呂振亞 崔麗鴻

(北京化工大學(xué) 數(shù)理學(xué)院， 北京 100029)

引 言

圖像的傳輸、儲(chǔ)存和收集過程易受到外界各種有害噪聲的干擾，從而影響圖像的視覺質(zhì)量，使之與原始圖像之間產(chǎn)生較大的偏差。因此在對(duì)圖像作進(jìn)一步的分析之前，需要有關(guān)鍵的預(yù)處理步驟，如圖像去噪、圖像增強(qiáng)等[1]。磁共振成像(MRI)腦圖像受外界影響產(chǎn)生的噪聲主要為以加性噪聲形式存在的高斯噪聲，這些噪聲具有隨機(jī)性，且較難消除。為提高圖像質(zhì)量，研究者們提出了多種噪聲消除方法。

小波變換具有局部時(shí)頻變化和多分辨率的特征，去噪效果較好，因而得到廣泛運(yùn)用。其中最常見的是閾值去噪法，但由于硬閾值函數(shù)的不連續(xù)性以及軟閾值函數(shù)存在恒定偏差，傳統(tǒng)的閾值函數(shù)去噪并不能得到很好的效果。因此研究者們對(duì)傳統(tǒng)閾值函數(shù)提出了一些改進(jìn)。如邢國(guó)泉等[2]針對(duì)小于閾值的部分提出新的改進(jìn)閾值函數(shù)對(duì)圖像進(jìn)行去噪，但由于大于閾值的部分直接保留原始信號(hào)，造成了較大偏差，從而影響去噪效果。楊錚等[3]和Yang等[4]針對(duì)大于閾值的部分提出新的改進(jìn)閾值函數(shù)，分別用于軸承信號(hào)和伽馬射線譜降噪，但改進(jìn)閾值函數(shù)在小于閾值部分未能保留原始信號(hào)，使得去噪效果不太理想。陳竹安等[5]和葛佳悅等[6]針對(duì)傳統(tǒng)閾值函數(shù)的不足對(duì)閾值兩端整體作出改進(jìn)，并將改進(jìn)閾值函數(shù)分別用于遙感圖像和信號(hào)的去噪，取得了較好的效果。

針對(duì)現(xiàn)有閾值函數(shù)在小波系數(shù)間依然存在恒定偏差的不足，本文提出一種改進(jìn)的閾值函數(shù)去噪算法。首先證明了所提閾值函數(shù)的連續(xù)性和漸近性，其次通過圖像去噪模擬實(shí)驗(yàn)選取合適的小波基，并得出在參數(shù)a=2、b=30時(shí)的去噪效果最優(yōu)。最后通過實(shí)驗(yàn)?zāi)M驗(yàn)證了本文方法在腦圖像相似性評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)上優(yōu)于其他閾值函數(shù)。

1 小波閾值去噪

1.1 噪聲模型

通過小波變換對(duì)噪聲信號(hào)進(jìn)行處理后，噪聲集中在小波的高階部分，只有少量噪聲存在于低階部分。將大小為M×N的圖像(M為圖像的寬度，N為圖像的高度)添加高斯噪聲，此時(shí)含有高斯噪聲的二維圖像模型為

g(i,j)=f(i,j)+ε(i,j)

(1)

式中，g(i,j)表示含噪圖像，f(i,j)表示原圖像，ε(i,j)表示服從正態(tài)分布N(0,δ2)的高斯白噪聲，δ為標(biāo)準(zhǔn)差。去噪的實(shí)質(zhì)問題是從噪聲圖像g(i,j)中得到真實(shí)信號(hào)f(i,j)的近似值，盡可能地分離原始圖像和噪聲以達(dá)到去噪的目的。

1.2 傳統(tǒng)閾值函數(shù)

小波去噪的主要方法有基于奇異性檢測(cè)的去噪、空間相關(guān)去噪和小波閾值去噪。其中小波閾值去噪使用小波變換來使相鄰標(biāo)度之間具有強(qiáng)的相關(guān)性以過濾圖像中的高斯噪聲，從而達(dá)到恢復(fù)圖像的目的?？紤]到小波具有相關(guān)性，在小波變換后具有較大振幅的主要為信號(hào)，較小振幅的為噪聲，基于此設(shè)定適當(dāng)?shù)拈撝岛瘮?shù)進(jìn)行去噪。

Donoho[7]設(shè)定的硬、軟閾值函數(shù)圖像如圖1所示。硬閾值函數(shù)為

(2)

軟閾值函數(shù)為

(3)

式中，

λ為閾值，wj,k為小波系數(shù)，j,k為閾值處理后的小波系數(shù)。硬閾值函數(shù)和軟閾值函數(shù)由于處理簡(jiǎn)單、去噪效果好而應(yīng)用較廣，但也存在一些不足。如硬閾值函數(shù)在閾值λ處不連續(xù)，這將導(dǎo)致視覺失真，在圖像中產(chǎn)生振蕩和偽吉布斯效應(yīng)，并且當(dāng)小波系數(shù)|wj,k|≥λ時(shí)，硬閾值函數(shù)將直接保留小波系數(shù)，盡管很好地保留了原始圖像的信號(hào)，但也同樣保留了一定的噪聲信號(hào)；軟閾值函數(shù)顯示出良好的連續(xù)性，不會(huì)造成視覺失真，但是當(dāng)|wj,k|<λ時(shí)，小波系數(shù)不會(huì)得到很好地存儲(chǔ)，導(dǎo)致小波系數(shù)之間總是存在較大的偏差，這將使得重構(gòu)信號(hào)時(shí)很容易丟失原始信號(hào)，導(dǎo)致給最終的去噪效果造成較大的偏差。

圖1 傳統(tǒng)閾值函數(shù)的圖像Fig.1 Image of the traditional threshold function

1.3 改進(jìn)閾值函數(shù)

針對(duì)軟閾值函數(shù)存在偏差的問題,陳竹安等[5]對(duì)閾值λ的兩端作出改進(jìn)，提出了一種改進(jìn)的閾值函數(shù)(式(4))，其圖像如圖2所示。

(4)

圖2 閾值函數(shù)(4)的圖像Fig.2 Image of threshold function (4)

閾值函數(shù)去噪方法的基本思想是盡可能去除振幅較小的小波系數(shù)，保留振幅較大的小波系數(shù)。文獻(xiàn)[5]中改進(jìn)的閾值函數(shù)雖然具有良好的連續(xù)性，但是小波系數(shù)在|wj,k|≥λ部分不具備漸近性，會(huì)使得小波系數(shù)間存在恒定偏差，從而影響最終的去噪效果。

2 具有調(diào)節(jié)性的新改進(jìn)閾值函數(shù)

2.1 新閾值函數(shù)的提出

本文的改進(jìn)閾值函數(shù)在0<|wj,k|<λ部分添加了一個(gè)平滑的過渡區(qū)，在|wj,k|≥λ部分構(gòu)造了一個(gè)具有漸近性的函數(shù)，并將這兩段在閾值λ處連接，函數(shù)圖像如圖3所示，具體表達(dá)式如下。

(5)

添加調(diào)節(jié)參數(shù)后的閾值函數(shù)為

(6)

式中，a、b為調(diào)節(jié)參數(shù)，可以通過調(diào)節(jié)參數(shù)a、b的大小來降低估計(jì)小波系數(shù)與原小波系數(shù)間的恒定偏差，從而得到更好的去噪效果。

圖3 閾值函數(shù)(6)的圖像Fig.3 Image of threshold function (6)

2.2 新閾值函數(shù)的連續(xù)性

當(dāng)wj,k→λ+時(shí)，式(6)第一個(gè)式子可以寫為

(7)

當(dāng)wj,k→λ-時(shí)，式(6)第二個(gè)式子可以寫為

(8)

當(dāng)wj,k→-λ-時(shí)，式(6)第一個(gè)式子可寫為

(9)

當(dāng)wj,k→-λ+時(shí)，式(6)第二個(gè)式子可寫為

(10)

改進(jìn)的閾值函數(shù)在閾值±λ處連續(xù)，且在式(6)中，當(dāng)a,b→+∞時(shí)，閾值函數(shù)圖像接近于硬閾值函數(shù)。在參數(shù)a、b的調(diào)節(jié)過程中，函數(shù)圖像介于硬閾值函數(shù)和軟閾值函數(shù)圖像之間。

2.3 新閾值函數(shù)的漸近性

當(dāng)wj,k→-∞或wj,k→+∞時(shí)，有

(11)

2.4 閾值的選取

在小波閾值去噪的過程中，閾值的選取非常關(guān)鍵，它影響著最終的去噪效果。Donoho等[8]提出一種通用閾值

(12)

由于噪聲主要集中于小波系數(shù)的高頻部分，并隨著小波分解尺度的增加而減少，因此本文提出一種隨著分解尺度的增加而降低的改進(jìn)閾值

(13)

式中，lg (2j+1+6)為收縮因子，j為小波分解層數(shù)，δn為噪聲的標(biāo)準(zhǔn)差，表示為

(14)

式中，dj(k)為小波細(xì)節(jié)，median表示中值運(yùn)算，且C=0.674 5。

3 實(shí)驗(yàn)仿真

3.1 評(píng)價(jià)指標(biāo)

為了驗(yàn)證本文閾值函數(shù)相對(duì)其他閾值函數(shù)在醫(yī)療圖像上去噪的優(yōu)越性，使用圖像相似度評(píng)價(jià)指標(biāo)—均方誤差EMS(MSE)和峰值信噪比RPSN(PSNR)來描述去噪效果。

均方誤差定義為

(15)

峰值信噪比定義為

(16)

均方誤差值越小，峰值信噪比值越大，表明去噪圖像與原始圖像的相似度越高，去噪效果越好。

3.2 小波基的選取

本文實(shí)驗(yàn)在Matlab(2014)中編程完成。對(duì)MRI腦圖像A加入均值為0、對(duì)應(yīng)標(biāo)準(zhǔn)差為30的高斯噪聲，分別采用6種不同的小波基haar、db2、db4、db8、sym4、sym8對(duì)圖像進(jìn)行三層分解重構(gòu)，改進(jìn)閾值函數(shù)參數(shù)選取為a=2,b=30。經(jīng)不同小波基去噪后的圖像如圖4所示。由表1的實(shí)驗(yàn)結(jié)果可知，選擇sym8作為小波基時(shí)的去噪效果最好。

圖4 不同小波基對(duì)MRI圖像A的去噪效果Fig.4 Denoising effect of MRI image A with different wavelet bases

3.3 參數(shù)的選取

選取小波基為sym8，設(shè)定噪聲標(biāo)準(zhǔn)差為30，討論本文改進(jìn)閾值函數(shù)中兩個(gè)調(diào)節(jié)參數(shù)a、b對(duì)MRI圖像A去噪效果的影響。從圖5可以看出，當(dāng)a=3.5,b=40時(shí)所得圖像中會(huì)殘留部分噪聲，其余參數(shù)下所得圖像的視覺效果差別不大。根據(jù)表2的去噪數(shù)據(jù)，當(dāng)a=2,b=30時(shí)可獲得最優(yōu)的去噪效果。

表1 不同小波基對(duì)MRI圖像A的去噪數(shù)據(jù)

圖5 不同參數(shù)下MRI圖像A的去噪效果Fig.5 Denoising effect of MRI image A with different parameters

3.4 不同方法的去噪效果對(duì)比

為驗(yàn)證改進(jìn)閾值函數(shù)去噪的優(yōu)越性，對(duì)兩種MRI腦圖像A、B分別采用傳統(tǒng)閾值函數(shù)、文獻(xiàn)[5]中的方法和本文改進(jìn)閾值函數(shù)進(jìn)行對(duì)比實(shí)驗(yàn)。在圖像中加入均值為0，對(duì)應(yīng)標(biāo)準(zhǔn)差分別為20、25、30的高斯噪聲，選取sym8作為小波基并且設(shè)定最優(yōu)參數(shù)為a=2,b=30。將圖像分解之后進(jìn)行閾值處理，最后重構(gòu)獲得去噪后的圖像。不同標(biāo)準(zhǔn)差下硬、軟閾值函數(shù)去噪所得圖像的質(zhì)量均不理想，文獻(xiàn)[5]的改進(jìn)閾值函數(shù)去噪所得圖像的質(zhì)量有一定的提高，本文方法去噪所得圖像的視覺效果最好，其中標(biāo)準(zhǔn)差30下的去噪圖像如圖6、7所示，20、25、30這3種不同標(biāo)準(zhǔn)差下的去噪數(shù)據(jù)如表3、4所示。

表2 MRI圖像A在不同參數(shù)下的去噪數(shù)據(jù)

圖6 不同方法對(duì)MRI圖像A的去噪效果Fig.6 Denoising effect of MRI image A with different methods

圖7 不同方法對(duì)MRI圖像B的去噪效果Fig.7 Denoising effect of MRI image B with different methods

從圖6和圖7可以看出，對(duì)兩種MRI圖像進(jìn)行去噪處理，硬閾值函數(shù)所得圖像有明顯的振蕩和偽吉布斯效應(yīng)；軟閾值函數(shù)所得圖像明顯失真，丟失了部分原圖像的有用信息；文獻(xiàn)[5]相對(duì)于傳統(tǒng)閾值函數(shù)有一定程度的提高，所得去噪圖像的清晰度更好，同時(shí)保留了更多的圖像細(xì)節(jié)信息；然而相比之下，本文改進(jìn)方法去噪所得圖像的清晰度更高，去噪效果最佳。

表3和表4的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)表明，硬閾值函數(shù)的去噪效果要優(yōu)于軟閾值函數(shù)。文獻(xiàn)[5]提出的改進(jìn)閾值函數(shù)相比于硬閾值函數(shù)和軟閾值函數(shù)具有更高的PSNR和更低的MSE，說明去噪效果得到了提高。本文所提方法在不同噪聲標(biāo)準(zhǔn)差下都具有最大的PSNR和最小的MSE，因而無論是從視覺效果還是圖像相似度評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)來看，結(jié)果都可以表明本文改進(jìn)的閾值去噪算法性能更為優(yōu)越。

表3 不同方法對(duì)MRI圖像A的去噪數(shù)據(jù)

表4 不同方法對(duì)MRI圖像B的去噪數(shù)據(jù)

4 結(jié)束語(yǔ)

基于硬閾值函數(shù)的不連續(xù)性和軟閾值函數(shù)存在恒定偏差的不足，本文提出一種新的具有連續(xù)性、漸近性和靈活調(diào)節(jié)性的改進(jìn)閾值函數(shù)。首先選取改進(jìn)的固定閾值并通過實(shí)驗(yàn)選擇合適的小波基，即sym8，隨后得出改進(jìn)閾值函數(shù)在參數(shù)a=2、b=30時(shí)的去噪效果達(dá)到最佳。采用不同閾值函數(shù)針對(duì)兩種MRI腦圖像進(jìn)行去噪實(shí)驗(yàn)的對(duì)比結(jié)果表明，本文方法具有最佳的圖像相似度評(píng)價(jià)指標(biāo)，即PSNR最大，MSE最小。