劉慶綱，宋皓杰，郭?昊，魏旭明，周興林

輪胎-路面三維力解析模型的建立與簡化方法

劉慶綱1，宋皓杰1，郭?昊1，魏旭明1，周興林2

(1. 天津大學(xué)精密測試技術(shù)及儀器國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，天津 300072；2. 武漢科技大學(xué)交通學(xué)院，武漢 430081)

研究輪胎-路面之間的三維作用力，對預(yù)測路面早期損壞、優(yōu)化道路設(shè)計(jì)具有指導(dǎo)作用，同時(shí)也是分析車輛動力學(xué)性能、研制和改進(jìn)整車控制系統(tǒng)的有效手段．文中利用ABAQUS有限元仿真軟件，建立了輪胎與路面之間相互作用力與胎冠相對輪輞中心位移之間的力-位移多元非線性回歸模型；該模型通過分析在三維力作用下輪胎不同位置處節(jié)點(diǎn)的變形和位移，實(shí)現(xiàn)了不同節(jié)點(diǎn)處的輪胎與路面之間作用力的求解，并通過改變充氣斷面尺寸、不同載荷下沉量等指標(biāo)使模型有效性得到了驗(yàn)證，為設(shè)計(jì)并優(yōu)化位移傳感器的布局、提高測量結(jié)果的可信度，提供了理論依據(jù)．采用帶有二次項(xiàng)的多元非線性回歸模型對11.00R20載重子午線輪胎進(jìn)行仿真計(jì)算．結(jié)果表明，在接地中心角不超過±15°范圍內(nèi)，回歸模型的三維力預(yù)測值相對于預(yù)設(shè)值的誤差不超過±2%．為在兼顧回歸模型準(zhǔn)確度的前提下，提高該模型的解算效率、降低由位移解算力過程的繁瑣性，通過分析完整模型中各子項(xiàng)對力預(yù)測結(jié)果的貢獻(xiàn)度，進(jìn)一步提出了簡化回歸模型；當(dāng)≤±15°時(shí)，各個節(jié)點(diǎn)處完整模型與簡化模型均方根誤差(RMSE)的最大值相差0.43kN；當(dāng)≤±9°時(shí)，兩者差值減小至0.27kN．分析結(jié)果表明，通過對安裝在輪胎上的位移傳感器所采集的數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，完整模型和簡化模型均能實(shí)現(xiàn)輪胎與路面間相互作用三維力的預(yù)測和計(jì)算，但簡化模型的適用范圍比完整模型要窄．

輪胎有限元仿真建模；輪胎-路面；三維力模型；多元回歸分析；模型簡化

據(jù)統(tǒng)計(jì)，我國道路特別是高速公路的設(shè)計(jì)使用年限一般為15年，但實(shí)際平均使用年限僅為5～7年[1].瀝青路面結(jié)構(gòu)在道路開通后會出現(xiàn)車轍、裂縫、松動、沉降等問題，嚴(yán)重危及路面的使用性能和安全性能[2]．若采用簡單的平均垂直載荷的道路力學(xué)設(shè)計(jì)模型，無法測量輪胎與路面接觸的三維力動載荷及其分布，則局限性十分明顯，特別是對于重載車輛而言[3-5].為了實(shí)現(xiàn)輪胎接地特性和運(yùn)行狀態(tài)的監(jiān)控、路面早期破壞形式的預(yù)測和預(yù)防，通常需要同時(shí)對三維力及其應(yīng)力分布狀況進(jìn)行實(shí)時(shí)測量．

為了準(zhǔn)確分析瀝青路面在車輛荷載作用下的應(yīng)力分布，許多學(xué)者利用有限元軟件建立了三維輪胎-路面接觸模型，模擬動載作用下路面的三維力分布，并由此分析了瀝青路面結(jié)構(gòu)的損傷與災(zāi)害機(jī)理[6-11].一些研究人員正在研制三維位移-力傳感器，分析輪胎與路面矢量接觸力作用下位移與力的關(guān)系[12-16].以上研究的重點(diǎn)都注重于傳感器自身結(jié)構(gòu)的仿真方法開發(fā)上，缺乏對傳感器分布的合理性和力解耦方案的相關(guān)分析和研究．

為了解決上述問題，本文通過對輪胎-路面相互作用下輪胎變形-位移-應(yīng)力的非線性多元回歸建模，研究傳感器優(yōu)化分布，提高測量結(jié)果的可靠性，并對簡化分析模型進(jìn)行了研究和分析．

1?輪胎的有限元模型建模與分析

1.1?有限元建模

以11.00R20全鋼載重子午線輪胎[17]為例，利用ABAQUS有限元仿真軟件，以參數(shù)化建模方法進(jìn)行建模分析．11.00R20子午線輪胎斷面材料分布如圖1(a)所示，由于輪胎三維模型具有旋轉(zhuǎn)對稱性，二維軸對稱模型經(jīng)二維軸對稱網(wǎng)格后，可繞中性軸旋轉(zhuǎn)360°生成輪胎三維模型，如圖1(b)所示．

圖1?輪胎材料分布

輪輞和地面都定義為解析剛體，輪輞與胎圈的接觸對簡化為綁定約束．在地面參考點(diǎn)作用豎直位移，使輪胎與地面建立好接觸關(guān)系，再在地面參考點(diǎn)作用特定大小的集中力，即可模擬輪胎與路面之間的作用力．圖1(c)是在標(biāo)準(zhǔn)充氣壓力930kPa、標(biāo)準(zhǔn)載荷3550kg條件下輪胎的輪廓變形情況示意．圖1(c)中的表示模型中輪胎內(nèi)襯層中心圓上某點(diǎn)和接地中心點(diǎn)分別與輪胎旋轉(zhuǎn)中心點(diǎn)連線之間的夾角．在標(biāo)準(zhǔn)氣壓930kPa下，記錄不同載荷下的輪胎下沉量仿真計(jì)算數(shù)值，繪制出載荷與下沉量的關(guān)系曲線，如圖2(a)所示，這與文獻(xiàn)[18]中給出的實(shí)測數(shù)據(jù)曲線吻合程度較好，證明了輪胎有限元模型的有效性．

圖2?930kPa內(nèi)壓下沉量與載荷關(guān)系

1.2?輪胎模型有效性分析

為了驗(yàn)證輪胎模型的有效性，將輪胎在充氣工況和靜載荷工況下的仿真計(jì)算數(shù)值與實(shí)測結(jié)果進(jìn)行比對．表1是標(biāo)準(zhǔn)氣壓930kPa、標(biāo)準(zhǔn)負(fù)荷3550kg工況下的模擬值與實(shí)測值[19]的對比，可發(fā)現(xiàn)以實(shí)測值為標(biāo)準(zhǔn)的各項(xiàng)測試參數(shù)模擬值的相對誤差最大不超過3.15%，證明了模型的有效性．

表1?模擬仿真數(shù)據(jù)與實(shí)測數(shù)據(jù)對比

Tab.1?Comparison of simulation and measured data

在標(biāo)準(zhǔn)氣壓930kPa下，垂直載荷與下沉量的關(guān)系曲線與文獻(xiàn)[18]中給出的實(shí)測數(shù)據(jù)曲線吻合程度較好，如圖2(b)所示，進(jìn)一步證明了本文輪胎模型的有效性．

2?三維力的統(tǒng)計(jì)模型的建立

為了得到輪胎-路面三維力與輪胎上內(nèi)襯層中心圓任意一點(diǎn)處位移的函數(shù)關(guān)系，進(jìn)而得到由傳感器實(shí)測的位移值解算三維力的方案，用有限元仿真計(jì)算的方法獲得不同力(建模時(shí)共用了61組)作用下的位移，以此作為樣本，用最小二乘多元回歸擬合的方法，建立力與位移關(guān)系式．考慮到輪胎材料非線性、力與位移的維間耦合等因素，函數(shù)擬合公式為

式中：F、F、F為輪胎-路面作用力的3個分量，kN；U、U、U為輪胎內(nèi)襯層中心圓上某一點(diǎn)處的位移的3個分量，mm；a()、b()、c()、d()、e()、f()、g()(、、)均為擬合系數(shù)．給定節(jié)點(diǎn)位置參數(shù)的條件下，F(或F，F)可由U、U、U結(jié)合擬合系數(shù)解得．

輪胎內(nèi)襯層中心圓上非節(jié)點(diǎn)處的位移無法依據(jù)有限元模型求得，故其位移與輪胎-路面三維力之間的函數(shù)關(guān)系并不能采用回歸擬合的方式得到．這些非節(jié)點(diǎn)處的力與位移函數(shù)關(guān)系中的系數(shù)可用鄰近節(jié)點(diǎn)處的系數(shù)做線性內(nèi)插的方法進(jìn)行估計(jì)．為了檢驗(yàn)擬合結(jié)果的準(zhǔn)確度，計(jì)算各個節(jié)點(diǎn)處擬合結(jié)果的均?方根誤差(RMSE)和決定系數(shù)2，計(jì)算結(jié)果如圖3所示．

由圖3可知，越接近0°，即位移傳感器的安裝位置越接近輪輞中心，則回歸方程的RMSE值越小，R值越大．

為了評估每個節(jié)點(diǎn)的解耦關(guān)系的準(zhǔn)確性，選擇了5個附加的三維力預(yù)設(shè)作為計(jì)算每個節(jié)點(diǎn)位移的測試條件，利用回歸模型，將位移值代入力-位移擬合關(guān)系，得到三維力預(yù)測值，預(yù)測值與預(yù)設(shè)值的相對誤差如圖4所示．結(jié)果表明，隨變化的三維力預(yù)測誤差在中間較小兩側(cè)較大；當(dāng)≤±15°時(shí)，各方向力的預(yù)測誤差除最后1組測試條件中的F外，其他值均不超過2%．

圖3?各節(jié)點(diǎn)處回歸模型的RMSE和R2

圖4?三維力預(yù)測誤差與節(jié)點(diǎn)位置的關(guān)系

3?三維力-位移的統(tǒng)計(jì)模型的簡化

以式(1)～式(3)的函數(shù)形式對力與位移的關(guān)系式進(jìn)行回歸分析，計(jì)算結(jié)果表明，這種各個變量都具備二次項(xiàng)的函數(shù)形式能比較準(zhǔn)確地反映輪胎系統(tǒng)受三維力作用下的非線性特性和力的耦合特性．然而，由于所選函數(shù)形式的復(fù)雜性，用位移計(jì)算力的過程較為繁瑣，這給輪胎系統(tǒng)的標(biāo)定和力的解耦帶來諸多麻煩，也不利于測量系統(tǒng)誤差的理論分析．因此，在保證回歸模型精度的前提下，應(yīng)選取更簡單的方程來描述力與位移的數(shù)學(xué)關(guān)系．原有的回歸模型中，采用了位移3分量各自的二次函數(shù)之和的形式來表示某一方向上的力，關(guān)系式中共具備7項(xiàng)，在用該模型進(jìn)行三維力的預(yù)測時(shí)，當(dāng)某一項(xiàng)的計(jì)算結(jié)果在力的預(yù)測值中占比遠(yuǎn)小于其他項(xiàng)時(shí)，便可認(rèn)為該項(xiàng)對預(yù)測結(jié)果的貢獻(xiàn)可以忽略不計(jì)．也就是說，該項(xiàng)的有無對最終的預(yù)測結(jié)果影響很小，故力與位移函數(shù)關(guān)系可以用式(1)～式(3)中刪除這些項(xiàng)之后的形式來進(jìn)行描述．為了找到那些對力的預(yù)測結(jié)果貢獻(xiàn)較小的項(xiàng)，以F的預(yù)測結(jié)果為例，定義各項(xiàng)的貢獻(xiàn)系數(shù)分別為

貢獻(xiàn)系數(shù)表示了回歸模型中某一項(xiàng)對總體預(yù)測結(jié)果的貢獻(xiàn)程度，其絕對值越大則說明該項(xiàng)對預(yù)測結(jié)果的影響越明顯，在回歸模型中的地位越重要．以F＝5kN、F＝5kN、F＝20kN的輪胎三維力作為仿真測試條件，用有限元仿真計(jì)算出該工況下輪胎模型上各節(jié)點(diǎn)處的位移，再將各節(jié)點(diǎn)的位移值分別代入各自的回歸方程中計(jì)算力的預(yù)測值以及各項(xiàng)的貢獻(xiàn)系數(shù)．計(jì)算結(jié)果如圖5所示．

分析計(jì)算結(jié)果可知，在各個節(jié)點(diǎn)處，F回歸方程中的各項(xiàng)貢獻(xiàn)系數(shù)中，起主導(dǎo)作用的是(U)、(U)、(const)這3項(xiàng)，其余項(xiàng)很接近0，故可忽略不計(jì)；F回歸方程中的各項(xiàng)貢獻(xiàn)系數(shù)中，起主導(dǎo)作用的是(U)、(U)這2項(xiàng)；F回歸方程中的各項(xiàng)貢獻(xiàn)系數(shù)中，起主導(dǎo)作用的是(U2)、(U)、(const)這3項(xiàng)．在力與位移關(guān)系的完整回歸模型中保留上述主導(dǎo)項(xiàng)，可以得到力與位移的簡化回歸模型如下．

由式(4)～式(6)可知，F被視為關(guān)于U和U的線性函數(shù)，F被視為關(guān)于U和U的線性函數(shù)，F被當(dāng)視為僅關(guān)于U的二次函數(shù)．因此，這種簡化的回歸模型在一定程度上忽略了輪胎系統(tǒng)的非線性特性和力的維間耦合效果，因此對真實(shí)的輪胎系統(tǒng)力學(xué)特性的描述不如完整的回歸模型準(zhǔn)確．

為了對簡化回歸模型的準(zhǔn)確程度做出評價(jià)，這里采用第2節(jié)中類似的方法，由于式(5)的回歸模型中不帶截距項(xiàng)，不能保證決定系數(shù)2的計(jì)算結(jié)果在0～1之間，此時(shí)該指標(biāo)失效，故這里僅通過計(jì)算各個節(jié)點(diǎn)處簡化回歸方程的RMSE來評價(jià)回歸模型的精度，并與完整回歸模型的評價(jià)參數(shù)比較，計(jì)算結(jié)果如圖6所示．

圖6?簡化模型與完整模型的均方根誤差

從圖6可以看出：①簡化回歸模型的均方根誤差大于完全回歸模型的均方根誤差，且差異顯著．②兩種模型的RMSE均隨節(jié)點(diǎn)位置參數(shù)絕對值的增大而增大，但簡化模型的RMSE受節(jié)點(diǎn)位置的影響更明顯．在簡化模型中，超過±10°以后RMSE的變化已經(jīng)很明顯，但完整模型能在不超過±18°的范圍內(nèi)保證RMSE變化不大，這說明簡化模型對節(jié)點(diǎn)位置要求更嚴(yán)格，只能在接地中心附近的小范圍內(nèi)保證高精度．更具體的數(shù)據(jù)表明，在簡化回歸模型中RMSE變化不明顯的±9°范圍內(nèi)的7個節(jié)點(diǎn)上，F、F和F的RMSE最大值分別為0.1605kN、0.1850kN和0.4560kN．

以F、F和F的最大值(25.0kN、17.2kN、50.0kN)為量程，在99.7%的置信水平下，回歸方程擬合誤差引入的最大滿量程相對誤差(3倍RMSE)分別為1.93%、3.15%和2.74%．當(dāng)≤15°時(shí)，完整回歸模型與簡化回歸模型的RMSE最大值相差0.43kN，當(dāng)≤9°時(shí)，其差值降至0.27kN．

利用兩個回歸模型得到的力與位移關(guān)系預(yù)測三維力值，計(jì)算預(yù)測值與預(yù)設(shè)值的相對誤差．以F＝5kN、F＝5kN、F＝20kN作為仿真測試條件，用有限元仿真模擬結(jié)果得到的13個節(jié)點(diǎn)位移值作為測試樣本．計(jì)算結(jié)果表明，在各個節(jié)點(diǎn)處F、F和F的最大預(yù)測誤差分別是-3.81%、-7.28%、-2.86%．簡化回歸模型在一定程度上是有效的，可以應(yīng)用于對力的預(yù)測精度要求不高的情況．原有完整模型的表達(dá)式形式復(fù)雜，包含的參數(shù)多，每個方向上的力均需要3個方向位移方可解算．由式(4)～式(6)可知，在進(jìn)行簡化后，僅需U和U即可解算F，僅需U和U即可解算F，僅需U和U這即可解算F．在只需要解算某一方向力時(shí)，不必測出所有方向上的位移，這有效降低了位移傳感器的性能要求和測量系統(tǒng)的實(shí)現(xiàn)難度．

4?結(jié)?語

采用多元非線性回歸模型建立了輪胎三維力與各節(jié)點(diǎn)位移之間的數(shù)學(xué)關(guān)系．為了提高擬合精度，應(yīng)當(dāng)增加輸入回歸模型的樣本數(shù)量，并且采用項(xiàng)數(shù)較多、形式復(fù)雜的的擬合函數(shù)形式來進(jìn)行回歸分析．

通過分析完整模型中各子項(xiàng)對力預(yù)測結(jié)果的貢獻(xiàn)，進(jìn)一步提出了簡化的回歸模型，在保證預(yù)測誤差基本相同的前提下，提高了模型的計(jì)算效率．當(dāng)不超過±9°時(shí)，完整模型和簡化模型各節(jié)點(diǎn)處回歸模型的RMSE最大值之差為0.27kN，該差值隨著的增大而增大．通過對安裝在輪胎上的位移傳感器數(shù)據(jù)的分析表明，完整模型和簡化模型都能實(shí)現(xiàn)輪胎與路面間三維力的預(yù)測和計(jì)算，但簡化模型的適用范圍比完整模型收窄．

本文雖然是對重載卡車的輪胎-路面作用力提出的完整解析模型和簡化解析模型，利用位移數(shù)據(jù)用于解算和預(yù)測三維作用力，但該方法對其他種類輪胎的相關(guān)分析仍適用；根據(jù)作用力的解析結(jié)果與接地角之間的關(guān)系，在進(jìn)一步提高傳感器安裝位置合理性的同時(shí)，有助于確認(rèn)輪胎對路面作用力的性質(zhì)和作用特點(diǎn)以及對道路產(chǎn)生損傷的方式，為道路安全設(shè)計(jì)提供分析依據(jù)．

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Establishment and Simplification of Tyre-Pavement 3D Force Analysis Model

Liu Qinggang1，Song Haojie1，Guo Hao1，Wei Xuming1，Zhou Xinglin2

(1. State Key Laboratory of Precision Measurement Technology and Instruments，Tianjin University，Tianjin 300072，China；2. School of Communications，Wuhan University of Science and Technology，Wuhan 430081，China)

The study of the three-dimensional vector value force(3D force) between the tyre and pavement can guide the prediction of early pavement damage and optimize road design. It is also an effective method for analyzing dynamic vehicle performance and develop and improve vehicle control systems. The multivariate nonlinear regression model of the 3D force-displacement，which means the displacement of the tire crown relative to the center of the rim，is established using the ABAQUS finite element simulation software. The model is able to realize the solution of the deformation force by analyzing the deformation/displacement at different node positions. By changing the size of the inflatable section and the sinking amount of different loads，its validity is obtained. This provides a theoretical basis for designing and optimizing the layout of displacement sensors and improving the reliability of measurement results. The multivariate nonlinear regression model with a quadratic term is applied to the simulation results of the 11.00 R20 loaded radial tyre. Experimental results show that the error of the regression model relative to the preset 3D force is less than ±2% within the grounding center angle≤±15°. A simplified regression model is further proposed by analyzing the contribution of each item in the complete model to the force prediction results to improve the efficiency of the regression model and reduce the complexity of the process of the displacement calculation. The maximum difference of the root mean square error(RMSE) between the predictive value and the preset value of the 3D force of the complete model and simplified model on each node is 0.43kN when≤±15° and 0.27kN whenis ≤±9°. The analyses show that both the complete and simplified models can realize the prediction and calculation of the 3D force between the tyre and pavement by analyzing the data of the displacement sensor installed on the tyre. However，the application range of the simplified model is narrower than that of the complete one.

modeling of tyre finite element simulation；tyre-pavement；3D force model；multiple regression analysis；model simplification

10.11784/tdxbz202102010

TQ366.1

A

0493-2137(2022)05-0512-07

2021-02-05；

2021-03-15.

劉慶綱（1964—??），男，博士，教授．

劉慶綱，lqg@tju.edu.cn.

國家自然科學(xué)基金-國家重大科研儀器研制資助項(xiàng)目(51827182).

Supported by the National Natural Science Foundation of China-National Major Scientific Research Instrument Development Project (No.51827182).

(責(zé)任編輯：孫立華)