宋青青

推理建立在數(shù)學(xué)思維基礎(chǔ)上，貫穿于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的整個(gè)過程。在小學(xué)階段，要重視猜想教學(xué)，依托猜想活動，探究數(shù)學(xué)的邏輯關(guān)系，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)推理能力。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，可通過觀察、實(shí)踐等方式，鼓勵(lì)學(xué)生從猜想中辨識數(shù)學(xué)邏輯關(guān)系，為發(fā)展數(shù)學(xué)推理能力奠定基礎(chǔ)。教師要重視猜想教學(xué)，營造猜想氛圍，在數(shù)學(xué)認(rèn)知沖突中融入猜想教學(xué)，讓學(xué)生在猜想中去觀察、去探索、去經(jīng)歷，讓推理能力在自然中發(fā)生，從中培養(yǎng)學(xué)生自主探索意識，發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)推理能力，增強(qiáng)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科關(guān)鍵能力。

一、把握猜想教學(xué)的意義，創(chuàng)設(shè)探究猜想的條件

數(shù)學(xué)需要猜想，通過猜想可以讓學(xué)生認(rèn)識數(shù)學(xué)知識，了解數(shù)學(xué)奧妙和趣味。在這個(gè)過程中，學(xué)生的數(shù)學(xué)思維得到拓展，學(xué)生也從猜想中更深刻地認(rèn)識數(shù)學(xué)概念、定理、公式，為提升數(shù)學(xué)探究能力奠定基礎(chǔ)。在數(shù)學(xué)猜想活動中，學(xué)生是參與者，教師要構(gòu)設(shè)輕松、和諧、開放的教學(xué)情境，鼓勵(lì)學(xué)生獨(dú)立思考、積極猜想，激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)熱情。在數(shù)學(xué)課堂中運(yùn)用猜想教學(xué)，要基于學(xué)生已有的認(rèn)知、經(jīng)驗(yàn)，調(diào)動學(xué)生從感性材料中啟發(fā)想象力。例如，“觀察60÷20=3該算式，請同學(xué)們思考，如果被除數(shù)、除數(shù)均同乘或同除以某一個(gè)數(shù)，它們的商會發(fā)生什么變化？”針對該問題，單純讓學(xué)生漫無目的地去探究，既費(fèi)時(shí)也無效。對此，教師可以鼓勵(lì)學(xué)生嘗試讓被除數(shù)、除數(shù)同乘某一個(gè)數(shù)，同除以某一個(gè)數(shù)，這個(gè)數(shù)不能為“零”。學(xué)生在自己動手計(jì)算后發(fā)現(xiàn)，所得的商還是“3”。因此，在指導(dǎo)學(xué)生去猜想時(shí)，不能讓學(xué)生“瞎猜”“亂想”，而是要通過動手計(jì)算驗(yàn)證自己的猜想。數(shù)學(xué)猜想中的歸納法，著重從個(gè)別性出發(fā)，猜想出一般性結(jié)論。在小學(xué)數(shù)學(xué)中，教師要善于歸納法猜想，指引學(xué)生從中找到解決數(shù)學(xué)問題的方法。比如，“學(xué)習(xí)了三角形的內(nèi)角和為180°，那對四邊形、五邊形以及多邊形而言，其內(nèi)角和是多少度？”通過解讀三角形內(nèi)角和的方法，可以引出四邊形，分析四邊形的內(nèi)角和，將之看作兩個(gè)三角形，從而得到內(nèi)角和為360°。那以此類推，五邊形的內(nèi)角和是否是三個(gè)三角形的內(nèi)角和？學(xué)生在猜想中，通過對五邊形進(jìn)行劃分為3個(gè)三角形來驗(yàn)證所得結(jié)論，由此得到多邊形內(nèi)角和為（n-2）三角形的內(nèi)角和。教師要基于學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)，對學(xué)生的猜想進(jìn)行引導(dǎo)，幫助學(xué)生銜接新舊知識點(diǎn)，引領(lǐng)學(xué)生從計(jì)算中不斷探索，積累數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)。

二、數(shù)學(xué)猜想在培養(yǎng)學(xué)生推理能力中的應(yīng)用

（一）借助于數(shù)學(xué)猜想經(jīng)驗(yàn)，指向數(shù)學(xué)推理

猜想在數(shù)學(xué)課程中不是隨意、胡亂猜想，而是基于數(shù)學(xué)思維，關(guān)注學(xué)生的邏輯推理能力。通過聯(lián)想來展開猜想，可以表述為由熟悉的事物聯(lián)系到陌生的事物，通過對已知的分析來推測未知的結(jié)果。在數(shù)學(xué)教學(xué)中可以應(yīng)用聯(lián)想法猜想，如我們學(xué)習(xí)了三角形的面積計(jì)算方法后，對梯形的面積計(jì)算，可以由三角形面積推導(dǎo)方法展開聯(lián)想，得出梯形的面積推導(dǎo)公式。同樣，對聯(lián)想法的解析，可以結(jié)合某一實(shí)例：甲、乙、丙三人中僅有一人會開車。甲說“我會開車”;乙說“我不會開車”;丙說“甲不會開車”。對三人的表述，僅有一人說真話。請判定誰會開車？對三人的表述展開聯(lián)想，甲說會開車，丙說甲不會開車，這兩種說法，只有一個(gè)人說真話。甲可能會開車，也可能不會開車。甲與丙的話是相矛盾的，則僅有一人說真話，必在甲和丙中的某一個(gè)人。由此，可以判定，乙說的是假話，即“乙會開車”。由此，通過運(yùn)用聯(lián)想猜想，可以豐富學(xué)生對數(shù)學(xué)邏輯的真實(shí)體驗(yàn)，增強(qiáng)學(xué)生的思維品質(zhì)。通過類比來猜想，采用“由此及彼”的聯(lián)想手法，啟發(fā)學(xué)生從某一類事物特性，聯(lián)想類比另一類事物的特性，可以促進(jìn)數(shù)學(xué)思維的觸類旁通。在小學(xué)數(shù)學(xué)活動中，類比猜想的應(yīng)用很廣。如加法、減法的運(yùn)算定律，類比到乘法、除法的運(yùn)算定律，再類比到分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)等。比如，在學(xué)習(xí)“3的倍數(shù)特征”時(shí)，從簡單的“2的倍數(shù)”“5 的倍數(shù)”展開探討，讓學(xué)生去思考滿足“2的倍數(shù)”特征，以及滿足“5的倍數(shù)”特征。類比延伸，對“3的倍數(shù)”，不能僅限于個(gè)位是“3”“6”“9”這一猜想。如“13”“16”“29”等，不是“3的倍數(shù)”。由此，通過觀察、猜想、驗(yàn)證等方式啟發(fā)學(xué)生深入探究，找到“3的倍數(shù)”特征。也就是說，不能用“數(shù)的個(gè)位特征”來判斷能否被“3”所整除，最終得到“一個(gè)數(shù)的各位上的數(shù)的和是3的倍數(shù)”時(shí)，這個(gè)數(shù)才能被“3”整除。

（二）正確對待數(shù)學(xué)猜想，指向?qū)W生推理能力

從數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐中，對數(shù)學(xué)猜想的認(rèn)識，一些教師存在理解偏差。有教師將數(shù)學(xué)猜想等同于“想象”或“聯(lián)想”。其實(shí)，在數(shù)學(xué)邏輯里，猜想是一種思維方式，是基于已有信息，運(yùn)用數(shù)學(xué)知識和方法，來對數(shù)學(xué)問題做出預(yù)測性推斷。一些教師在構(gòu)設(shè)猜想活動時(shí)，會陷入“自由聯(lián)想”的誤區(qū)，對學(xué)生的表現(xiàn)，不分區(qū)別給予贊揚(yáng)，導(dǎo)致一些學(xué)生“亂想”。如在認(rèn)識“11～20”以內(nèi)的數(shù)時(shí)，教師出示一張“草莓圖”，請同學(xué)們觀察該圖，猜猜看有多少個(gè)草莓，對圖示性信息，顯然用“猜想”是不合理的，偏離了數(shù)學(xué)猜想的學(xué)科特點(diǎn)。同樣，在運(yùn)用猜想教學(xué)時(shí)，教師忽視對學(xué)生數(shù)學(xué)邏輯、數(shù)學(xué)推理思維的啟發(fā)。課堂活動的設(shè)計(jì)，要指向教學(xué)目標(biāo)，教師在架設(shè)數(shù)學(xué)猜想情境時(shí)，也要考慮學(xué)情，基于學(xué)生認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)有序展開數(shù)學(xué)猜想活動。如“找規(guī)律”中，可以給出一些數(shù)讓學(xué)生觀察并思考，括號里應(yīng)該填寫什么數(shù)。如2、4、6、8、（ ）、（ ）;再如5、10、15、20、（ ）。對上述練習(xí)題，猜想難度較低，第一題，考查的是學(xué)生對“偶數(shù)”的認(rèn)識;第二題，考查的是學(xué)生對“5”的倍數(shù)的認(rèn)識。相對而言，這種猜想活動缺乏對學(xué)生高階思維的啟發(fā)，降低了猜想教學(xué)成效。對前面的“除法60÷20=3，同乘或同除某一個(gè)不為零的數(shù)，其商會怎樣變化？”，學(xué)生進(jìn)行了實(shí)踐探索羅列：6÷2=3、120÷40=3、3÷1=3、24÷8=3、36÷12=3、12÷4=3，等等。將這些算式進(jìn)行對比，有學(xué)生發(fā)現(xiàn)疑問，為什么這些式子商都是3？教師可以啟發(fā)學(xué)生，“請同學(xué)們想一想，被除數(shù)、除數(shù)都發(fā)生了哪些變化？”對6÷2=3，被除數(shù)和除數(shù)都除以10，商還是3;對120÷40=3，被除數(shù)和除數(shù)都乘以2，商還是不變。對24÷8=3，被除數(shù)和除數(shù)都除以2.5，商還是不變。在類比分析后得到推論：對被除數(shù)和除數(shù)，都同乘以或同除以不為零的數(shù)，所得的商不變。

（三）搭設(shè)猜想空間，鼓勵(lì)學(xué)生主動推理

在數(shù)學(xué)課堂，引入數(shù)學(xué)猜想情境活動，教師要能夠抓住問題探究的興奮點(diǎn)，激發(fā)學(xué)生去主動猜想。數(shù)學(xué)猜想情境的創(chuàng)設(shè)，教師要給學(xué)生提供猜想的時(shí)間、空間。在學(xué)習(xí)“用計(jì)算器探索規(guī)律”時(shí)，該節(jié)課的主要內(nèi)容，指導(dǎo)學(xué)生通過觀察，找出已知事物的相同點(diǎn)或相似點(diǎn)，在得出結(jié)論。如果讓學(xué)生僅結(jié)合問題展開觀察，學(xué)生會感覺沒有趣味，對問題的思考會缺乏深度。教師可以在課堂上，拿出一副撲克牌，挑選學(xué)生任意抽出一張，并將這個(gè)數(shù)，用計(jì)算器連續(xù)輸入9次，再除以“12345679”，教師根據(jù)結(jié)果，可以快速猜出所抽撲克牌的數(shù)字。這一猜牌游戲，瞬間調(diào)動學(xué)生的探究意趣。學(xué)生對教師的猜牌方法感到疑惑不解，迫切想要知道有什么訣竅，學(xué)生會提問：“為什么老師能夠在這么短的時(shí)間內(nèi)計(jì)算出答案？教師是如何做到的？”由此，教師可以分步走，引領(lǐng)學(xué)生一步步探索“找規(guī)律”快速計(jì)算的方法。第一步，引出猜題內(nèi)容，讓學(xué)生去觀察、感知有何規(guī)律？1÷11=0.0909……; 2÷11=0.1818……;3÷11=0.2727……;4÷11=0.3636……;5÷11=0.4545……。第二步，請同學(xué)猜想一下有何發(fā)現(xiàn)。有學(xué)生發(fā)現(xiàn)，商的結(jié)果中，都是循環(huán)小數(shù);有學(xué)生發(fā)現(xiàn)，循環(huán)節(jié)都是9的倍數(shù);有學(xué)生發(fā)現(xiàn)，被除數(shù)每增加1，循環(huán)節(jié)每次都增加“9”;還有學(xué)生發(fā)現(xiàn)，除數(shù)都是“11”，被除數(shù)擴(kuò)大2倍、3倍，商也跟著擴(kuò)大原來的2倍、3倍。第三步，得出結(jié)論。由此，通過計(jì)算器求商，讓學(xué)生對比所得結(jié)果之間關(guān)系，找出許多規(guī)律，可以加深學(xué)生對遞增關(guān)系、倍數(shù)關(guān)系的理解。

（四）經(jīng)歷數(shù)學(xué)猜想過程，讓推理有理有據(jù)

在數(shù)學(xué)課堂上融入猜想教學(xué)，教師要重視學(xué)生的猜想過程，從學(xué)生的猜想體驗(yàn)中抓住認(rèn)知“生長點(diǎn)”，引領(lǐng)學(xué)生去展開數(shù)學(xué)邏輯思維，為獲得數(shù)學(xué)推理能力創(chuàng)造條件。例如，在學(xué)習(xí)“平行四邊形面積”時(shí)，教師在課堂上出示一張方格紙，畫出一個(gè)平行四邊形。接著引出猜想，“請同學(xué)們觀察平行四邊形，誰能猜測這個(gè)平行四邊形的面積？把你的猜想思路說一說。”有學(xué)生猜想：平行四邊形的面積可以通過“底×鄰邊”來獲得;有學(xué)生猜想：平行四邊形的面積，可以通過“底×高”來獲得。對不同的猜想，誰的猜想是正確的？需要學(xué)生去推理驗(yàn)證。有學(xué)生想到：可以利用數(shù)格子的方法，來計(jì)算每個(gè)格子的面積，再乘以平行四邊形所占的格數(shù)。有學(xué)生想到：可以利用轉(zhuǎn)化思路，將平行四邊形轉(zhuǎn)換其他圖形，利用拼湊法來轉(zhuǎn)換圖形。接著，通過驗(yàn)證，可以得到“平行四邊形的面積=底[×]高”。對這個(gè)結(jié)論，教師可以再提問：“請同學(xué)們想一想，是否所有的平行四邊形的面積，都符合‘底[×]高’這一結(jié)論？”由此，引領(lǐng)學(xué)生動手，采用剪、拼、移、接等方式，嘗試不同的方法對平行四邊形進(jìn)行轉(zhuǎn)換。有小組在討論中發(fā)現(xiàn)，只要在平行四邊形的底邊任意找一個(gè)點(diǎn)畫對邊的高，沿高剪下后將其中一部分平移到另一邊，就能拼成一個(gè)長方形。對此，可再提問：“平行四邊形與長方形兩者之間有何聯(lián)系？哪些是變了，哪些沒變？請同學(xué)們進(jìn)行討論并猜想?！弊詈蟀l(fā)現(xiàn)，所拼接的長方形，其長與平行四邊形的底相等;長方形的寬與平行四邊形的高相等，即“平行四邊形的面積=底[×]高”。讓學(xué)生在平行四邊形面積的探究中，從猜想到推理認(rèn)證逐漸找到與長方形的關(guān)系，再對比“底與高”“長與寬”的關(guān)系，獲得了平行四邊形面積公式的推理過程。

（五）融入猜想方法，打造有深度的數(shù)學(xué)推理

對數(shù)學(xué)猜想方法的梳理，教師要根據(jù)數(shù)學(xué)內(nèi)容來靈活選擇。數(shù)學(xué)學(xué)科中，概念的學(xué)習(xí)往往較為抽象，學(xué)生感到難以理解。對概念的講解，可以引入歸納猜想法，通過對相關(guān)數(shù)學(xué)材料的感性認(rèn)知，逐步歸納出共性特征。比如，認(rèn)識“軸對稱圖形”時(shí)，該節(jié)的難點(diǎn)是“判定軸對稱圖形”。教師可以出示幾個(gè)圖形，引導(dǎo)學(xué)生去觀察，并思考這些圖形中哪些是軸對稱圖形。要想得出準(zhǔn)確判定，必須要明晰“軸對稱圖形”的概念。對此可以通過折紙活動讓學(xué)生動手，對一些常見圖形進(jìn)行對折，觀察是否“重合”。如果能重合，則是“軸對稱圖形”;反之，不是“軸對稱圖形”。由此，在學(xué)生體驗(yàn)并展開小組討論后，對“軸對稱圖形”的概念，逐漸歸納出“對稱軸”和“軸對稱圖形”的特點(diǎn)。教師也可以引入類比猜想法，顯然，通過對比歸類，學(xué)生可以從中積累數(shù)學(xué)知識經(jīng)驗(yàn)，得出猜想結(jié)論。比如，在學(xué)習(xí)“小數(shù)乘小數(shù)”時(shí)，先對前面的知識點(diǎn)進(jìn)行回顧，整數(shù)與整數(shù)相乘、小數(shù)與整數(shù)相乘，計(jì)算的規(guī)則是什么。由此，可以再延伸小數(shù)與小數(shù)相乘，從規(guī)則的類比入手，讓學(xué)生總結(jié)計(jì)算方法。借助已有知識，從中提煉與之相似的新知識，運(yùn)用數(shù)學(xué)猜想來展開對比學(xué)習(xí)，可以促進(jìn)學(xué)生掌握數(shù)學(xué)解題方法。數(shù)學(xué)猜想體現(xiàn)了學(xué)生數(shù)學(xué)思維的活躍性，從數(shù)學(xué)猜想與數(shù)學(xué)推理銜接中，教師要多為學(xué)生創(chuàng)造猜想的機(jī)會。小學(xué)生形象化思維占主導(dǎo)，對數(shù)學(xué)的抽象性，教師可以從直觀教法中指引學(xué)生去觀察、去動手、去比較，激活猜想意識。操作猜想法。通過具體的操作實(shí)踐活動，讓學(xué)生去發(fā)現(xiàn)規(guī)律，猜想結(jié)果。比如，對“長方形、正方形面積”的計(jì)算教學(xué)，給出一些長方形，觀察長方形，并思考面積的計(jì)算方法。我們引入格紙，讓學(xué)生動手畫出長方形，數(shù)一數(shù)涵蓋多少個(gè)小方格。由此猜想，長方形的面積，與長方形的長、寬之間有何關(guān)系。結(jié)合猜想，對方格紙中的圖形面積進(jìn)行驗(yàn)證。數(shù)學(xué)的綜合性，對數(shù)學(xué)推理能力的培養(yǎng)，可以依托猜想訓(xùn)練或邏輯思維訓(xùn)練活動，讓學(xué)生感受到猜想的創(chuàng)造性。結(jié)合某一數(shù)學(xué)問題，如何更好地展示其內(nèi)涵，猜想的運(yùn)用為學(xué)生搭建新奇的數(shù)學(xué)情境。

三、結(jié)語

數(shù)學(xué)課程中，猜想是一種品質(zhì)，更是一種數(shù)學(xué)思維。教師要重視學(xué)生猜想，借助于猜想，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)推理能力。當(dāng)然，猜想也不是隨心所欲的亂想，猜想要遵循數(shù)學(xué)邏輯關(guān)系。由特殊向一般進(jìn)行推理，也可以由一般向特殊進(jìn)行猜想?？梢?，數(shù)學(xué)猜想，作為研究數(shù)學(xué)、應(yīng)用數(shù)學(xué)知識解決數(shù)學(xué)問題的重要方法，幫助學(xué)生找準(zhǔn)數(shù)學(xué)基本點(diǎn)，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)推理思維的養(yǎng)成。因此，在小學(xué)數(shù)學(xué)課堂，將猜想意識作為啟發(fā)學(xué)生數(shù)學(xué)探究的有效途徑，教師要持之以恒，重視并積極引領(lǐng)學(xué)生參與數(shù)學(xué)邏輯推理活動。圍繞數(shù)學(xué)問題，有步驟地揭示數(shù)學(xué)條件，從題設(shè)條件向所求目標(biāo)架設(shè)推理過程，從中發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，猜想作為數(shù)學(xué)思維的一部分，不但豐富學(xué)生的數(shù)學(xué)理論，還能從數(shù)學(xué)中探究樂趣。教師要借助于猜想的“翅膀”，引領(lǐng)學(xué)生去探究數(shù)學(xué)知識的共性和特性，辨析數(shù)學(xué)量與量之間的邏輯關(guān)系，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)推理能力，培養(yǎng)數(shù)學(xué)高階思維。

（吳淑媛）

3940501186599