陳志斌，曹永軍

（內(nèi)蒙古師范大學(xué) 物理與電子信息學(xué)院，內(nèi)蒙古 呼和浩特 010022）

釓（Gd）是唯一在室溫下具有磁性的稀土元素，是一種典型的海森堡模型鐵磁體，也是具有代表性的經(jīng)典磁制冷鐵磁材料［1］。在過去的幾十年中，HCP 結(jié)構(gòu)的Gd 得到了廣泛關(guān)注，大量應(yīng)用于實驗和理論研究，特別是在電子結(jié)構(gòu)和有限溫度磁性能方面，Gd 元素的許多基態(tài)性質(zhì)都得到很好解釋［2］?；贚andau-Lifshitz（L-L）方程的微磁方法［3］，可以求解典型鐵磁材料和器件的磁矩運動，但是這些計算中，不能解釋在有限溫度下的熱傳導(dǎo)效應(yīng)，故而引入了一種原子尺度的有效自旋哈密頓量在稀土元素中，由于Gd3+離子的純s 態(tài)性質(zhì)，導(dǎo)致了相對較低的磁晶各向異性［4］，所以Gd 占有突出的地位。針對釓這種對溫度很敏感的材料，研究其內(nèi)部參數(shù)與溫度的關(guān)系是非常重要的。同時，釓是很好的合金元素，在耐熱鎂合金中，由于釓元素的加入可提高其高溫強度和抗蠕變性能［5］。開發(fā)含Gd 的合金也是一個重要的研究方向。

因為Gd 具有室溫磁性轉(zhuǎn)變點，本文應(yīng)用混合蒙特卡羅微磁學(xué)方法，研究了Gd 單晶在室溫附近磁化強度隨外場和溫度的變化規(guī)律，得到磁化曲線。通過Gd 單晶的變化規(guī)律可以對不同溫度下的Gd 單晶各向異性常數(shù)、交換作用系數(shù)進行研究?；旌厦商乜_微磁學(xué)方法的應(yīng)用，對后續(xù)類似Gd 單晶的其它鐵磁性物質(zhì)的研究具有指導(dǎo)意義。

1 混合蒙特卡羅微磁學(xué)方法

混合蒙特卡羅（HMC）方法是基于經(jīng)典牛頓力學(xué)的運動方程通過積分求解而來的方法，目的是產(chǎn)生exp(-S[x])的類玻爾茲曼（Boltzmann）分布［6］。求解的常規(guī)路徑是首先設(shè)定特定的場景與該場景下的初始狀態(tài)，根據(jù)哈密頓方程產(chǎn)生與時間相關(guān)的連續(xù)狀態(tài)，隨著狀態(tài)的不斷改變，可以逐步實現(xiàn)平穩(wěn)態(tài)附近的漲落并靠近穩(wěn)態(tài)，但它受限于計算機的計算能力和其他因素，包含“時間”被拆分成離散的序列。這里“時間”可以是真實的時間也可以是虛擬的。

HMC 方法在低溫下求解硬磁材料的磁滯回線與L-L 方程的微磁學(xué)相近，但對于軟磁材料的計算，HMC 方法得到的磁滯回線相較于L-L 方程更為準(zhǔn)確［7］。因為L-L 方程在矯頑力附近超過一半的磁矩為反平行亞穩(wěn)態(tài)，而HMC 微磁學(xué)由于直接到達(dá)能量最小而無此情況。此外，大規(guī)模計算方面HMC 微磁學(xué)較L-L 方程微磁學(xué)快很多，HMC 微磁學(xué)在回線計算的每個外場下計算耗時均勻，而L-L 方程在矯頑力附近耗時較多。當(dāng)微磁學(xué)格子數(shù)超過1 000 時，HMC 方法計算速度正比于格子數(shù)，計算速度遠(yuǎn)超L-L 微磁學(xué)的速度。

1.1 HMC 微磁學(xué)算法的迭代過程

1.2 程序中重要參數(shù)

參數(shù)迭代步數(shù)Nstep對HMC 微磁學(xué)模擬結(jié)果有重要影響。在微磁學(xué)領(lǐng)域應(yīng)用時［9］，迭代步數(shù)Nstep有所不同。迭代步數(shù)Nstep和蒙特卡羅時間δτ兩者相互制約，兩者的變化影響著HMC 算法的接受率，共同影響著算法的準(zhǔn)確性。此外，迭代步數(shù)的取值影響著程序運行的時間。

在HMC 算法中，單個軌道中的“蛙跳”的迭代步數(shù)Nstep通常是10。對于HMC 的微磁學(xué)模型中，單個軌道的“蛙跳”的迭代步數(shù)Nstep需要進一步研究，這里設(shè)置為200。在HMC 算法中，蒙特卡羅時間通常被分成若干個軌道，每個軌道的長度為τ0=Nstepδτ，軌道數(shù)量為Ntrajectory，所以迭代步數(shù)取值需要同時兼顧算法的準(zhǔn)確性和計算效率。

通過計算得到釓低溫下的磁化曲線，先找到釓單晶HCP 密排六方的模型（見圖1），其中晶胞參數(shù)［10］a=b=363.6 pm，c=578.26 pm，α=β=90°，γ=120°。每個原子有12 個近鄰（即Z=12），自旋S=是第一、二個電子歸一化的自旋算符。在鐵晶體中，由自旋波實驗獲得的Je/KBTC是0.22，而根據(jù)如下方程計算得到的結(jié)果是0.093（S=1，Z=8）或0.25（S=1/2，Z=8）。

圖1 釓原子HCP 模型Fig.1 HCP model of gadolinium

在HMC 算法中，蒙特卡羅時間τ是虛構(gòu)的時間，而哈密頓量中的磁性系統(tǒng)自由能F[M]/(kBT)有多個波峰和波谷。磁性系統(tǒng)的自由能需要克服眾多能量勢壘從而達(dá)到亞穩(wěn)態(tài)或者穩(wěn)態(tài)。磁晶各項異性能加限制勢能可表示為

其中：m=為拉格朗日項，這一項將能量束縛在M=MS(T)附近漲落；M4是朗道二級相變中的雙勢阱。參數(shù)λ=bK，其中b是無量綱常數(shù)，當(dāng)λ→∞時，可回到傳統(tǒng)微磁學(xué)中磁矩歸一化情形。

2 模擬結(jié)果

Gd 在室溫下是順磁性的，課題組利用上述原子尺度蒙特卡羅微磁學(xué)方法，編制程序模擬計算得到了Gd 的飽和磁化強度，用以研究飽和磁化強度隨外場和溫度的變化關(guān)系。其中Gd 晶體的HMC 哈密頓量包含兩項［11］，原子自旋共軛動量的動能項和原子自旋的標(biāo)度自由能項。

在確保系統(tǒng)保持鐵磁相的前提下，為了在約束勢中固定輸入各向同性交換常數(shù)J和S0(T)，不同溫度情況下的模擬計算MS(T)/MS(0)值及誤差大小見表1，并與文獻［1］中的實驗值進行比較，如圖2 所示。由表1 和圖2 可知，模擬值與實驗值基本吻合，隨溫度的變化趨勢也相同，Gd 單晶的飽和磁化強度隨著溫度增加而減小。

圖2 MS（T）/MS（0）隨溫度的變化規(guī)律Fig.2 Variation of MS（T）/MS（0）with temperature

表1 不同相關(guān)溫度比值下的理論值與實驗值以及誤差大小Tab.1 Theoretical and experimental values and error size under different relative temperature ratios

圖3 MS（T）/MS（0）隨著外場（H）變化規(guī)律Fig.3 The variation of MS（T）/MS（0）with external field

3 結(jié)論

本文使用原子尺度的有效自旋哈密頓量，以及混合蒙特卡羅方法得到Gd 單晶的磁化曲線，通過調(diào)節(jié)不同參數(shù)，找到接受度范圍在0.7～0.9 的結(jié)果，并分別對主要參數(shù)astar，Mwarm，Nstep，dt進行調(diào)試，找到與理論相近的實驗參數(shù)。通過得到磁化曲線，可以清楚地知道飽和磁化強度隨著外場和溫度的明顯變化，這為以后對類似釓的鐵磁性物質(zhì)和其它順磁等磁性物質(zhì)的研究奠定了一定的理論基礎(chǔ)。