梁進榜 趙 濤

(四川大學 四川 成都 610065)

0 引 言

2WMR具有結構簡單、體積小、能耗低和活動靈活的特點，可以原地180度旋轉，在狹小的環(huán)境中能夠完成其他輪式機器人無法完成的復雜運動。從而使得其在各個領域中被廣泛運用在勘探和搜索中的移動平臺中[1]。2WMR的兩個車輪分別安裝在其的兩側，并安裝在同一軸線上。通過兩個電機用差分的方式來獨立驅動。2WMR的整體質心保持在車輪的輪軸上，從而通過小車的運動來維持平衡。2WMR具有典型的多變量、不穩(wěn)定、欠驅動和非線性的特點，容易受到外部干擾的影響，是驗證各種先進智能控制算法驗證的平臺[2-8]。雖然有大量的文獻對2WMR進行了研究，但是現有研究很少考慮到2WMR在復雜的環(huán)境中的平衡和位置控制，也很少考慮外部干擾對2WMR的運動控制的影響。

針對非線性系統和處理系統干擾方面，模糊邏輯控制有著非常好的表現。Qin等[9]建立了非完整2WMR的動力學和運動學模型，并設計了基于T-S模糊模型的具有并行分布補償器的模糊控制器。Wu等[10]運用牛頓動力學力學理論建立了2WMR的動力學方程，并設計了極點配置狀態(tài)反饋控制器和模糊邏輯控制器，在有不確定干擾的條件下模糊控制器具有很好的表現。Sadeghian等[11]設計了Fuzzy-PID控制器來控制2WMR的平衡和位置，并且與傳統PID和模糊PID比較了其控制效果，從而說明模糊PID具有更好的控制效果。

二型模糊集是一型模糊集的擴展，其對應的模糊集由兩個一型模糊集分別作為上、下隸屬函數圍成的不確定跡(FOU)。因此相比于一型模糊集，二型模糊集有效提高了系統處理不確定性的能力[12]。廣義二型模糊集是二型模糊集的擴展，其模糊集由不確定跡和次隸屬函數圍成的一個3D形狀模糊集[13-14]。因此相比于區(qū)間二型模糊集，廣義二型模糊集將更有效地提高系統處理不確定性的能力[15-17]。隨著社會的發(fā)展，現代系統的復雜度越來越高，不確定性也隨之變多，廣義二型模糊集的優(yōu)勢得以體現。因此，采用廣義二型模糊控制可以增強系統處理不確定性和抗干擾的能力。

在模糊控制中，隸屬函數的選擇至關重要，其選取的好壞直接體現在控制效果上。隸屬函數參數的選取大多是憑專家經驗選取或試錯得到，這種傳統的參數選取方法往往難以滿足控制要求。此外，由于GT2FLC系統中的參數繁多，使得傳統的參數選取方法更難選取合適的參數。

粒子群優(yōu)化算法(PSO)和遺傳算法(GA)都是使用廣泛的仿生優(yōu)化算法，都是在利用自然特性的基礎上來模擬種群的適應性，并通過一定的方法、規(guī)則來尋求最優(yōu)解[18-19]。盡管PSO與GA的效果基本相同，但PSO相較于GA更加高效[20]。QPSO是一種基于量子力學的全新粒子群優(yōu)化算法[21]，它引入了δ降勢，取消了粒子的移動方向屬性，粒子的位置和速度在量子空間中不能一起確定，因此用波函數表示粒子位置，通過蒙特卡羅方法求出粒子位置，通過平均最好的位置求解得到最終的最優(yōu)位置。從量子力學的角度來看，處于量子束縛的粒子能夠以一定的概率出現在任何的解空間[22-24]，因此QPSO具有更好的收斂性，優(yōu)于PSO。因此針對GT2FLC中規(guī)則參數設置問題，本文采用了QPSO優(yōu)化隸屬函數參數，并將優(yōu)化后的GT2FLC用于兩輪移動2WMR的平衡和位置控制。

本文主要貢獻如下:① 針對2WMR，分別設計了基于優(yōu)化思想的平衡控制和位置控制的GT2FLC;② 針對2WMR中GT2FLC的隸屬函數參數難以確定，利用QPSO優(yōu)化參數，提升系統的控制效果；③ 通過添加干擾，驗證設計的控制器有效性，達到本文所需要的效果；④ 考慮了不同斜面情況，通過優(yōu)化參數，驗證優(yōu)化效果的先進性。

1 兩輪移動機器人動力學模型

圖1 2WMR結構示意圖

表1 2WMR系統參數

2WMR的非線性模型[25]可表示為：

(1)

其中：

(2)

(3)

(4)

(5)

本文主要研究了對2WMR的平衡控制和位置控制。對2WMR的平衡控制如圖2所示。

圖2 2WMR的運動分析圖

當移動2WMR在φ>0的傾斜角上處于平衡狀態(tài)時，分別以車體和擺為對象分析平衡條件。圖2(a)中：f為靜態(tài)摩擦力，沿斜面向上為正方向，根據圖2(a)可得：f-sinφ(mp+mω)g=0。根據圖2(b)可得：-f+mplgsin(θ)=0。由以上兩個等式可得2WMR平衡時的平衡角度為θ=arcsin(rsinφ(mp+mω)/(mpl))。位置控制時，當2WMR向前傾斜的時候，2WMR向前移動來維持平衡，此時傾角也在不斷減小，直到2WMR到達平衡時候的角度。當2WMR向相反方向傾斜的時候，2WMR向后移動來維持平衡，此時傾角也在不斷變大，直至2WMR到達平衡時候的角度。因此，位置控制可以通過給2WMR一定的傾角的補償角來控制位置。

2 量子粒子群算法原理

QPSO是一種基于PSO的改進算法。它主要是結合量子物理的思想改進PSO中更新粒子位置的方法。QPSO重點考慮了各粒子的全局最優(yōu)和局部位置最優(yōu)的信息[26]。假設在一個N(需要優(yōu)化的參數的個數)維的搜索空間中，有一組由M個粒子組成的種群。其中，用Xi(t)來表示在時間t時刻，第i個粒子的位置，即Xi(t)=(xi,1(t),xi,2(t),…,xi,N(t))。用Pi(t)來表示第i個粒子的最好的位置，即Pi(t)=(Pi,1(t),Pi,2(t),…,Pi,N(t))。用G(t)來表示種群的最好的位置，即Gbest(t)=(G1(t),G2(t),…,GN(t))，且Gbest(t)=Pbest_g(t)，其中best_g∈{1,2,…,M}，best_g為需要尋找的粒子的下標。

Pi(t)表示第i個粒子的最好位置，由式(6)計算得出：

(6)

Pbest_g則表示群體的全局最好位置，由下式確定：

(7)

QPSO用波函數來表示粒子的狀態(tài)，δ勢降中的特征長度用L表示。采用蒙特卡洛方法，可以得到粒子位置更新的公式為：

xi,j(t+1)=pi,j(t)±Li,j(t)/2·ln(1/uij(k))

(8)

pi,j(t)=φjPi,j(t)+(1-φj)Gj(t)

(9)

Li,j(t)=2α|Cj(t)-xi,j(t)|

(10)

式中：α為收縮擴張因子，α一般不大于1；uij(k)和φj是(0,1)上的均分布數值。

綜上，QPSO中粒子更新方程為：

(11)

3 廣義二型模糊控制器設計與優(yōu)化

3.1 廣義二型模糊集

(12)

(13)

二型模糊集是一個特殊的廣義二型模糊集，可以由上、下隸屬函數圍成的一個區(qū)間定義。圍成的區(qū)間也叫作不確定性跡，如圖3所示。

圖3 廣義二型模糊集

廣義二型模糊集是區(qū)間二型模糊集的擴展，其隸屬函數為3D的集合，如圖4所示。

圖4 廣義二型模糊集

因為區(qū)間二型模糊得到了廣泛的研究，因此可以將3D廣義二型模糊集近似為多個區(qū)間二型模糊。廣義二型模糊集的隸屬函數被切成多個切片，每個切片組合起來就近似3D廣義二型模糊集。廣義二型模糊集常用的表達方式是垂直切片、水平切片和波浪切片[13]。本文主要使用水平切片表示，如圖5所示。

圖5 廣義二型模糊集水平切片示意圖

本文的廣義二型模糊系統的次隸屬函數為三角形，如圖6所示。其形狀由ω∈[0,1]決定，當ω=0或者ω=1時，其次隸屬函數分別為右三角形或者左三角形，當ω=0.5時，其次隸屬函數為等腰三角形。

圖6 廣義二型模糊集的次隸屬函數

本文用α截集來表示每個切片模糊集[28]:

(14)

使用“數積”的概念及其運算的簡便性，節(jié)約計算成本的考慮，一般將廣義二型模糊集的切片α定義為α=[0;0.2;0.4;0.6;0.8;1]來近似廣義二型模糊集。

3.2 廣義二型模糊控制器設計

平衡控制模糊規(guī)則為：

位置控制模糊規(guī)則為：

其中：位置誤差pe∈[-3,3]；2WMR俯仰角的補角輸出θoff∈[-π/40,π/40]。2WMR的整體控制原理圖如圖7所示。

圖7 2WMR的整體控制原理圖

本文設計的GT2FLC系統采用單值模糊化，主要用來優(yōu)化GT2FLC的次隸屬函數中的ω的值，以及當α=0時，主隸屬函數的模糊集，此時可以看作為優(yōu)化一個二型模糊集和次隸屬函數的頂點。前件、后件劃分成7個三角形的區(qū)間二型模糊集NB、NM、NS、ZO、PS、PM、PB)，其分別表示負大、負、中、負小、零、正小、正中、正大7個模糊集。ω∈[0,1]為次隸屬函數的頂點。模糊推理采用Mamdani型最小t范數,為了簡化計算和節(jié)省優(yōu)化時間，本文采用了NT降型解模糊方法[29-31],規(guī)則表如表2所示。

表2 平衡(位置)控制模糊規(guī)則

3.3 模糊規(guī)則參數優(yōu)化

大多數情況下，隸屬函數中各個參數的選取大多靠專家經驗，這種選取方式往往很難有好的控制效果，而選取的隸屬函數的好壞又會直接影響控制效果。因此，本文采用QPSO來優(yōu)化隸屬函數的參數，并和PSO作比較。

QPSO中，本文采用誤差絕對值乘以時間后積分作為適應度函數，為了節(jié)約計算成本，本文將適應度函數改為離散的形式。其中平衡控制器的參數優(yōu)化時，適應度函數的選擇為：

(15)

位置控制器的參數優(yōu)化時，適應度函數的選擇為：

(16)

式中：|theta(i)|表示為i時刻俯仰角的誤差；|distance(i)|表示為i時刻位置誤差；η為步長。QPSO的流程圖如圖8所示。

圖8 QPSO優(yōu)化流程圖

4 仿真結果與討論

本節(jié)仿真的結果是基于MATLAB平臺仿真實現的。本文采用PSO、QPSO兩種優(yōu)化算法分別對平衡控制器的隸屬函數和位置控制器的隸屬函數進行優(yōu)化并且進行比較。此外，本文將考慮在不同的斜坡上，在三種不同條件下的優(yōu)化控制算法的效果，最后再考慮擾動存在的情況下，比較不同斜坡情況下，廣義二型模糊和區(qū)間二型模糊的控制效果。

4.1 平衡控制

(1) 當2WMR在2.45°的斜面上運動，不存在擾動時，分別采用兩種優(yōu)化算法后的參數控制平衡。2WMR的初始狀態(tài)為x=[0;0;0.3;0]。圖9為QPSO優(yōu)化之后前件的隸屬函數，次隸屬函數頂點ω=0.262，優(yōu)化后的后件集如表3所示。

圖9 QPSO優(yōu)化后前件的隸屬函數

表3 優(yōu)化后后件集參數

圖10所示為傾斜角為4.3°時，GT2FLC僅控制平衡時的效果。圖11所示為平衡控制時的適應度函數圖，此時，由2WMR平衡時的平衡角度公式和控制率計算公式可以得到，當傾斜角為2.45°時，2WMR平衡時的角度θ=0.05 rad,控制率為0.1 N·m。

圖10 傾斜角為2.45°時平衡控制的效果

圖11 傾斜角為2.45°時平衡控制的適應度函數

(2) 當2WMR在4.3°的斜面上運動，不存在擾動時，分別采用兩種優(yōu)化算法后的參數控制平衡。2WMR的初始狀態(tài)x=[0;0;0.3;0]。圖12所示QPSO優(yōu)化之后前件的隸屬函數，次隸屬函數頂點ω=0.025，優(yōu)化后的后件集如表4所示。

圖12 QPSO優(yōu)化后前件的隸屬函數

表4 優(yōu)化后后件集參數

圖13所示傾斜角為4.3°時，GT2FLC僅控制平衡時的效果。圖14所示平衡控制時的適應度函數圖。同理，傾斜角為4.3°時，2WMR平衡時的角度θ=0.09 rad,控制率為0.185 5 N·m。

圖13 傾斜角為4.3°時平衡控制的效果

圖14 傾斜角為15°時平衡控制的適應度函數

(3) 當2WMR在15°的斜面上運動，不存在擾動時，分別采用兩種優(yōu)化算法后的參數控制平衡。2WMR的初始狀態(tài)x=[0;0;0.3;0]。圖15所示QPSO優(yōu)化之后前件的隸屬函數，次隸屬函數頂點為ω=0.148，優(yōu)化后的后件集如表5所示。

圖15 QPSO優(yōu)化后前件的隸屬函數

表5 優(yōu)化后后件集參數

圖16所示傾斜角為15°時，GT2FLC僅控制平衡時的效果。圖17所示平衡控制時的適應度函數圖。同理，傾斜角為15°時，2WMR平衡時的角度θ=0.31 rad,控制率為0.64 N·m。

圖16 傾斜角為15°時平衡控制的效果

圖17 傾斜角為15°時平衡控制的適應度函數

由圖9-圖17可以看出，當采用QPSO優(yōu)化后的參數控制2WMR時，2WMR最快到達平衡，PSO次之，無優(yōu)化的控制效果最差，而且平衡時都到達了期望的角度。在三種不同斜面傾角下，平衡所需要的控制率和計算的基本一致。相比與PSO，QPSO的適應度函數更早收斂，也說明采用QPSO優(yōu)化可以得到更好的效果。

4.2 位置控制

(1) 當2WMR在2.45°的斜面上運動，不存在擾動時，分別采用兩種優(yōu)化算法后的參數控制平衡。2WMR的初始狀態(tài)x=[1.5;0;0.3;0]。QPSO優(yōu)化后，次隸屬函數的頂點ω=0.189，優(yōu)化后前件和后件的隸屬函數如圖18所示。

圖18 傾斜角為2.45°時優(yōu)化后前后件的隸屬函數

圖19所示為斜面傾斜角為2.45°時，GT2FLC位置控制時的仿真效果及適應度函數圖。

圖19 傾斜角為2.45°時位置控制的效果

(2) 當2WMR在4.3°的斜面上運動，不存在擾動時，分別采用兩種優(yōu)化算法后的參數控制平衡。2WMR的初始狀態(tài)x=[1.5;0;0.3;0]。QPSO優(yōu)化后，次隸屬函數的頂點ω=0.243，優(yōu)化后前件和后件的隸屬函數如圖20所示。

圖20 傾斜角為4.3°時優(yōu)化后前后件的隸屬函數

圖21所示斜面傾斜角為2.45°時，GT2FLC位置控制時候的仿真效果及適應度函數圖。

圖21 傾斜角為4.3°時位置控制的效果

(3) 當2WMR在15°的斜面上運動，不存在擾動時，分別采用兩種優(yōu)化算法后的參數控制平衡。2WMR的初始狀態(tài)x=[1.5;0;0.3;0]。優(yōu)化后，次隸屬函數的頂點ω=0.673，QPSO優(yōu)化后前件和后件的隸屬函數如圖22所示。

圖22 傾斜角為15°時優(yōu)化后前后件的隸屬函數

圖23所示斜面傾斜角為15°時，GT2FLC位置控制時候的仿真效果及適應度函數圖。

圖23 傾斜角為15°時位置控制的效果

實驗結果表明，三種不同的斜面下，采用QPSO優(yōu)化后的參數控制2WMR的位置時效果最好，PSO次之，沒有優(yōu)化的效果最差。同時，采用QPSO和PSO優(yōu)化時，QPSO的適應度函數比PSO的適應度函數收斂得早，也說明采用QPSO優(yōu)化后的效果最好。

4.3 存在干擾時的控制

2WMR的位置控制是通過平衡控制后再來控制2WMR的位置，所有考慮在位置控制中分別加上角度干擾和位置干擾，比較IT2FLC和GT2FLC的控制效果。

1) 角度干擾。

(1) 當2WMR在2.45°的斜面上運動，并且在t=6 s時，加0.2·randn的角度干擾，分別采用IT2FLC和GT2FLC控制2WMR的位置，結果如圖24所示。

圖24 傾斜角為2.45°存在角度擾動控制效果

(2) 當2WMR在4.3°的斜面上運動，并且t=6 s時，加0.2·randn的角度干擾，分別采用IT2FLC和GT2FLC控制2WMR的位置，結果如圖25所示。

圖25 傾斜角為4.3°存在角度擾動控制效果

(3) 當2WMR在15°的斜面上運動，并且在t=6 s時，加0.2·randn的角度干擾，分別采用IT2FLC和GT2FLC控制2WMR的位置。結果如圖26所示。

圖26 傾斜角為15°存在角度擾動控制效果

實驗結果表明，當存在0.2·randn的角度干擾時，GT2FLC先達到平衡，以及期望的位置，并且平衡時的角度和平衡所需要的控制率與計算值基本相同。結果也表明GT2FLC具有更好的抗干擾能力。

2) 位置干擾。

(1) 當2WMR在2.45°的斜面上運動，并且在t=6 s時，加0.4 m的位置干擾，分別采用IT2FLC和GT2FLC控制2WMR的位置，結果如圖27所示。

圖27 傾斜角為2.45°存在位置擾動控制效果

(2) 當2WMR在4.3°的斜面上運動，并且在t=6 s時，加0.4 m的位置干擾，分別采用IT2FLC和GT2FLC控制2WMR的位置，結果如圖28所示。

圖28 傾斜角為4.3°存在位置擾動控制效果

(3) 當2WMR在15°的斜面上運動，并且在t=6 s時，加0.4 m的位置干擾，分別采用IT2FLC和GT2FLC控制2WMR的位置，結果如圖29所示。

圖29 傾斜角為15°存在位置擾動控制效果

實驗結果表明，當存在0.4的位置干擾時，采用GT2FLC時能控制2WMR到達指定的位置，但是采用IT2FLC時無法到達指定的位置，進一步說明了GT2FLC具有更好的抗干擾能力。

5 結 語

本文針對2WMR分別設計了廣義二型模糊邏輯平衡控制器和位置控制器。針對模糊系統中隸屬函數參數的難以獲得的問題，使用QPSO來優(yōu)化參數。仿真結果表明，QPSO比PSO具有更好的優(yōu)化效果。同時，比較了IT2FLC與GT2FLC的控制效果，并考慮到外界存在擾動時對控制效果的影響。實驗結果表明，GT2FLC相比IT2FLC具有更好的控制效果和抗干擾的能力。未來工作將考慮2WMR在更加復雜多變的環(huán)境下的運動，并且能搭建硬件平臺，驗證相應算法的有效性。