朱兵

三項(xiàng)展開(kāi)式系數(shù)問(wèn)題側(cè)重于考查二項(xiàng)式定理、組合數(shù)定義的應(yīng)用，且解答此類問(wèn)題過(guò)程中的計(jì)算量較大.本文將結(jié)合幾個(gè)例題介紹求解三項(xiàng)展開(kāi)式系數(shù)問(wèn)題的幾種思路.

一、采用分組法

分組法是指將三項(xiàng)式進(jìn)行適當(dāng)?shù)牟鸱?，把題中給出的三項(xiàng)式分為兩組，兩次運(yùn)用二項(xiàng)式定理將三項(xiàng)式展開(kāi)，即可求得各項(xiàng)的系數(shù).在分組時(shí)，可將前兩項(xiàng)并為一組，也可將后兩項(xiàng)并為一組.

例1.求（x+ -3）6的展開(kāi)式中 x2的系數(shù).

首先利用加法的結(jié)合律，將（x+ -3）6分為兩個(gè)部分；然后運(yùn)用二項(xiàng)式定理得出第一個(gè)通項(xiàng)公式；再求該二項(xiàng)式的通項(xiàng)公式；最后通過(guò)合并同類項(xiàng)、加法運(yùn)算，就可以得到三項(xiàng)展開(kāi)式中 x2的系數(shù).

二、利用組合的定義

一般地，（ax + by + cz）可看作 n 個(gè)三項(xiàng)式ax + byn +cz 相乘，那么展開(kāi)式中的每一項(xiàng)由 d 個(gè) ax、e 個(gè) by、f個(gè) cz 的乘積構(gòu)成，其中 e + d +f= n，即從 n 個(gè)三項(xiàng)式中選取 d 個(gè) ax、e 個(gè) by、f個(gè) cz，則展開(kāi)式中 xm 的系數(shù)為 C n（d）?Cn（e）- d ?Cn（f）- d - e? adbecf.在解題時(shí)，需根據(jù)組合數(shù)的定義求得展開(kāi)式的系數(shù)，然后通過(guò)運(yùn)算求得問(wèn)題的答案.

例2.求（x -1+ ）5的展開(kāi)式中含有 x 的項(xiàng).

運(yùn)用組合數(shù)的定義解題，需要明確要求的項(xiàng)或項(xiàng) 的系數(shù)，然后一一列舉出所有可能的情況，最后再相 加，即可得出需要求的項(xiàng)及其系數(shù).

三、賦值

有些三項(xiàng)式較為復(fù)雜，此時(shí)可先將三項(xiàng)式進(jìn)行適 當(dāng)?shù)淖冃危辉俅刖唧w的數(shù)字，對(duì)表達(dá)式進(jìn)行賦值；最 后通過(guò)加減運(yùn)算，即可解題.但要注意，運(yùn)用此種方法， 一定要選取合適的數(shù)值進(jìn)行賦值，以便于計(jì)算.

例 3 .已知 （1 + x - 2x ） 2 5 = a10 x 10 + a9 x 9 +…+ a2 x 2 + a1x + a0，其中 a10，a9，…，a2，a1，a0 均為實(shí)數(shù)，（1）求∑n = 1 10 an 的值；（2）求∑n = 1 10 nan 的值.

解答本題主要運(yùn)用了賦值法，分別令 x = 1、0，消 去展開(kāi)式中的變量x，得到兩個(gè)關(guān)于 a10，a9，…，a2，a1，a0 的方程組，再通過(guò)整體變換求得問(wèn)題的答案.

相比較而言，第一個(gè)途徑比較常用，但解題過(guò)程 中的運(yùn)算量較大，第二種途徑較為復(fù)雜，第三種途徑 較為簡(jiǎn)單，但適用范圍較窄.

（作者單位：江蘇省徐州經(jīng)濟(jì)技術(shù)開(kāi)發(fā)區(qū)高級(jí)中學(xué)）