李建華，許芝卉

（山西大同大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，山西大同 037009）

幻方是個(gè)古老的數(shù)字游戲，歷史悠久。它不僅在數(shù)學(xué)中占有一定的地位，而且在計(jì)算機(jī)科學(xué)中也有廣泛的應(yīng)用。n階幻方是指一個(gè)從1到的自然數(shù)組成的方陣，其每行、每列以及兩對(duì)角線上元素之和相等。目前，關(guān)于奇數(shù)階幻方構(gòu)造的方法已相當(dāng)豐富。

1 傳統(tǒng)連續(xù)擺數(shù)法

在文獻(xiàn)[1]中，作者給出了2n+1 階幻方構(gòu)造的傳統(tǒng)構(gòu)造方法，其構(gòu)造步驟為：

Step1：將1 放到第一行的中間；

Step2：其它2-（2n+1）×（2n+1）的數(shù)字依次放在前一個(gè)數(shù)字的上一行后一列的空格中。如果到達(dá)最上一行，則把數(shù)字放在最后一行后一列的方格中；如果到達(dá)最右端，則把數(shù)字放在第一列的上一行的方格中；按這個(gè)方法找到的位置已填有數(shù)字，則將此數(shù)放在前一個(gè)數(shù)的正下方的方格中。

用C程序?qū)崿F(xiàn)如下：

2 先縱后橫錯(cuò)位擺數(shù)構(gòu)造法

在文獻(xiàn)[2]中，給出了根據(jù)幻方的定義及其性質(zhì)利用先縱后橫錯(cuò)位構(gòu)造的方法對(duì)2n+1 階幻方的構(gòu)造[2]，其構(gòu)造步驟為：

Step1：將（2n+1）×（2n+1）個(gè)數(shù)字放入2n+1 階矩陣中，從1 開(kāi)始，依次存放，按先行后列的順序存放；

Step2：先進(jìn)行列變換，從每一列起依次變換（中間列不參與變換），依次將本列移出上面的數(shù)字推接到此列的下面，第一列移一個(gè)數(shù)字，第二列依次移兩個(gè)數(shù)字，依此類(lèi)推；

Step3：然后進(jìn)行行變換。每一行（中間行不參與變換）依次往前推數(shù)字，前面推出去的數(shù)字接到后面。第一行推移一個(gè)數(shù)字，第二行推移兩個(gè)數(shù)字，依此類(lèi)推。

用C程序?qū)崿F(xiàn)如下：

運(yùn)行結(jié)果如圖1-4所示。

圖1 3階幻方

圖2 5階幻方

圖3 7階幻方

圖4 11階幻方

3 基于傳統(tǒng)擺數(shù)法的一種改進(jìn)法

文獻(xiàn)[3]中提出了一種改進(jìn)的連續(xù)擺數(shù)法。這種方法的第一個(gè)數(shù)可以在任意位置，而且可以按人為的意愿選擇下一個(gè)數(shù)的位置，但其它數(shù)字都得遵循這個(gè)規(guī)律[3]。具體步驟如下。

step1：以奇數(shù)階幻方中心位置為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立坐標(biāo)系；

step2：將幻方中任意一格的位置用坐標(biāo)來(lái)表示，坐標(biāo)范圍從

step3：定義“起始向量”，表示1 的位置；

step4：定義“偏移向量”，表示一個(gè)數(shù)的位置到下一個(gè)數(shù)位置所指的方向，依次按順序填寫(xiě)其它數(shù)字;

step5：當(dāng)遇到要填入的格子中已經(jīng)被其它數(shù)字占據(jù)，用“中斷向量”重新計(jì)算該數(shù)字的坐標(biāo)，當(dāng)?shù)玫降淖鴺?biāo)超出范圍，用“模n加”的方法計(jì)算新的合理的坐標(biāo)，并將該數(shù)字填入坐標(biāo)所對(duì)應(yīng)的位置；

step6：重復(fù)step 4 和step 5，直到所有數(shù)字入方格中。

這種填法需要特別注意：

中心數(shù)之前的數(shù)不能放入中心位置。一但中心數(shù)之前的數(shù)通過(guò)這種方法被放入中心位置，那么這個(gè)起始向量，或是偏移向量的選取不合適，必須進(jìn)行調(diào)整更換；

用C程序?qū)崿F(xiàn)如下：

運(yùn)行結(jié)果如圖5-7：

圖5 初始坐標(biāo)(0,-1)，偏移量(2,1)的5階幻方

圖6 初始坐標(biāo)(2,-2)，偏移量(3,1)的7階幻方

圖7 初始坐標(biāo)(3,4)，偏移量(1,-2)的九9階幻方

4 結(jié)語(yǔ)

幻方作為一種“思維體操”，可以培養(yǎng)人們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，開(kāi)發(fā)智力，拓寬思路[4-5]。用C 程序來(lái)實(shí)現(xiàn)幻方的構(gòu)造，更有助于培養(yǎng)程序設(shè)計(jì)的邏輯思想。