陳 麗，劉浩然，馬柳平，孫 鳳

(沈陽工業(yè)大學(xué) 信息科學(xué)與工程學(xué)院，遼寧 沈陽 110870)

0 引言

磁懸浮技術(shù)在電磁、機(jī)械、動(dòng)力學(xué)、應(yīng)用電子、控制理論、信號(hào)處理等學(xué)科均有涉及，主要是通過有效利用磁力來克服物體所受到的重力從而使物體懸浮。由于懸浮物與懸浮底座處于無接觸狀態(tài)，避免了摩擦所導(dǎo)致的速度限制與能量損失，所以利用磁懸浮結(jié)構(gòu)的系統(tǒng)裝置擁有壽命長(zhǎng)、能量損耗低、無噪聲等優(yōu)點(diǎn)[1]。

在懸浮結(jié)構(gòu)上，磁懸浮地球儀多數(shù)采用使地球儀受到的重力與電磁鐵對(duì)地球儀向上的吸力相抵消的結(jié)構(gòu)使地球儀懸浮，例如實(shí)現(xiàn)磁懸浮球旋轉(zhuǎn)的驅(qū)動(dòng)裝置[2]與磁懸浮控制器[3]。這種懸浮方式由于主要依靠電磁鐵作為承載力，而電磁鐵所需要提供的懸浮力大小與功耗將根據(jù)懸浮物的變化而變化，因此這種電磁控制的懸浮技術(shù)擁有功耗大、線圈體積大、能量利用率不高等缺點(diǎn)。而在控制方法上，有PID控制[4]、模糊控制[5]、H∞魯棒控制[6]、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)反饋補(bǔ)償控制[7]、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)滑?？刂芠8]、LQR控制[9]、無傳感器控制[10]、混合模糊解耦控制[11]、平均功率平衡控制[12]和線性自抗擾控制[13]等方法。以上控制策略主要是為了提升磁懸浮地球儀的系統(tǒng)穩(wěn)定性與抗干擾能力和控制精確程度，而沒有考慮降低該系統(tǒng)的能耗。因此，本文提出了一種主要承載力為永磁力、調(diào)節(jié)控制力為電磁力的混合磁懸浮地球儀結(jié)構(gòu)，并對(duì)這種磁懸浮系統(tǒng)設(shè)計(jì)了零功率控制器，成功降低了系統(tǒng)的能耗。

1 混合磁懸浮地球儀的結(jié)構(gòu)和工作原理

該混合磁懸浮地球儀主要由地球儀、作為懸浮物的扁形永磁柱、作為承載力底座的永磁環(huán)、電磁鐵線圈、電磁鐵鐵芯、霍爾傳感器等元件組成，其結(jié)構(gòu)如圖1、圖2所示。

圖1 磁懸浮裝置結(jié)構(gòu)圖

圖2 磁懸浮裝置側(cè)視結(jié)構(gòu)圖

該混合磁懸浮地球儀是一種以懸浮永磁柱與底座永磁環(huán)之間產(chǎn)生的軸向斥力作為主要承載力、以電磁鐵對(duì)懸浮永磁柱的徑向電磁力作為修正的控制力，從而使地球儀處于穩(wěn)定懸浮狀態(tài)的一種低能耗混合磁懸浮系統(tǒng)。這種結(jié)構(gòu)的兩個(gè)永磁體均為軸向磁化軸向放置，并且磁極方向相同。在軸向上，永磁柱與永磁環(huán)所產(chǎn)生的磁通在他們之間的某氣隙區(qū)域內(nèi)為相反方向，當(dāng)兩個(gè)永磁體的結(jié)構(gòu)合理時(shí)，軸向斥力的永磁力將可以抵消永磁柱自身所受的重力。在徑向上，當(dāng)永磁柱位于中心位置，假設(shè)其受到干擾力向左偏移，將會(huì)使兩個(gè)永磁體氣隙間的磁通發(fā)生變化，霍爾傳感器將對(duì)永磁柱的位置偏差信號(hào)進(jìn)行檢測(cè)，并通過差分放大器，由閉環(huán)狀態(tài)反饋控制系統(tǒng)在電磁鐵線圈的繞組上產(chǎn)生控制磁通，由此產(chǎn)生向右的徑向控制力將永磁柱推回平衡位置。同理，永磁柱在任何徑向上的偏移均由此過程調(diào)整回平衡位置。

2 動(dòng)力學(xué)模型及零功率控制器設(shè)計(jì)

2.1 系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型的建立

對(duì)該混合磁懸浮結(jié)構(gòu)進(jìn)行受力分析，取永磁柱質(zhì)心O為坐標(biāo)原點(diǎn)，當(dāng)懸浮永磁柱受到干擾力而進(jìn)行徑向偏移時(shí)，電磁鐵在徑向上的控制力與永磁柱在徑向上所受到的永磁力的合力會(huì)將永磁柱的質(zhì)心拉回至點(diǎn)O，其中x為永磁柱在徑向M方向偏移距離，y為永磁柱在徑向N方向偏移距離，p為永磁環(huán)中心與電磁鐵中心的距離，如圖3所示。

圖3 系統(tǒng)受力分析圖

設(shè)M軸與x同向，N軸與y同向，則系統(tǒng)受力如下：

(1)

其中：m為懸浮永磁柱的質(zhì)量；FM、FN分別為電磁鐵產(chǎn)生的控制電磁力在M、N方向的徑向分力；FMm、FNm分別為永磁柱所受到的永磁力在M、N方向的徑向分力；Fd1、Fd2分別為干擾力在M、N方向產(chǎn)生的徑向干擾力。

永磁力由虛位移法得出：

(2)

其中：Wg為氣隙磁能;φg為永磁體結(jié)構(gòu)磁路磁通；Gg為氣隙中整個(gè)磁場(chǎng)回路的磁導(dǎo)。

電磁力由麥克斯韋電磁力公式得出：

(3)

其中：θ為電磁鐵頂部中心在平面方向與永磁柱底部中心的夾角，如θ1與θ2，可用來求得兩個(gè)電磁鐵對(duì)懸浮物產(chǎn)生的電磁力；Bg為氣隙磁感應(yīng)強(qiáng)度；Ag為電磁鐵中磁路的橫截面積;μ0為空氣磁導(dǎo)率；Lg為電磁鐵與永磁柱間的磁路有效長(zhǎng)度；Lg1與Lg2同理;n為電磁鐵的線圈匝數(shù)；I為電磁鐵的線圈電流；Ka與Ki分別為鐵芯與線圈的磁動(dòng)勢(shì)損失系數(shù)；為了方便表示，將電磁力公式的一部分表示為K。

忽略永磁柱偏移時(shí)在軸向上與永磁環(huán)的距離變化與空氣阻力，對(duì)永磁力與電磁力的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行線性化后，由式(1)～式(3)可得該磁懸浮系統(tǒng)在平動(dòng)方向上的動(dòng)力學(xué)方程：

(4)

其中：kx、ky為FM、FN對(duì)氣隙的剛度系數(shù)；ki為FM、FN對(duì)線圈電流的剛度系數(shù)；kMm、kNm為FMm、FNm的剛度系數(shù)；i1、i2為M、N方向電磁鐵線圈的電流；w1、w2為M、N方向上的徑向干擾力。

由于兩對(duì)電磁鐵為串聯(lián)，于是電磁鐵方程為：

(5)

其中：L為電磁鐵線圈電感；R為電磁鐵線圈電阻；u1、u2分別為M、N方向每對(duì)電磁鐵的施加電壓。

本文的磁懸浮系統(tǒng)選用電壓控制型。設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)空間變量、系統(tǒng)狀態(tài)輸入量、系統(tǒng)輸出量、干擾量分別為：

(6)

則由式(4)～式(6)可得系統(tǒng)狀態(tài)空間方程：

(7)

其中：A為狀態(tài)矩陣；B為輸入矩陣；C為輸出矩陣；E為干擾力矩陣。上述各矩陣如式(8)所示：

(8)

系統(tǒng)的可控、可觀矩陣如式(9)所示:

(9)

將式(8)代入式(9)，經(jīng)計(jì)算，矩陣P、Q均為滿秩矩陣，由于該系統(tǒng)為6維系統(tǒng)，與系統(tǒng)的可控與可觀測(cè)性矩陣的秩相等，可知該磁懸浮系統(tǒng)擁有可控性與可觀性，因此可以合理地對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行控制器的設(shè)計(jì)，使系統(tǒng)擁有穩(wěn)定性。

2.2 零功率控制器設(shè)計(jì)

2.2.1 控制原理

零功率控制是指電磁懸浮系統(tǒng)中的懸浮物在穩(wěn)定懸浮時(shí)，電磁鐵的線圈電流近似為零，且懸浮物在一定范圍內(nèi)受到干擾力作用時(shí)，能夠通過調(diào)整電磁鐵與懸浮物間的氣隙達(dá)到新的平衡位置，從而使線圈電流持續(xù)為零的一種控制。目前，零功率控制器已經(jīng)在各種磁懸浮系統(tǒng)中開始應(yīng)用[14-21]。本文采用引入局部電壓積分反饋的方法，并結(jié)合狀態(tài)反饋實(shí)現(xiàn)零功率控制。

2.2.2 動(dòng)態(tài)分析

由于M、N方向在系統(tǒng)中完全對(duì)稱，于是本文以M方向?yàn)槔?，?duì)徑向位移與控制電壓的傳遞函數(shù)進(jìn)行分析，對(duì)式(4)、式(5)進(jìn)行拉氏變換可得：

(10)

于是傳遞函數(shù)為：

(11)

由此可得M方向零功率控制系統(tǒng)框圖，如圖4所示，零功率控制器為虛線所圈部分。

圖4 零功率控制系統(tǒng)框圖

圖4中，Vref(s)為參考輸入電壓，該控制系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)過程為：在沒有加入零功率控制器時(shí)，即圖4中積分環(huán)節(jié)系數(shù)τ=0，并且在干擾力作用時(shí)，永磁柱穩(wěn)定在M正方向上的一個(gè)位移上，這時(shí)電磁力FM=Fd+(kx+kMm)x，F(xiàn)d為干擾力。加入零功率控制器后，同時(shí)在干擾力作用于永磁柱時(shí)，永磁柱會(huì)先在M正方向上有一段位移，狀態(tài)反饋產(chǎn)生一個(gè)負(fù)壓信號(hào)進(jìn)入零功率控制器，此負(fù)壓會(huì)由于零功率控制器中的正反饋而變大，從而導(dǎo)致經(jīng)過電磁鐵產(chǎn)生的電磁力將永磁柱拉回，使得永磁柱經(jīng)過平衡位置后停在M負(fù)方向的一個(gè)位置上，M負(fù)方向的位置信號(hào)通過(kx+kMm)反饋與干擾相互抵消，這時(shí)Fd+(kx+kMm)x=0，同時(shí)M負(fù)方向的位置信號(hào)經(jīng)過狀態(tài)反饋后產(chǎn)生一個(gè)正壓信號(hào)進(jìn)入零功率控制器，此正壓將會(huì)因零功率控制器中積分環(huán)的記憶功能而抵消原來的負(fù)壓，于是零功率控制器的輸出電壓和線圈電流、電磁力都變?yōu)榱恪＿@時(shí)永磁柱處于新平衡位置，它在M負(fù)方向位移的Fd/(kx+kMm)處。

2.2.3 理論分析

為方便分析，以圖4中干擾力為輸入信號(hào)，零功率控制器的輸出電壓為輸出信號(hào)，則圖4轉(zhuǎn)為圖5。

圖5 干擾力為輸入的零功率控制系統(tǒng)框圖

這時(shí)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為：

U(s)=W(s)·s(kp+kds)(Ls+R)/

[(ms2-kx-kMm)(s-τ)(Ls+R)-kis(kp+kds)].

(12)

其中：kp、kd分別為比例系數(shù)和微分系數(shù)。

假設(shè)以單位階躍信號(hào)作為干擾力輸入，這時(shí)W(s)=1/s，由終值定理可知，以單位階躍信號(hào)作為輸入，零功率控制器的輸出電壓將收斂于零：

(13)

從式(13)中可以看出，零功率控制器輸出電壓將在系統(tǒng)處于穩(wěn)態(tài)后為零，根據(jù)式(5)和式(10)可知線圈電流為零。永磁柱在軸向上的自身重力與底座永磁環(huán)之間的斥力相抵消，從而平衡自身，于是零功率控制得以實(shí)現(xiàn)。這時(shí)永磁柱的位移為：

X(s)=W(s)·(s-τ)(Ls+R)/

[(ms2-kx-kMm)(s-τ)(Ls+R)-kis(kp+kds)].

(14)

而當(dāng)系統(tǒng)處于穩(wěn)態(tài)時(shí)，永磁柱的徑向位移為：

(15)

從式(15)可以看出，當(dāng)系統(tǒng)受到干擾力影響后重新回歸穩(wěn)態(tài)時(shí)，永磁柱會(huì)處于一個(gè)新的徑向平衡位置，而新的平衡位置與中心位置的距離的大小，將與干擾力的強(qiáng)弱和永磁力、電磁力的剛度系數(shù)有關(guān)，其中剛度系數(shù)越大，新的平衡位置的偏離程度就越小。

3 仿真與實(shí)驗(yàn)分析

為了對(duì)上述的零功率控制器理論分析進(jìn)行驗(yàn)證，選擇合適的參數(shù)，并使用Simulink進(jìn)行了仿真并與PD控制進(jìn)行對(duì)比，將單位階躍信號(hào)作為干擾時(shí)磁懸浮系統(tǒng)的線圈控制電流曲線和永磁柱徑向位移變化曲線分別如圖6、圖7所示。從圖6、圖7中可以看出：在PD控制器作用下，系統(tǒng)在受到干擾并穩(wěn)定后，控制電流將保持在一個(gè)恒值，這將使系統(tǒng)擁有比較大的能耗；而在零功率控制下，系統(tǒng)在受到干擾的瞬間有控制電流產(chǎn)生，但通過零功率調(diào)節(jié)，系統(tǒng)在穩(wěn)定后永磁柱處于新的徑向平衡位置并使得電磁鐵線圈中的控制電流趨近于零；而對(duì)于永磁柱的徑向位移，PD控制與零功率控制都能使混合磁懸浮地球儀進(jìn)行穩(wěn)定懸浮，在零功率控制下，從系統(tǒng)受到干擾到穩(wěn)定懸浮，永磁柱會(huì)向干擾所致的偏移方向的相反方向偏離，到達(dá)新的平衡位置。

圖6 線圈電流變化曲線

圖7 永磁柱徑向位移

為了進(jìn)一步對(duì)零功率控制器的實(shí)際有效性進(jìn)行驗(yàn)證，設(shè)計(jì)并搭建了磁懸浮地球儀硬件系統(tǒng)，并對(duì)零功率控制算法進(jìn)行了軟件編程。有無零功率控制器的實(shí)驗(yàn)對(duì)比結(jié)果如圖8所示，可見采用零功率控制策略后，電磁鐵驅(qū)動(dòng)器的功耗從8.4 W降到了0.74 W，起到了節(jié)能的作用。

圖8 調(diào)試對(duì)比圖

通過上位機(jī)軟件所測(cè)得的零功率控制下的懸浮物位移的電壓信號(hào)與控制器輸出的電壓信號(hào)在干擾下的變化如圖9與圖10所示。

圖9 懸浮物位移的電壓信號(hào)

圖10 控制器輸出的電壓信號(hào)

由圖9與圖10可知：當(dāng)?shù)厍騼x受到干擾時(shí)，懸浮物位移的電壓信號(hào)首先有所降低，而后升高，最后振蕩衰減并到達(dá)新的平衡狀態(tài)；控制器輸出信號(hào)首先變化到反向，而后逐漸衰減到零。兩種信號(hào)都與上述的動(dòng)態(tài)分析過程一致，證明混合磁懸浮地球儀系統(tǒng)的零功率控制可以實(shí)現(xiàn)。

4 結(jié)論

在對(duì)所研究的混合磁懸浮地球儀進(jìn)行受力分析的基礎(chǔ)上得到系統(tǒng)平動(dòng)方向動(dòng)力學(xué)模型，建立了系統(tǒng)狀態(tài)空間方程，并設(shè)計(jì)了零功率控制器。仿真與實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明：在零功率控制器作用下，系統(tǒng)在受到干擾后進(jìn)入穩(wěn)態(tài)時(shí)的控制電壓與線圈電流都在零附近，這時(shí)永磁柱穩(wěn)定懸浮并處于新的平衡位置。利用零功率控制器能夠降低混合磁懸浮地球儀系統(tǒng)的功耗，達(dá)到節(jié)能的目的。