān)于偏心率η=0 對稱。行波激勵下偏心結(jié)構(gòu)的峰值樓板扭矩在ω1和ω2處各存在一個共振區(qū)，而行波激勵下對稱結(jié)構(gòu)只在ω2處有一個共振區(qū)。隨著偏心率增大，共振區(qū)向低頻方向偏移且共振區(qū)范圍逐漸增大。對于偏心結(jié)構(gòu)，ω1處的共振區(qū)比ω2處的共振區(qū)窄。

3.3 y方向峰值柱剪力

圖4（a）為視波速3 000 m/s 時左柱y方向峰值柱剪力（對數(shù)坐標）與偏心率和激勵頻率（對數(shù)坐標）的關(guān)系曲面圖，圖4（b）是圖4（a）中激勵頻率0.1 Hz以上的部分。

圖4 左柱y方向峰值柱剪力與偏心率和激勵頻率關(guān)系Fig.4 Relations between peak column shear of left column in the y direction and eccentricity ratio as well as excitation frequency

由圖4（a）和4（b）可知，行波激勵下偏心與對稱結(jié)構(gòu)的y方向峰值柱剪力都在極低激勵頻率（0.007 3 Hz）處存在一個峰值，峰值位置與偏心率無關(guān)。行波激勵下偏心與對稱結(jié)構(gòu)的y方向峰值柱剪力在ω1和ω2處各存在一個共振區(qū)，且隨著偏心率增大共振區(qū)向低頻方向偏移。ω1處共振區(qū)比ω2處共振區(qū)寬。需要說明的是，一致激勵下偏心結(jié)構(gòu)y方向峰值柱剪力在ω1和ω2處也各存在一個共振區(qū)，且隨著偏心率增大共振區(qū)也向低頻方向偏移。

圖5 是結(jié)構(gòu)偏心率分別為0 和負20%時左柱y方向峰值柱剪力與激勵頻率關(guān)系曲線。實線為行波激勵，虛線為一致激勵。由圖5 可知，偏心結(jié)構(gòu)（圖中僅展示一種偏心率情況）行波激勵下的峰值柱剪力大于一致激勵的峰值柱剪力，行波激勵下對稱結(jié)構(gòu)的峰值柱剪力也大于一致激勵的峰值柱剪力。行波激勵下無論偏心結(jié)構(gòu)還是對稱結(jié)構(gòu)極低頻部分都會出現(xiàn)從零開始的突升陡降的峰值區(qū)域。無論偏心結(jié)構(gòu)還是對稱結(jié)構(gòu)，當激勵頻率低于某個小于ω1的頻率時，行波激勵的峰值柱剪力大于一致激勵峰值柱剪力，激勵頻率越低，柱剪力的行波效應越顯著。這意味著在低頻成分豐富的地震波作用下框架結(jié)構(gòu)易于出現(xiàn)行波效應。

由圖5也可知，一致激勵下偏心結(jié)構(gòu)的y方向峰值柱剪力在ω1和ω2處各存在一個共振區(qū)，而對稱結(jié)構(gòu)只在ω1處存在一個共振區(qū)。

圖5 左柱y方向峰值柱剪力與激勵頻率關(guān)系曲線Fig.5 Relations between peak column shear of left column in y direction and excitation frequency

需要指出的是，右柱y方向峰值柱剪力可得到與左柱相同的結(jié)果。

圖6（a）和（b）分別為左側(cè)柱和右側(cè)柱y方向峰值柱剪力與偏心率關(guān)系曲線。實線為行波激勵，虛線為一致激勵。由圖6 可知，對于偏心結(jié)構(gòu)，無論行波激勵還是一致激勵，靠近質(zhì)心一側(cè)柱子的峰值柱剪力大，遠離質(zhì)心一側(cè)柱子的峰值柱剪力小。行波激勵下偏心和對稱結(jié)構(gòu)的峰值柱剪力大于一致激勵的峰值柱剪力。

圖6 y方向峰值柱剪力與偏心率關(guān)系曲線Fig.6 Relations between peak column shear in y direction and eccentricity ratio

4 結(jié)論

文中建立了單層偏心框架結(jié)構(gòu)在行波激勵下的振動方程，采用相對運動法求解得到了正弦行波激勵下單層偏心框架結(jié)構(gòu)樓板質(zhì)心y方向的絕對位移、樓板轉(zhuǎn)角位移、樓板扭矩和柱剪力的解析解。分析了結(jié)構(gòu)固有頻率、峰值樓板扭矩和峰值柱剪力，得出以下結(jié)論：

（1）對于偏心結(jié)構(gòu)，無論行波激勵還是一致激勵，峰值樓板扭矩在結(jié)構(gòu)的2 個固有頻率處各存在一個共振區(qū)。隨著偏心率增大，2個共振區(qū)都向低頻方向偏移且范圍逐漸增大。對于對稱結(jié)構(gòu)，行波激勵下峰值樓板扭矩只存在第2個共振區(qū)，而一致激勵時不產(chǎn)生扭轉(zhuǎn)振動。

（2）行波激勵下偏心和對稱結(jié)構(gòu)的激勵方向峰值柱剪力于極低激勵頻率處都存在一個突升陡降區(qū)域，在結(jié)構(gòu)的2個固有頻率處各存在一個共振區(qū)。突升陡降區(qū)域的峰值位置與偏心率無關(guān)，2個共振區(qū)都隨偏心率增大向低頻方向偏移。一致激勵下對稱結(jié)構(gòu)則只存在第1 個共振區(qū)，而偏心結(jié)構(gòu)在2 個固有頻率處也各存在一個共振區(qū)，2個共振區(qū)也都隨偏心率增大向低頻方向偏移。

（3）無論偏心結(jié)構(gòu)還是對稱結(jié)構(gòu)，當激勵頻率在低于基頻的一定范圍時，激勵頻率越低，柱剪力的行波效應越顯著。

（4）對于偏心結(jié)構(gòu)，無論行波激勵還是一致激勵，靠近質(zhì)心一側(cè)柱子的峰值柱剪力大，遠離質(zhì)心一側(cè)柱子的峰值柱剪力小。

（5）結(jié)構(gòu)非耦聯(lián)的激勵方向自振頻率與偏心率無關(guān)。對稱結(jié)構(gòu)的非耦聯(lián)扭轉(zhuǎn)自振頻率最大，偏心結(jié)構(gòu)的非耦聯(lián)扭轉(zhuǎn)自振頻率隨偏心率增大而逐漸降低。對稱結(jié)構(gòu)的固有頻率最大且等于非耦聯(lián)自振頻率，偏心結(jié)構(gòu)的固有頻率隨偏心率增大而逐漸降低。