李德庚，孫 剛

(陜西省特種設(shè)備檢驗(yàn)檢測研究院，陜西 西安 710048)

0 引言

舒適性和安全性是評價電梯系統(tǒng)的關(guān)鍵指標(biāo)，電梯機(jī)械結(jié)構(gòu)的振動對乘坐的安全性和舒適性有著至關(guān)重要的影響，因此有必要對電梯在運(yùn)行階段的振動特性加以研究。電梯的曳引鋼絲繩可看做黏彈性體，其剛度隨時間和長度變化，不能忽略其對系統(tǒng)垂向振動的影響。電梯系統(tǒng)在運(yùn)行過程中不受外部載荷影響，振動激勵主要來源于啟制動和運(yùn)行時產(chǎn)生的剛體慣性力[1]。在此基礎(chǔ)上，本文以轎廂上行工況為基礎(chǔ)，建立了電梯垂向振動動力學(xué)模型和仿真模型，分別研究電梯轎廂在不同的運(yùn)行速度、啟制動加(減)速度和載重量時的振動響應(yīng)。

1 系統(tǒng)垂向動力學(xué)模型

1.1 系統(tǒng)動力學(xué)模型

曳引驅(qū)動電梯的機(jī)械系統(tǒng)主要由曳引系統(tǒng)、導(dǎo)軌、轎架、轎廂、對重、張緊輪及安全保護(hù)裝置組成。曳引機(jī)處在最頂端，通過曳引機(jī)和鋼絲繩間的摩擦力，實(shí)現(xiàn)轎廂和對重的上行和下行運(yùn)動。本文對曳引比為1∶1的電梯系統(tǒng)進(jìn)行建模，將機(jī)械部件間的連接部位和鋼絲繩簡化成彈簧-阻尼系統(tǒng)。將曳引驅(qū)動電機(jī)、減速器、制動器和導(dǎo)向輪的轉(zhuǎn)動慣量等效到曳引輪上，忽略導(dǎo)軌對轎廂及對重的橫向振動影響，忽略空氣阻力和鋼絲繩重量。建立的電梯系統(tǒng)垂向振動7自由度動力學(xué)模型如圖1所示。

圖1中，m1、r1、J1分別為曳引輪的質(zhì)量、半徑和等效轉(zhuǎn)動慣量；m5、r5、J5分別為張緊輪的等效質(zhì)量、等效半徑和等效轉(zhuǎn)動慣量；m2、m3、m4分別為對重質(zhì)量、轎架質(zhì)量、轎廂加載重的質(zhì)量；xi(i=1～5)分別為各個剛體的位移；φ1、φ2分別為曳引輪和張緊輪的轉(zhuǎn)角；k0、c0為曳引輪底部減震裝置的剛度和阻尼；kr1、kr2為對重和轎架與曳引輪連接鋼絲繩的剛度系數(shù)；ks為對重和轎架與曳引輪連接鋼絲繩繩頭的剛度系數(shù)；ki、ci(i=3、4、5)分別為對重與張緊輪、轎架與張緊輪、轎架與轎廂間連接的等效剛度與阻尼系數(shù)；kt為曳引輪抗扭剛度系數(shù)。

圖1 電梯系統(tǒng)垂向振動動力學(xué)模型

1.2 系統(tǒng)動力學(xué)方程

對于有N個自由度的多自由度振動系統(tǒng)，系統(tǒng)的運(yùn)動微分方程可以用拉格朗日方程表示為[2]：

(1)

其中：xj為第j個元件的廣義位移；T、V、D分別為系統(tǒng)的動能、勢能和耗散函數(shù)；Qj為相對于廣義坐標(biāo)xj的非保守廣義力，即系統(tǒng)所受的外力。對于保守系統(tǒng)，Qj=0。

電梯系統(tǒng)各個部件在任意時刻的位移可由垂向位移和繞其質(zhì)心轉(zhuǎn)動的角位移完全確定。以位移向上方向和逆時針轉(zhuǎn)動方向?yàn)檎?，根?jù)理論力學(xué)的基本理論，可以得出系統(tǒng)動能、勢能和耗散函數(shù)的表達(dá)式：

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

其中：k1、k2為對重和轎架與曳引輪連接鋼絲繩的等效剛度系數(shù)；Jk、ωk為曳引系統(tǒng)第k個元件的轉(zhuǎn)動慣量和角速度；E為鋼絲繩彈性模量；A為鋼絲繩橫截面積；n為鋼絲繩根數(shù)；L(t)i(i=1,2,3,5)分別為對重側(cè)和轎廂側(cè)上方和下方的鋼絲繩長度，是時變物理量。

將式(2)～式(8)代入式(1)，即可得到系統(tǒng)動力學(xué)微分方程，可簡化為如下表達(dá)形式：

(9)

其中：M、C、K分別為質(zhì)量、阻尼和剛度矩陣；x為位移向量；F為系統(tǒng)中剛體的慣性運(yùn)動產(chǎn)生的內(nèi)部激勵。

設(shè)a代表系統(tǒng)運(yùn)行的加速度，則F可以表示為F=[0 -m2am3am4a0J1a/r1J5a/r2]T。

對于比例黏性阻尼系統(tǒng)[3-5]，C=0.01K。

1.3 時變物理量的確定

曳引機(jī)是電梯的動力設(shè)備，為電梯輸送與傳遞動力。提升機(jī)或曳引機(jī)系統(tǒng)的理想加速度控制曲線為梯形[6,7]，如圖2所示。圖2中，t1、t2、t3、t4、t5、t6、t7分別為加速度變化到峰值、穩(wěn)定在加速度峰值不變、加速度變化到0、加速度恒定為0、減速度變化到峰值、穩(wěn)定在減速度峰值不變、減速度變?yōu)?這7個時刻。

圖2 梯形加速度控制曲線

加速度曲線的數(shù)學(xué)表達(dá)式為:

(10)

其中：am為加速度峰值。對加速度表達(dá)式求二次積分即可得到電梯垂向運(yùn)行距離s(t)。

對重側(cè)和轎廂側(cè)鋼絲繩長度的表達(dá)式為：

(11)

(12)

其中：s1為電梯防沖頂?shù)陌踩嚯x；s2為底坑深度；s(t)為轎廂和對重的垂向移動距離；L0為轎廂最大上行距離。

2 仿真算例

2.1 動力學(xué)仿真模型

根據(jù)建立的電梯系統(tǒng)振動微分方程，利用MATLAB中的Simulink工具箱建立仿真模型，如圖3所示。模型包含了加速度子系統(tǒng)、時變剛度子系統(tǒng)和振動響應(yīng)子系統(tǒng)。加速度和時變剛度作為輸入量傳遞給振動響應(yīng)子系統(tǒng)，子系統(tǒng)內(nèi)部各個位移參量相互調(diào)用，迭代計(jì)算，最終得出各個剛體的振動響應(yīng)。

圖3 垂向振動系統(tǒng)Simulink仿真模型

2.2 基準(zhǔn)算例仿真

以電梯上行工況為例，系統(tǒng)已知參數(shù)如表1所示，并規(guī)定曳引機(jī)啟制動加(減)速度峰值am為1.0 m/s2，運(yùn)行速度v0為1.5 m/s，仿真得到的轎廂垂向振動響應(yīng)如圖4所示。由圖4可以看出，電梯在啟動和制動階段振動加速度較大，最大值達(dá)到了0.1 m/s2，同時產(chǎn)生一定的波動，最大波動范圍達(dá)到了0.2 m/s2。這也是為什么人在乘坐電梯時，在啟動和制動階段感到不舒服的原因。在電梯勻速運(yùn)行時，不存在系統(tǒng)慣性力激勵，轎廂振動減弱趨于平穩(wěn)。

圖4 轎廂垂向振動響應(yīng)

表1 電梯系統(tǒng)參數(shù)

為了研究轎廂振動響應(yīng)的影響因素，探究剛體慣性力對轎廂的振動效應(yīng)，針對速度、加(減)速度、載重量等關(guān)鍵參數(shù)分別進(jìn)行了仿真分析，得到了不同工況下轎廂的振動響應(yīng)。每一種工況，只改變其中一個參數(shù)進(jìn)行研究，其他參數(shù)與基準(zhǔn)參數(shù)相同。

2.3 不同運(yùn)行速度下的仿真

不同運(yùn)行速度下轎廂垂向振動響應(yīng)如圖5所示。由圖5可以看出：隨著運(yùn)行速度的提升，轎廂的最大振動加速度有所減小，振動幅度也有所下降；在勻速階段轎廂振動幾乎為零，所以運(yùn)行速度的增大，并不直接影響轎廂的振動情況。只是因?yàn)樵诩铀俣炔蛔兊那闆r下，電梯需要花更長的時間達(dá)到勻速運(yùn)行，將短時間內(nèi)的振動進(jìn)行了分散。但隨著運(yùn)行速度的提升，勻速運(yùn)行時間變短，轎廂在到達(dá)勻速運(yùn)動前和結(jié)束勻速運(yùn)動后，振動次數(shù)增加。

圖5 不同運(yùn)行速度下轎廂垂向振動響應(yīng) 圖6 不同啟制動加速度下轎廂垂向振動響應(yīng) 圖7 不同載重下轎廂垂向振動響應(yīng)

2.4 不同加(減)速度下的仿真

不同啟制動加速度下轎廂垂向振動響應(yīng)如圖6所示。由圖6可以看出：運(yùn)行加速度峰值變大時，轎廂可以更快到達(dá)勻速運(yùn)行狀態(tài)，但轎廂受到的沖擊變大；對比三種工況下的響應(yīng)，am=1.2 m/s2時的加速度峰值和波動幅度均為am=0.8 m/s2時的3倍。因此，啟動和制動加速度的改變，對于電梯系統(tǒng)振動響應(yīng)的影響尤為明顯。但加(減)速度小，電梯進(jìn)入勻速運(yùn)行時間較慢，結(jié)束勻速運(yùn)動時間較早，增大了振動次數(shù)。

2.5 不同載重量下的仿真

不同載重下轎廂垂向振動響應(yīng)如圖7所示。由于電梯系統(tǒng)的振動呈現(xiàn)是時變和非線性規(guī)律，由圖7可以看出：從滿載到半載工況時，最大振動加速度有微小的減弱，振動頻率與波動幅度變化不明顯，振動響應(yīng)峰值僅減小了3%；但是，從半載到空載工況時，振動響應(yīng)幅值降低了約30%，但激起了轎廂高頻振動，體現(xiàn)了振動頻率與質(zhì)量成反比的規(guī)律。

3 結(jié)論

本文從動力學(xué)角度出發(fā)，對于1∶1曳引電梯系統(tǒng)，建立了7自由度曳引電梯垂向時變振動動力學(xué)模型，分析了電梯系統(tǒng)在內(nèi)部剛體的慣性力激勵下的振動響應(yīng)。研究結(jié)果表明：啟制動加(減)速度的改變，對于轎廂振動的影響尤為明顯，振動響應(yīng)大小與加速度成正比關(guān)系；上行速度增大，反而會減小轎廂振動響應(yīng)，因?yàn)樵谙嗤铀俣认拢娞菁铀贂r間變長，振動響應(yīng)有所分散；載重量的改變與振動響應(yīng)呈明顯的非線性關(guān)系。

對于電梯系統(tǒng)設(shè)計(jì)選型來說，應(yīng)同時兼顧速度與加速度的匹配，還應(yīng)關(guān)注由此帶來的高頻振動和系統(tǒng)振動次數(shù)的增加，從而引發(fā)的曳引鋼絲繩的疲勞失效，及其對電梯轎廂的振動帶來的附加影響。本文的分析方法和研究結(jié)論，對于曳引驅(qū)動電梯的設(shè)計(jì)選型和振動控制優(yōu)化具有一定的參考價值和工程意義。