唐睿君,李 倩,劉顯明

(1.湖北民族大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，湖北 恩施 445000；2.湖北民族大學(xué) 信息工程學(xué)院，湖北 恩施 445000)

GW150914引力波事件[1]、事件視界望遠(yuǎn)鏡對M87黑洞陰影圖像的描繪[2]有力支持了愛因斯坦廣義相對論的正確性.然而，眾所周知廣義相對論理論存在紫外發(fā)散、不可重整化，帶來了引力量子化的困難，這一直是困擾理論物理學(xué)家的重大難題.最近，Horava提出了一種非相對論性可重整化的量子引力理論——Horava-Lifshitz(HL)引力理論，該理論在紅外尺度上能回到廣義相對論，在紫外尺度上通過破壞洛倫茲對稱性來建立一個紫外(ultraviolet)完備理論[3-4].該理論目前已經(jīng)在宇宙學(xué)和黑洞物理中得到廣泛地應(yīng)用[5-10].

在強(qiáng)引力場中研究測地線的結(jié)構(gòu)能夠探測致密天體的物理特征，這一直是物理學(xué)與天文學(xué)領(lǐng)域的熱點(diǎn)問題[11-17].應(yīng)用有效勢的方法可以方便地研究黑洞的測地線結(jié)構(gòu).近年來，Hu等[14]通過有效勢的方法討論規(guī)則Hayward黑洞時空中的類時測地線和類光測地線.Enolskii等[18]也研究了HL引力下漸進(jìn)平直時空中的黑洞[19]中的粒子運(yùn)動.

本文將應(yīng)用有效勢的方法詳盡地討論HL黑洞時空中的類時和類光測地線結(jié)構(gòu)，著重關(guān)注HL黑洞時空中的參數(shù)ω對類時測地線中不穩(wěn)定圓軌道、穩(wěn)定圓軌道、最小半徑束縛軌道以及類光測地線中不穩(wěn)定圓軌道、HL黑洞陰影半徑的影響.

1 Horava-Lifshitz(HL)黑洞時空下測地線結(jié)構(gòu)

1.1 軌道運(yùn)動方程與有效勢

漸近平直時空背景中的HL黑洞的線元為[19]

(1)

(2)

ω為HL參數(shù)，當(dāng)r?(M/ω)1/3時[19]，此解對應(yīng)為廣義相對論中的史瓦西黑洞.

HL黑洞時空中運(yùn)動粒子的拉格朗日方程為

(3)

(4)

(5)

式(4)、(5)中的積分常數(shù)E和L分別是粒子的能量和角動量.

(6)

(7)

當(dāng)a=1時，為類時測地線；當(dāng)a=0時，為類光測地線.文中后面的討論中取黑洞的質(zhì)量M=1.

1.2 類時測地線結(jié)構(gòu)

下面用有效勢的方法研究HL時空中的類時測地線.首先利用控制變量法討論粒子角動量L和參數(shù)ω對有效勢的影響.由圖1(a)可見，在ω=0.6的情形下，角動量L的逐漸增大引起粒子有效勢勢壘高度的增大.圖1(b)描述了在角動量取L=4.15時，有效勢勢壘高度隨著參數(shù)ω的增大而減小，同時當(dāng)ω?1時對應(yīng)為傳統(tǒng)的史瓦西黑洞時空中的情況.

(a) 不同角動量L (b) 不同參數(shù)ω圖1 粒子有效勢Fig.1 The effective potential of particle

接下來應(yīng)用有效勢的方法討論類時測地線結(jié)構(gòu).取L=4.15，ω=0.6，畫出粒子有效勢圖像如圖2所示.由圖2可知粒子運(yùn)動軌道包括不穩(wěn)定圓軌道、穩(wěn)定圓軌道、束縛軌道、吸收軌道.

進(jìn)一步利用方程(5)、(6)，做坐標(biāo)變換，并對φ再次求導(dǎo)可得粒子運(yùn)動方程：

(8)

(9)

下面將逐一分析圖2所出現(xiàn)的各種軌道類型.

圖2 類時測地線有效勢Fig.2 The effective potential of time-like geodesic

1) 圓軌道.圖2所表示的有效勢曲線中的極值點(diǎn)對應(yīng)粒子圓軌道的半徑，滿足條件：

(10)

(a) 不穩(wěn)定圓軌道 (b) 受擾動的不穩(wěn)定圓軌道(c) 受擾動的不穩(wěn)定圓軌道圖3 類時測地線Fig.3 Time-like geodesic

圖4 不穩(wěn)定圓軌道半徑隨ω的變化圖5 類時穩(wěn)定圓軌道 Fig.4 Variation of the unstable circular orbit radius with ωFig.5 The stable circular orbit of time-like geodesic

圖6表明在角動量L=4.15不變時，穩(wěn)定圓軌道半徑將隨著ω的增大而減小，同時ω趨于無窮時，對應(yīng)為史瓦西黑洞的穩(wěn)定圓軌道半徑 13.353M.

圖6 穩(wěn)定圓軌道半徑隨ω的變化 圖7 最內(nèi)層穩(wěn)定圓軌道半徑隨ω的變化

2) 吸收軌道和束縛軌道.

3) 最小半徑束縛軌道.當(dāng)粒子能量值E=1時，粒子有一個最小半徑的束縛軌道rmb.圖9研究了當(dāng)角動量L=4.15時，參數(shù)ω對rmb的影響.由圖9可知，最小半徑束縛軌道rmb隨著ω的增加而增大，直至接近史瓦西黑洞中的最小半徑束縛軌道半徑3.159M.

圖8 類時吸收和類時束縛軌道 圖9 最小半徑束縛軌道隨ω的變化Fig.8 The absorption and bound orbit of time-like geodesic Fig.9 Variation of the smallest radius of bound orbit with ω

1.3 類光測地線結(jié)構(gòu)

下面將研究類光測地線結(jié)構(gòu).從圖10可得到：當(dāng)角動量L=4.15恒定時，類光測地線的有效勢勢壘高度隨著參數(shù)ω的增大而減小(圖10(a))；當(dāng)固定參數(shù)ω=0.6時，可得有效勢勢壘高度隨著角動量L的逐漸增大而增大(圖10(b)).與類時測地線一樣，當(dāng)ω?1時對應(yīng)為傳統(tǒng)的史瓦西黑洞時空中的情況.

接下來取L=4.15,ω=0.6，研究類光測地線的特征軌道(如圖11).

(11)

由圖11可知，與類時測地線不同的是：光子的軌道類型中沒有穩(wěn)定圓軌道和束縛軌道，只有不穩(wěn)定圓軌道、吸收軌道和逃逸軌道.下面分析圖11所出現(xiàn)的各種軌道類型.

(a) 不同參數(shù)ω (b) 不同角動量L圖10 類光測地線的有效勢圖像Fig.10 Effective potential image of null geodesic

圖11 類光測地線的特征軌道Fig.11 Characteristic orbit of null geodesic

(a) 不穩(wěn)定圓軌道 (b) 受擾動的不穩(wěn)定圓軌道 (c) 受擾動的不穩(wěn)定圓軌道圖12 不穩(wěn)定圓軌道和受擾動的不穩(wěn)定圓軌道的類時測地線Fig.12 The unstable circular orbit and disturbed unstable circular orbit of null geodesic

圖13 光子不穩(wěn)定圓軌道半徑隨ω的變化Fig.13 Variation of the unstable circular orbit radius with ω for null geodesic

取角動量L=4.15時，圖13研究了參數(shù)ω對光子不穩(wěn)定圓軌道半徑的影響.結(jié)果表明：不穩(wěn)定軌道半徑隨著ω的增大而增大，同時當(dāng)ω趨于無窮時對應(yīng)到史瓦西時空中的不穩(wěn)定圓軌道半徑3M.

2) HL黑洞陰影半徑.黑洞陰影半徑與不穩(wěn)定圓軌道半徑的關(guān)系為[20]

(12)

圖14 黑洞陰影半徑隨ω的變化 圖15 類光吸收軌道和類光逃逸軌道Fig.14 Variation of black hole shadow radius with ω Fig.15 The absorption and escape orbit of null geodesic

2 結(jié)語

利用有效勢的方法仔細(xì)地研究了HL黑洞的測地線結(jié)構(gòu)，特別討論了HL引力參數(shù)ω對特征軌道的影響.研究結(jié)果表明：

1) 對于類時測地線，不穩(wěn)定圓軌道半徑ru、最內(nèi)層穩(wěn)定圓軌道半徑rms以及最小半徑束縛軌道rmb都比廣義相對論中的相應(yīng)半徑小，且它們都隨著HL黑洞時空中參數(shù)ω的增大而增大，當(dāng)ω趨于無窮大時，回到史瓦西時空中對應(yīng)半徑3.869M、6M、3.159M；穩(wěn)定圓軌道半徑rs比廣義相對論中穩(wěn)定圓軌道半徑大，且隨著ω的增大而減小，當(dāng)ω趨于無窮大時，回到史瓦西時空中對應(yīng)半徑值13.353M.