何 雪，胡志忠

（南京航空航天大學(xué)電子信息工程學(xué)院，江蘇南京 211106）

1 引言

分?jǐn)?shù)階微積分也被稱(chēng)作非整數(shù)階微積分.由于分?jǐn)?shù)階微積分的階數(shù)不再局限于整數(shù)可為任意的復(fù)數(shù)從而可以實(shí)現(xiàn)連續(xù)階微積分，因此具有更廣泛的通用性，是經(jīng)典的整數(shù)階微積分理論的擴(kuò)展，換句話說(shuō)，整數(shù)階導(dǎo)數(shù)和積分運(yùn)算只是分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)和積分的特例.

分?jǐn)?shù)階微積分作為一種數(shù)學(xué)理論，幾個(gè)世紀(jì)之前就已經(jīng)由萊布尼茲提出了，但近年來(lái)才在實(shí)際應(yīng)用中被使用.如今，將分?jǐn)?shù)階微積分的理論概念引入各個(gè)學(xué)科方面的研究工作日趨活躍，分?jǐn)?shù)階微積分的應(yīng)用范圍已穩(wěn)步擴(kuò)大到工程和科學(xué)的不同領(lǐng)域，例如電路理論和設(shè)計(jì)［1］、控制理論［2］、電磁學(xué)［3］和機(jī)器人學(xué)［4］等.下面給出Riemann-Liouville 分?jǐn)?shù)階微分定義［5～7］.

其中，m為正整數(shù)，α為實(shí)數(shù)，且m-1 ≤α＜m，Γ(·)為Gamma 函數(shù).在零初始條件下，式（1）的拉普拉斯變換為

因此，可以定義一種阻抗與sα成比例的通用分?jǐn)?shù)器件［8］，傳統(tǒng)電路元件如電容、電阻和電感分別是該器件階數(shù)α為-1、0 和1 時(shí)的特殊情況.傳統(tǒng)電容器兩端的電壓表達(dá)式定義為流過(guò)該電容器的電流的整數(shù)次積分，可以使用非整數(shù)階積分將電容擴(kuò)展到分?jǐn)?shù)域并進(jìn)行拉普拉斯變換，在零初始條件下，分?jǐn)?shù)階電容的阻抗為，分?jǐn)?shù)階電容的單位為F/s1-α，簡(jiǎn)單起見(jiàn)，下文中統(tǒng)一將分?jǐn)?shù)階電容單位表示為F.在電路中使用分?jǐn)?shù)階元件可以將電路從整數(shù)階擴(kuò)展到更一般的分?jǐn)?shù)階，分?jǐn)?shù)階電容器所提供的自由度提高了設(shè)計(jì)靈活性.盡管目前市場(chǎng)上還沒(méi)有商用的分?jǐn)?shù)階電容器出售，但分?jǐn)?shù)階電容的制造已處于研究階段［9～11］，相信不久的將來(lái)會(huì)有商用分?jǐn)?shù)階電容的出現(xiàn).在本文中，使用Foster Ⅰ型RC串并聯(lián)網(wǎng)絡(luò)模擬分?jǐn)?shù)階電容.

在傳統(tǒng)的模擬信號(hào)處理領(lǐng)域，連續(xù)時(shí)間濾波器可以被歸類(lèi)為一階、二階或n階電路，其中n是整數(shù).因此，這些整數(shù)階濾波器的阻帶衰減特性僅可以相對(duì)于n逐步變化.例如，一階和二階低通濾波器只能分別產(chǎn)生-20 dB/十倍頻和-40 dB/十倍頻的滾降.如果將分?jǐn)?shù)階電容引入濾波電路中，則可以克服傳統(tǒng)濾波器響應(yīng)中的這種限制.例如，一個(gè)1+α（0 ＜α＜1）階低通濾波器的阻帶衰減為-20(1+α)dB/十倍頻，也就是說(shuō)，其滾降可以基于α的值介于-20 dB/十倍頻和-40 dB/十倍頻之間.這種濾波器被稱(chēng)為分?jǐn)?shù)階濾波器，它可以靈活地調(diào)整阻帶衰減，也就意味著可以對(duì)過(guò)渡帶的帶寬進(jìn)行靈活調(diào)整.此外，分?jǐn)?shù)階濾波器的指標(biāo)將與分?jǐn)?shù)階電容的階數(shù)α相關(guān)，增加了一個(gè)自由度.分?jǐn)?shù)階濾波器相對(duì)于整數(shù)階濾波器擁有更大的設(shè)計(jì)自由度，體現(xiàn)在兩個(gè)方面：一個(gè)方面是分?jǐn)?shù)階濾波器傳遞函數(shù)中拉普拉斯算子的指數(shù)可以為分?jǐn)?shù)而不僅僅是整數(shù)；另一個(gè)方面是在電路實(shí)現(xiàn)時(shí)，分?jǐn)?shù)階電容的阻抗為1/sαc，相對(duì)于整數(shù)階電容的阻抗1/sc多了一個(gè)關(guān)于α的設(shè)計(jì)自由度.

分?jǐn)?shù)階濾波器的一個(gè)優(yōu)勢(shì)應(yīng)用場(chǎng)合是亞赫茲（180 μHz～241 mHz）濾波，而亞赫茲濾波在生物醫(yī)學(xué)、信號(hào)處理、傳感器［12］等領(lǐng)域有多種應(yīng)用.例如生物醫(yī)學(xué)信號(hào)通常在毫赫茲到幾百赫茲的范圍內(nèi)，因此，需要在處理之前先使用亞赫茲濾波器來(lái)調(diào)理信號(hào).參考文獻(xiàn)［13］指出，用整數(shù)階濾波器實(shí)現(xiàn)亞赫茲濾波，需要很大的時(shí)間常數(shù)τ才能實(shí)現(xiàn)較小的-3 dB 截止頻率；而若用分?jǐn)?shù)階濾波器來(lái)實(shí)現(xiàn)亞赫茲濾波，可以基于分?jǐn)?shù)階濾波器的固有特性，僅通過(guò)更改階數(shù)α的值就可以得到亞赫茲范圍的超低截止頻率.這將為低頻應(yīng)用領(lǐng)域的電路設(shè)計(jì)人員提供額外的自由度.

目前為止，國(guó)內(nèi)外學(xué)者采用了多種方法來(lái)設(shè)計(jì)分?jǐn)?shù)階濾波器，這些方法既有優(yōu)化方法也有非優(yōu)化方法［14，15］，其中優(yōu)化方法大致可以分為三類(lèi).第一類(lèi)：使用一些優(yōu)化技術(shù)確定分?jǐn)?shù)階濾波器對(duì)應(yīng)的分?jǐn)?shù)階傳遞函數(shù)中的系數(shù)進(jìn)而得到符合應(yīng)用要求的分?jǐn)?shù)階模擬濾波器.例如Freeborn 等人［16］使用非線性最小二乘法對(duì)1+α階的分?jǐn)?shù)階低通濾波器傳遞函數(shù)進(jìn)行系數(shù)優(yōu)化，使其逼近二階Chebyshev 低通濾波器的通帶紋波特性，從而確定給定階數(shù)下的最優(yōu)系數(shù)，完成分?jǐn)?shù)階濾波器的設(shè)計(jì)；Khanna 和Upadhyay［17］利用模擬退火算法（Simulated Annealing）易于實(shí)現(xiàn)且能獲得組合問(wèn)題最優(yōu)解的特點(diǎn)，將其用于設(shè)計(jì)分?jǐn)?shù)階Butterworth 低通濾波器.第二類(lèi)：先對(duì)分?jǐn)?shù)階濾波器的傳遞函數(shù)進(jìn)行處理，把分?jǐn)?shù)階濾波器傳遞函數(shù)中的sα用其近似的有理分式替換［2］以得到整數(shù)階傳遞函數(shù)，再使用優(yōu)化的方法確定該整數(shù)階傳遞函數(shù)的系數(shù)，最終用整數(shù)階電路實(shí)現(xiàn)分?jǐn)?shù)階濾波器性能.例如Freeborn 等人［18］把1+α階低通濾波器傳遞函數(shù)中的sα替換為近似的二階有理分式后再來(lái)逼近一階Butterworth 低通濾波器的通帶最大平坦特性，得到該整數(shù)階傳遞函數(shù)最優(yōu)系數(shù)值完成設(shè)計(jì).第三類(lèi)：使用整數(shù)階傳遞函數(shù)直接逼近分?jǐn)?shù)階濾波器傳遞函數(shù)的幅頻響應(yīng)以實(shí)現(xiàn)分?jǐn)?shù)階濾波器的性能.例如Mahata 等人［19］用三階傳遞函數(shù)近似1+α階理想低通Butterworth 濾波器，利用碰撞體優(yōu)化（Colliding Bodies Optimisation）算法得到整數(shù)階傳遞函數(shù)中的各個(gè)系數(shù)從而得到具有分?jǐn)?shù)階Butterworth 低通濾波器特性的整數(shù)階電路.

迄今為止，大部分文獻(xiàn)是關(guān)于分?jǐn)?shù)階Butterworth和Chebyshev 等特殊類(lèi)型的濾波器的優(yōu)化設(shè)計(jì)方法理論研究［14～19］，參考文獻(xiàn)［20］中雖給出了過(guò)渡帶寬、阻帶衰減、通帶最大可允許峰值以及-3 dB 截止頻率四個(gè)設(shè)計(jì)指標(biāo)來(lái)設(shè)計(jì)分?jǐn)?shù)階濾波器的方法，然而對(duì)于滿足工程上常用的四個(gè)指標(biāo)要求（即通帶偏差δp、阻帶偏差δs、通帶邊緣頻率ωp以及阻帶邊緣頻率ωs）的分?jǐn)?shù)階低通濾波器設(shè)計(jì)方法和設(shè)計(jì)流程卻未見(jiàn)報(bào)道.本文針對(duì)工程應(yīng)用中常用的這四個(gè)指標(biāo)要求給出了滿足指標(biāo)要求的分?jǐn)?shù)階低通濾波器設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)模型，并使用Matlab優(yōu)化工具箱中兩個(gè)多目標(biāo)優(yōu)化函數(shù)Fminimax 和Fgoalattain分別對(duì)1+α階和2β階傳遞函數(shù)進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)，總結(jié)使用這兩種方法所優(yōu)化設(shè)計(jì)的濾波器各自的特點(diǎn).并在給定設(shè)計(jì)指標(biāo)下，通過(guò)與整數(shù)階濾波器的比較分析體現(xiàn)分?jǐn)?shù)階濾波器的優(yōu)勢(shì).繼而給出實(shí)例，設(shè)計(jì)出符合給定指標(biāo)要求的分?jǐn)?shù)階低通濾波器，驗(yàn)證所提出的設(shè)計(jì)方法的可行性.

2 分?jǐn)?shù)階低通濾波器傳遞函數(shù)的優(yōu)化設(shè)計(jì)

2.1 分?jǐn)?shù)階低通濾波器設(shè)計(jì)指標(biāo)

眾所周知，理想的低通濾波器是物理不可實(shí)現(xiàn)的，然而，如圖1 所示，可以在偏離其理想性能的一定可容忍范圍內(nèi)進(jìn)行濾波器的設(shè)計(jì).通過(guò)控制四個(gè)設(shè)計(jì)指標(biāo)以獲得一定的濾波器響應(yīng)，這四個(gè)設(shè)計(jì)指標(biāo)δp，δs，ωp和ωs分別表示通帶偏差、阻帶偏差、通帶邊緣頻率和阻帶邊緣頻率.

圖1 低通濾波器的設(shè)計(jì)式樣（線性表示）

和整數(shù)階一樣，分?jǐn)?shù)階高通和帶通濾波器等不同類(lèi)型的濾波器可以直接從分?jǐn)?shù)階低通濾波器轉(zhuǎn)換得到，因此本文只討論分?jǐn)?shù)階低通濾波器的優(yōu)化設(shè)計(jì).

2.2 優(yōu)化設(shè)計(jì)

2.2.1 建立數(shù)學(xué)模型

如圖1 所示，對(duì)于滿足給定指標(biāo)要求的低通濾波器，其幅頻響應(yīng)在通帶邊緣頻率ωp處滿足

在阻帶邊緣頻率ωs處滿足

在ωmax(0 ≤ωmax≤ωp)處有

將式（3）中的“=”換為“≥”，將式（4）、式（5）中的“=”換為“≤”并保持式（6）等式不變，其幅頻響應(yīng)曲線仍然是滿足指標(biāo)要求的.下面研究?jī)煞N不同傳遞函數(shù)的低通濾波器的參數(shù)優(yōu)化.

式（7）所示為一個(gè)1+α階低通濾波器的傳遞函數(shù)：

其中，a，b，c和α都是待定的參數(shù).滿足給定指標(biāo)要求的低通濾波器的幅頻響應(yīng)在ωp，ωs和ωmax處滿足式（3）～式（6），定義以下四個(gè)函數(shù)：

由此可得到相應(yīng)的四個(gè)方程，顯然方程中存在五個(gè)未知量，若直接解方程組可能會(huì)有無(wú)窮多解，因此本文采用優(yōu)化的方法求解待定參數(shù).本文使用Matlab 優(yōu)化工具箱中的一種常見(jiàn)的用于求解非線性方程組的多目標(biāo)優(yōu)化函數(shù)Fminimax 在給定指標(biāo)要求的條件下對(duì)上述問(wèn)題進(jìn)行優(yōu)化求解，可以獲得1+α 階低通濾波器傳遞函數(shù)的參數(shù)最優(yōu)解.

使用Fminimax優(yōu)化函數(shù)時(shí)，其目標(biāo)函數(shù)為

其中|f1-1+δp|，|f2-δs|和|f3-1|對(duì)應(yīng)式（3）～式（5）這3 個(gè)目標(biāo)；|f4|=0 為對(duì)應(yīng)式（6）的約束條件，保證幅頻響應(yīng)曲線在ωmax處有極大值.此外，1-δp≤≤1約束條件保證了幅頻響應(yīng)曲線在零頻率處的值介于1-δp和1 之間.未知量上下限設(shè)置為a，b，c∈[0.01，4]，α∈[0，2]，ωmax∈[0，ωp].

如前所述，滿足指標(biāo)要求的幅頻響應(yīng)曲線在ωp，ωs和ωmax處亦可滿足不等式.此時(shí)，本文使用Matlab 優(yōu)化工具箱中的Fgoalattain 優(yōu)化函數(shù)對(duì)式（7）中的參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化求解.設(shè)置goal=［δp-1，δs，1］，wi=|goali|，其目標(biāo)函數(shù)為

第一個(gè)優(yōu)化目標(biāo)中的f1前加負(fù)號(hào)保證-goal1=1-δp，第二和第三個(gè)優(yōu)化目標(biāo)保證fi≤goali（i=2，3）.約束條件和未知量上下限設(shè)置與Fminimax優(yōu)化函數(shù)的設(shè)置一樣.

如式（13）所示，2β階低通濾波器的傳遞函數(shù)為

其中，k1，k2，k3和β都是待定的參數(shù).類(lèi)似于對(duì)1+α階低通濾波器傳遞函數(shù)定義的四個(gè)函數(shù)，式（14）～式（16）是為2β階低通濾波器傳遞函數(shù)定義的函數(shù).

同樣使用Fminimax 和Fgoalattain 優(yōu)化函數(shù)在給定指標(biāo)要求的條件下分別對(duì)式（13）所示的傳遞函數(shù)的參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化求解，這兩種優(yōu)化函數(shù)各自所對(duì)應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)與上述優(yōu)化設(shè)計(jì)1+α階低通濾波器的目標(biāo)函數(shù)一樣，只是將函數(shù)fi替換為gi（i=1，2，3，4），未知量上下限設(shè)置保持不變.

2.2.2 優(yōu)化方法比較分析

下面通過(guò)給出3組不同的指標(biāo)要求，使用Fminimax和Fgoalattain 優(yōu)化函數(shù)在給定指標(biāo)要求的條件下分別對(duì)1+α階和2β階低通濾波器傳遞函數(shù)的參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化，得到優(yōu)化后的分?jǐn)?shù)階低通濾波器傳遞函數(shù)并在Matlab 中進(jìn)行仿真和分析，通過(guò)比較通帶偏差、阻帶偏差和群時(shí)延等參數(shù)，總結(jié)這兩種方法所優(yōu)化設(shè)計(jì)的濾波器各自的特點(diǎn).

第一組：δp=0.21，δs=0.27，ωp=1.4rad/s，ωs=4.2 rad/s.對(duì)1+α階和2β階低通濾波器傳遞函數(shù)使用兩種優(yōu)化方法后的參數(shù)值如表1所示.

表1 第一組給定指標(biāo)要求下的參數(shù)值

將優(yōu)化后的參數(shù)值代入傳遞函數(shù)中，在Matlab 中畫(huà)出它們各自的幅頻響應(yīng)，如圖2 所示.可以看出，F(xiàn)goalattain 優(yōu)化的傳遞函數(shù)和Fminimax 優(yōu)化的傳遞函數(shù)通帶偏差相差不大，但Fgoalattain 優(yōu)化的傳遞函數(shù)阻帶衰減遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于Fminimax 優(yōu)化的傳遞函數(shù)阻帶衰減.

圖2 第一組給定指標(biāo)下的分?jǐn)?shù)階傳遞函數(shù)Matlab幅頻響應(yīng)仿真

如圖3所示，雖然Fminimax和Fgoalattain分別對(duì)1+α階和2β階低通濾波器優(yōu)化的傳遞函數(shù)的群時(shí)延變化范圍都比較小，但相比使用Fgoalattain 優(yōu)化設(shè)計(jì)的濾波器群時(shí)延，使用Fminimax 優(yōu)化設(shè)計(jì)的濾波器群時(shí)延更接近一條直線.因此綜合考慮，在第一組所給出的指標(biāo)要求下，若希望阻帶衰減盡可能大，可以使用Fgoalattain函數(shù)來(lái)優(yōu)化設(shè)計(jì)低通濾波器；若希望濾波器通帶盡可能平坦且通過(guò)該濾波器的信號(hào)相位失真盡可能小，可以使用Fminimax函數(shù)來(lái)優(yōu)化設(shè)計(jì)低通濾波器.

第二組：δp=0.17，δs=0.29，ωp=1.8 rad/s，ωs=3.9 rad/s.對(duì)1+α階和2β階低通濾波器傳遞函數(shù)使用兩種優(yōu)化方法后的指標(biāo)參數(shù)值如表2所示.

表2 第二組給定指標(biāo)要求下的指標(biāo)參數(shù)值

第三組：δp=0.19，δs=0.28，ωp=1.2 rad/s，ωs=4.1 rad/s.對(duì)1+α階和2β階低通濾波器傳遞函數(shù)使用兩種優(yōu)化方法后的指標(biāo)參數(shù)值如表3所示.

表3 第三組給定指標(biāo)要求下的指標(biāo)參數(shù)值

綜合上述3組不同的指標(biāo)要求下的優(yōu)化設(shè)計(jì)，可以發(fā)現(xiàn)，F(xiàn)goalattain 函數(shù)優(yōu)化設(shè)計(jì)的分?jǐn)?shù)階低通濾波器阻帶衰減總是遠(yuǎn)大于Fminimax 函數(shù)所優(yōu)化的分?jǐn)?shù)階低通濾波器阻帶衰減.這是由于使用Fgoalattain 函數(shù)優(yōu)化設(shè)計(jì)符合指標(biāo)要求的低通濾波器時(shí)，并不像Fminimax函數(shù)在優(yōu)化式（8）～式（10）或式（14）～式（16）時(shí)使其盡可能接近期望值，使用Fgoalattain 函數(shù)對(duì)式（8）～式（10）或式（14）～式（16）進(jìn)行優(yōu)化時(shí)，在ωp處的幅頻響應(yīng)是大于等于1-δp的，在ωs處的幅頻響應(yīng)是小于等于δs的，因此優(yōu)化出的低通濾波器阻帶衰減可以比給定的δs還小，同時(shí)Fgoalattain 優(yōu)化的低通濾波器通帶不如Fminimax 所優(yōu)化的濾波器通帶平坦.總而言之，在給定指標(biāo)要求的條件下，使用Fminimax和Fgoalattain優(yōu)化函數(shù)分別對(duì)1+α階和2β階低通濾波器傳遞函數(shù)進(jìn)行優(yōu)化，都可以得到符合指標(biāo)要求的低通濾波器，它們的群時(shí)延也近似一個(gè)常數(shù).可以根據(jù)實(shí)際應(yīng)用需要選擇優(yōu)化方法：對(duì)濾波器通帶平坦度和信號(hào)相位失真要求較高的可以選擇Fminimax 優(yōu)化函數(shù)進(jìn)行低通濾波器優(yōu)化設(shè)計(jì)；對(duì)濾波器阻帶衰減要求較高的可以選擇Fgoalattain作為低通濾波器優(yōu)化設(shè)計(jì)的手段.

在不同的設(shè)計(jì)指標(biāo)要求下優(yōu)化得到的1+α階和2β階傳遞函數(shù)都可以用來(lái)實(shí)現(xiàn)符合指標(biāo)要求的分?jǐn)?shù)階低通濾波器.選擇Fgoalattain 函數(shù)進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)時(shí)可以發(fā)現(xiàn)，使用2β階傳遞函數(shù)所優(yōu)化設(shè)計(jì)的分?jǐn)?shù)階濾波器的群時(shí)延最大波動(dòng)顯著的低于使用1+α階傳遞函數(shù)所優(yōu)化設(shè)計(jì)的分?jǐn)?shù)階濾波器的群時(shí)延最大波動(dòng).因此，若使用Fgoalattain 函數(shù)對(duì)2β階傳遞函數(shù)進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)，既可以使設(shè)計(jì)得到的分?jǐn)?shù)階濾波器阻帶衰減較大，又可以改善使用Fgoalattain 函數(shù)所設(shè)計(jì)的分?jǐn)?shù)階濾波器信號(hào)相位失真較大的缺點(diǎn).若對(duì)濾波器的信號(hào)相位失真要求較高，可以使用Fminimax 函數(shù)對(duì)1+α階傳遞函數(shù)進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)，既可以使設(shè)計(jì)得到的分?jǐn)?shù)階濾波器信號(hào)相位失真較小，又可以得到良好的阻帶衰減特性.

在完成符合指標(biāo)要求的分?jǐn)?shù)階低通濾波器傳遞函數(shù)優(yōu)化設(shè)計(jì)后，需要進(jìn)行穩(wěn)定性分析以驗(yàn)證該濾波器是否物理可實(shí)現(xiàn)，在物理可實(shí)現(xiàn)的基礎(chǔ)上進(jìn)行電路實(shí)現(xiàn)和PSPICE 仿真，最后搭建實(shí)體電路進(jìn)行測(cè)試，在本文第3節(jié)會(huì)給出一個(gè)設(shè)計(jì)實(shí)例.

2.2.3 與整數(shù)階濾波器的比較分析

為了說(shuō)明分?jǐn)?shù)階濾波器相對(duì)于整數(shù)階濾波器的優(yōu)勢(shì)，本節(jié)通過(guò)給定的δp，δs，ωp以及ωs分別設(shè)計(jì)整數(shù)階和分?jǐn)?shù)階濾波器并進(jìn)行比較分析.此處，以整數(shù)階Butterworth 濾波器為例來(lái)設(shè)計(jì)整數(shù)階濾波器，利用式（17）計(jì)算Butterworth 低通濾波器的階數(shù)并四舍五入到整數(shù)階N，并將N代入式（18）～式（20）計(jì)算整數(shù)階Butterworth濾波器的截止頻率ωc從而設(shè)計(jì)出整數(shù)階Butterworth 低通濾波器.并與使用Fgoalattain 函數(shù)對(duì)2β階傳遞函數(shù)進(jìn)行優(yōu)化而設(shè)計(jì)實(shí)現(xiàn)的滿足同樣指標(biāo)要求的分?jǐn)?shù)階濾波器進(jìn)行比較分析.

下面在亞赫茲（180 μHz～241 mHz）范圍內(nèi)給出3組不同的指標(biāo)要求，分別設(shè)計(jì)整數(shù)階和分?jǐn)?shù)階低通濾波器.表4 所示為設(shè)計(jì)得到的分?jǐn)?shù)階和整數(shù)階濾波器的相關(guān)參數(shù).

表4 分?jǐn)?shù)階濾波器和整數(shù)階濾波器的參數(shù)

將表4 中的參數(shù)分別代入式（13）所示的2β階低通濾波器的傳遞函數(shù)和如式（21）所示的二階Butterworth低通濾波器的傳遞函數(shù)中.

根據(jù)所得到的分?jǐn)?shù)階和整數(shù)階低通濾波器的傳遞函數(shù)，在Matlab 中進(jìn)行仿真并比較通帶偏差和阻帶偏差，結(jié)果指標(biāo)對(duì)比如表5所示.

表5 分?jǐn)?shù)階濾波器和整數(shù)階濾波器的指標(biāo)參數(shù)對(duì)比

綜合上述3組不同指標(biāo)要求下的濾波器設(shè)計(jì)，可以發(fā)現(xiàn)，所設(shè)計(jì)的分?jǐn)?shù)階濾波器都可以實(shí)現(xiàn)給定的指標(biāo)要求.而在第三組指標(biāo)下，整數(shù)階Butterworth 濾波器的通帶偏差卻大于所給的偏差值，不滿足指標(biāo)要求.并且對(duì)于通帶偏差，分?jǐn)?shù)階低通濾波器比整數(shù)階Butterworth低通濾波器的通帶偏差小，也就是說(shuō)，分?jǐn)?shù)階低通濾波器在通帶的波動(dòng)更小.此外，例如在第三組指標(biāo)要求下，利用式（17）計(jì)算得到的濾波器階數(shù)為1.5 階，應(yīng)用于整數(shù)階Butterworth 濾波器時(shí)只能通過(guò)取整得到其階數(shù)為2 階，而應(yīng)用于分?jǐn)?shù)階濾波器時(shí)，其階數(shù)無(wú)須取整可以為分?jǐn)?shù).這也是分?jǐn)?shù)階濾波器相對(duì)于整數(shù)階濾波器的優(yōu)勢(shì)——分?jǐn)?shù)階濾波器的設(shè)計(jì)自由度更大.

在硬件實(shí)現(xiàn)上來(lái)說(shuō)，上述分?jǐn)?shù)階低通濾波器和整數(shù)階Butterworth 低通濾波器都可以使用如圖4 所示的KHN（Kerwin-Huelsman-Newcomb，KHN）濾波電路實(shí)現(xiàn)，其中C1和C2都是β（0 ＜β≤1）階電容器.

圖4 KHN濾波器

當(dāng)R3=R4=R5=R6時(shí)，該KHN 濾波電路的傳遞函數(shù)為

以第三組指標(biāo)設(shè)計(jì)的兩種濾波器為例，根據(jù)表4的參數(shù)得到分?jǐn)?shù)階低通濾波器和整數(shù)階Butterworth 低通濾波器的傳遞函數(shù)分別為

聯(lián)系式（22）～式（24）確定圖4 電路中的電路元件值，如表6 所示.對(duì)于整數(shù)階Butterworth 低通濾波器而言，ωc2=0.0036 ＜0.01.因此在電路實(shí)現(xiàn)時(shí)，整數(shù)階濾波電路的C1C2R1R2大于分?jǐn)?shù)階的.

表6 電路元件取值

應(yīng)用于更低頻率濾波，需要的截止頻率就更小，若為當(dāng)前截止頻率的1/100 時(shí)，根據(jù)ωnew=λωold，將頻率放縮為當(dāng)前的1/100（即λ=0.01），那么對(duì)于整數(shù)階Butterworth 低通濾波器而言，有(C1C2R1R2)new=即放縮后電阻電容的乘積為放縮前的10000 倍（即）；對(duì)于分?jǐn)?shù)階低通濾波器而言，則有(C1C2R1R2)new=(C1C2R1R2)old*即放縮后電阻電容的乘積為放縮前的1584倍（即10.011.6）.放縮后電路元件具體取值如表7所示.

表7 放縮后電路元件取值

由此可知，若放縮到更低頻時(shí)（即λ取更小的值），由于相比分?jǐn)?shù)階低通濾波器，整數(shù)階Butterworth 低通濾波器在電路實(shí)現(xiàn)時(shí)需要較大的電阻才能實(shí)現(xiàn)較小的截止頻率.而在實(shí)際電路中，較大的電阻會(huì)產(chǎn)生較大的熱噪聲，且運(yùn)放的偏置電流流過(guò)大電阻會(huì)產(chǎn)生不可忽略的誤差，最終影響濾波效果.此外，大電阻不利于電路的集成.因此，在極低頻濾波時(shí)，分?jǐn)?shù)階濾波器相比整數(shù)階濾波器在實(shí)際電路實(shí)現(xiàn)時(shí)具有優(yōu)勢(shì).

2.2.4 與國(guó)外研究設(shè)計(jì)方法比較分析

如前所述，滿足δp，δs，ωp和ωs這四個(gè)指標(biāo)要求的分?jǐn)?shù)階低通濾波器設(shè)計(jì)方法和設(shè)計(jì)流程目前未見(jiàn)報(bào)道.參考文獻(xiàn)［20］中提出了一個(gè)根據(jù)過(guò)渡帶寬ε1、阻帶衰減ε2、通帶最大可允許峰值1+ε3以及截止頻率ωc四個(gè)設(shè)計(jì)指標(biāo)來(lái)設(shè)計(jì)分?jǐn)?shù)階低通濾波器的方法.為了與文獻(xiàn)［20］中的設(shè)計(jì)方法進(jìn)行比較，需要將δp，δs，ωp和ωs這四個(gè)指標(biāo)轉(zhuǎn)換為文獻(xiàn)［20］的指標(biāo)，轉(zhuǎn)換過(guò)程中的難點(diǎn)是關(guān)于截止頻率ωc沒(méi)有直接求解的公式，故本文借用式（17）～式（20）來(lái)估計(jì)文獻(xiàn)［20］中的截止頻率，再由截止頻率ωc和阻帶邊緣頻率ωs得到指標(biāo)ε1的值.由于本文關(guān)于通帶最大可允許峰值要求為1，而文獻(xiàn)［20］中的通帶最大可允許峰值為1+ε3，需要進(jìn)行歸一化處理并將直流處作為通帶最大波動(dòng)處，再由δp得到指標(biāo)ε3的值.最后，由ε3和δs可以確定指標(biāo)ε2的值.

在將本文所給出的四個(gè)設(shè)計(jì)指標(biāo)轉(zhuǎn)換為適用于文獻(xiàn)［20］的指標(biāo)后，就可以用文獻(xiàn)［20］中提出的優(yōu)化設(shè)計(jì)方法設(shè)計(jì)符合指標(biāo)要求的分?jǐn)?shù)階濾波器，并與用本文的設(shè)計(jì)方法所設(shè)計(jì)的分?jǐn)?shù)階濾波器進(jìn)行比較分析.由于文獻(xiàn)［20］是對(duì)2β階傳遞函數(shù)進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)，因此為保證對(duì)比的嚴(yán)謹(jǐn)性，本文方法采用Fgoalattain函數(shù)也對(duì)2β階傳遞函數(shù)進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì).對(duì)2.2.2 節(jié)中的三組濾波器進(jìn)行設(shè)計(jì)的結(jié)果指標(biāo)對(duì)比如表8所示.

表8 不同方法所設(shè)計(jì)的三組不同分?jǐn)?shù)階濾波器的指標(biāo)參數(shù)對(duì)比

由表8可以發(fā)現(xiàn)，利用文獻(xiàn)［20］中提出的優(yōu)化設(shè)計(jì)方法所設(shè)計(jì)的分?jǐn)?shù)階濾波器并不能滿足所有指標(biāo)要求，其阻帶偏差總是比要求的偏差值大，通帶偏差也常常達(dá)不到指標(biāo)要求.總而言之，文獻(xiàn)［20］中提出的優(yōu)化設(shè)計(jì)方法所設(shè)計(jì)的分?jǐn)?shù)階濾波器除了信號(hào)相位失真較小外，其通帶和阻帶偏差往往大于給出的偏差指標(biāo)，不能完全滿足設(shè)計(jì)指標(biāo)要求，而本文所提優(yōu)化設(shè)計(jì)方法則能得到滿足給定指標(biāo)要求的分?jǐn)?shù)階低通濾波器.并且對(duì)于給出的δp，δs，ωp和ωs這四個(gè)工程上常用的濾波器設(shè)計(jì)指標(biāo)來(lái)說(shuō)，使用文獻(xiàn)［20］中的優(yōu)化設(shè)計(jì)方法首先需要進(jìn)行指標(biāo)轉(zhuǎn)換，使用起來(lái)較為煩瑣，而本文所提的優(yōu)化設(shè)計(jì)方法可以直接使用，更為簡(jiǎn)單.

3 設(shè)計(jì)實(shí)例

下面給出一個(gè)完整的設(shè)計(jì)流程.首先，設(shè)計(jì)指標(biāo)要求為δp=0.15，δs=0.3，ωp=2 rad/s，ωs=4 rad/s.使用Fgoalattain 優(yōu)化函數(shù)對(duì)1+α階低通濾波器傳遞函數(shù)進(jìn)行優(yōu)化，優(yōu)化后的傳遞函數(shù)參數(shù)如表9所示.

表9 給定指標(biāo)要求下的1+α 階低通濾波器傳遞函數(shù)優(yōu)化參數(shù)值

將優(yōu)化后的參數(shù)值代入傳遞函數(shù)中，在Matlab 中畫(huà)出其幅頻響應(yīng)，如圖5所示.

圖5 1+α 階傳遞函數(shù)Matlab幅頻響應(yīng)仿真

通過(guò)分析圖5可知，該優(yōu)化后的低通濾波器的通帶偏差為0.0128，小于指標(biāo)要求的0.15，滿足指標(biāo)要求；該低通濾波器在阻帶邊緣頻率處為0.2944，小于指標(biāo)要求的0.3，同樣滿足設(shè)計(jì)指標(biāo).

3.1 穩(wěn)定性分析

分析分?jǐn)?shù)階濾波器的穩(wěn)定性需要將其S 域傳遞函數(shù)轉(zhuǎn)換為文獻(xiàn)［21］中定義的W 平面.這可以將傳遞函數(shù)從分?jǐn)?shù)階轉(zhuǎn)換為整數(shù)階，以便使用傳統(tǒng)的整數(shù)階分析方法進(jìn)行分析.可以使用以下步驟完成此分析過(guò)程：

（1）利用s=wm和α=k/m，將分?jǐn)?shù)階傳遞函數(shù)變換到W平面；

（2）為所需要的α值確定k和m值；

（3）求出已變換到W平面的傳遞函數(shù)的所有極點(diǎn)，如果任一極點(diǎn)的角度絕對(duì)值|θW|小于π/2mrad/s，那么該系統(tǒng)就是不穩(wěn)定的；反之，若所有的|θW|＞rad/s，那么該系統(tǒng)就是穩(wěn)定的.

將上述分析過(guò)程應(yīng)用于已經(jīng)優(yōu)化完成的1+α階低通濾波器傳遞函數(shù)的分母，如式（25）所示，得到W平面的特征方程：

其中，由于取α為0.94，因此選擇m=100，k=94.求解式（26）的所有根的角度絕對(duì)值的最小值為1.2684°，其大于π/2m=0.9°.確認(rèn)使用表9 中的參數(shù)的濾波器是穩(wěn)定的并且可以物理實(shí)現(xiàn).

3.2 電路實(shí)現(xiàn)

該分?jǐn)?shù)階傳遞函數(shù)也能使用如圖4 所示的KHN 濾波器實(shí)現(xiàn)，其中C1是一個(gè)常規(guī)的一階電容器，C2是一個(gè)阻抗為ZC2=（0 ＜α＜1）的分?jǐn)?shù)階電容器.

當(dāng)R3=R4=R5=R6時(shí)，該分?jǐn)?shù)階KHN 濾波器的傳遞函數(shù)為

比較（27）和式（7）的系數(shù)可得出以下關(guān)系：

使用式（28）和式（29）兩個(gè)設(shè)計(jì)方程確定四個(gè)電路元件值，因此在選擇電路元件值以實(shí)現(xiàn)所需濾波器響應(yīng)時(shí)有兩個(gè)自由度供設(shè)計(jì)者自行確定兩個(gè)元件值.同時(shí)，需要頻率縮放以根據(jù)所需應(yīng)用調(diào)整濾波器的工作頻率.假定ωnew=λωold，可以根據(jù)下列等式縮放電路元件：

為了后續(xù)電路仿真和測(cè)試結(jié)果方便觀察，使用式（30）～式（33），將優(yōu)化好的分?jǐn)?shù)階低通濾波器的通帶邊緣頻率放縮至2π×100 rad/s 時(shí)，電路中的各元件取值如表10所示.

表10 1.94階濾波電路元件取值

3.3 PSPICE仿真

盡管在實(shí)現(xiàn)分?jǐn)?shù)階電容器方面已經(jīng)取得了很大的進(jìn)步，但目前尚無(wú)商用的分?jǐn)?shù)階電容器.可以使用整數(shù)階電路來(lái)近似實(shí)現(xiàn)分?jǐn)?shù)階電容.本文利用連分式展開(kāi)（Continued Fraction Expansions）來(lái)模擬實(shí)現(xiàn)分?jǐn)?shù)階電容.可以使用Foster Ⅰ型RC串并聯(lián)網(wǎng)絡(luò)［22］模擬0.94階1μF電容，如圖6所示，其有效頻率范圍為1.8 Hz至5.5 kHz.

圖6 0.94階1μF電容元件模擬電路

用圖6所示的0.94階1μF的電容代替圖4中的電容器C2，在有效頻率（1.8Hz～5.5kHz）范圍內(nèi)可以當(dāng)作分?jǐn)?shù)階電容來(lái)使用.根據(jù)表10電路元件值，調(diào)整圖4中電路的電阻電容值，得到了的幅頻響應(yīng)曲線，如圖7所示.

圖7 給定指標(biāo)要求下優(yōu)化的濾波器幅頻響應(yīng)曲線

通過(guò)PSPICE 的數(shù)據(jù)測(cè)量功能可得，圖7 幅頻響應(yīng)曲線的通帶偏差為0.15，阻帶邊緣頻率處為0.29，完全符合設(shè)計(jì)指標(biāo)要求.阻帶衰減速率約為39.3 dB/十倍頻，與理論值38.8 dB/十倍頻非常接近.該仿真證明，KHN 濾波電路能通過(guò)使用近似的分?jǐn)?shù)階電容器來(lái)實(shí)現(xiàn)符合設(shè)計(jì)指標(biāo)要求的分?jǐn)?shù)階低通濾波器.

3.4 實(shí)際電路測(cè)試

本文根據(jù)圖4所示電路搭建階數(shù)為1.94、通帶邊緣頻率和阻帶邊緣頻率分別為100 Hz和200 Hz的符合設(shè)計(jì)指標(biāo)要求的低通濾波器電路，所用運(yùn)算放大器為通用型低功耗集成四運(yùn)放LM324，實(shí)驗(yàn)電路如圖8所示.

圖8 搭建的1.94階KHN濾波電路

使用Analog Discovery 2觀察圖8所示電路的幅頻響應(yīng)，響應(yīng)曲線如圖9 所示.通過(guò)對(duì)曲線的測(cè)量發(fā)現(xiàn)其通帶偏差為0.17，略大于指標(biāo)要求的0.15；在阻帶邊緣頻率（200 Hz）處為0.36，略大于指標(biāo)要求的0.3.該幅頻響應(yīng)曲線的阻帶衰減速率約為36.3 dB/十倍頻，比理論的阻帶衰減速率小2.5 dB/十倍頻率.這是由于電路中所用的分?jǐn)?shù)階電容是由RC 串并聯(lián)網(wǎng)絡(luò)模擬實(shí)現(xiàn)的，并非理想的分?jǐn)?shù)階電容；且電路是基于面包板用直插式電阻電容所搭建而成，測(cè)試時(shí)電阻電容本身以及外部環(huán)境的噪聲等因素也會(huì)帶來(lái)誤差.因此本文認(rèn)為所優(yōu)化設(shè)計(jì)的低通濾波器的誤差是在可接受范圍內(nèi)的，可以驗(yàn)證本文所提出的對(duì)于給定指標(biāo)要求下的優(yōu)化設(shè)計(jì)方法的有效性.

圖9 1.94階低通濾波器幅頻響應(yīng)曲線

4 結(jié)論

本文提出了兩種對(duì)于滿足給定指標(biāo)要求的分?jǐn)?shù)階低通濾波器的優(yōu)化設(shè)計(jì)方法并比較分析了使用Fminimax和Fgoalattain這兩種優(yōu)化函數(shù)所設(shè)計(jì)的濾波器各自的特點(diǎn).使用1+α階和2β階低通濾波器傳遞函數(shù)并基于代表濾波器設(shè)計(jì)要求的函數(shù)組，分別建立了數(shù)學(xué)模型用以優(yōu)化設(shè)計(jì)所需的濾波器.通帶偏差、阻帶偏差、通帶邊緣頻率以及阻帶邊緣頻率都可以根據(jù)實(shí)際應(yīng)用進(jìn)行控制以得到符合指標(biāo)要求的濾波器響應(yīng).給出設(shè)計(jì)實(shí)例，應(yīng)用本文所提優(yōu)化方法進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)和電路仿真，最后搭建實(shí)體電路進(jìn)行測(cè)試，測(cè)試結(jié)果驗(yàn)證了本文所提方法的有效性.本文所給指標(biāo)要求下優(yōu)化得到的濾波器階數(shù)都小于2 階（1＜1+α＜2，0＜2β＜2），但某些指標(biāo)下優(yōu)化得到的階數(shù)可能大于2 階，在此情況下，可以使用阻抗變換器（Generalized Impedance Converter）來(lái)實(shí)現(xiàn)階數(shù)大于1的分?jǐn)?shù)階電容，也可以將分?jǐn)?shù)階與整數(shù)階濾波電路級(jí)聯(lián)實(shí)現(xiàn)符合指標(biāo)要求的高階濾波器.具體實(shí)現(xiàn)方法將是我們下一步的研究工作.