辛 波

( 浙江理工大學(xué) 數(shù)學(xué)力學(xué)與數(shù)學(xué)物理研究所,浙江 杭州 310018)

近些年來,著名的 Emden-Fowler 方程出現(xiàn)于物理學(xué)和工程等領(lǐng)域的諸多分支.康波[1]得出了一類帶臨界指數(shù)的 Emden-Fowler 方程的解有j個(gè)零點(diǎn)的結(jié)果,并且研究了其零點(diǎn)的性態(tài);利用所得結(jié)果,研究了一類臨界指數(shù)的半線性橢圓型方程并且給出了其具有j個(gè)節(jié)點(diǎn)的徑向解存在的充要條件.王文清、董曉婧、王肖丹和毛安民[2]研究了Emden-Fowler方程奇異邊值問題的定號(hào)解.譚偉明和覃學(xué)文[3]應(yīng)用臨界點(diǎn)理論,獲得了一類離散廣義Emden-Fowler方程邊值問題存在多個(gè)解的條件.仉志余、張燕燕等[4]研究了一類時(shí)間尺度上三階非線性中立型Emden-Fowler時(shí)滯動(dòng)力方程的振動(dòng)性和漸近性,利用Riccati變換及不等式技巧,建立了該類方程幾個(gè)新的Leighton型,Kemenev型和Philos型振動(dòng)準(zhǔn)則.趙月云、莫帥、張海燕等[5]研究了一類Emden-Fowler方程奇異邊值問題,在滿足經(jīng)典的Ambrosetti-Rabinowitz條件下,利用噴泉定理證明了方程存在無窮多高能量解.梅鳳翔、解加芳和冮鐵強(qiáng)給出了求解Emden-Fowler方程的分析力學(xué)方法[6].

分?jǐn)?shù)階動(dòng)力學(xué)可以更為真實(shí)地描述和闡釋自然現(xiàn)象,已經(jīng)成為科學(xué)與工程各個(gè)領(lǐng)域的前沿?zé)衢T課題.然而,以往關(guān)于Emden-Fowler方程的研究一直局限于整數(shù)階微積分的框架,一直局限于整數(shù)階Emden-Fowler動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)內(nèi)在性質(zhì)與動(dòng)力學(xué)行為的研究.至今為止,分?jǐn)?shù)階Emden-Fowler動(dòng)力學(xué)模型還沒有被發(fā)現(xiàn)和提出.

本文利用分?jǐn)?shù)階廣義Hamilton方法構(gòu)造了一個(gè)新的分?jǐn)?shù)階動(dòng)力學(xué)模型,即分?jǐn)?shù)階Emden-Fowler動(dòng)力學(xué)模型.進(jìn)而,利用分?jǐn)?shù)階和非線性問題不確定性的分?jǐn)?shù)階廣義Hamilton表示,發(fā)現(xiàn)并構(gòu)造了分?jǐn)?shù)階Emden-Fowler動(dòng)力學(xué)模型團(tuán)簇.最后,對(duì)于分?jǐn)?shù)階Emden-Fowler動(dòng)力學(xué)模型及其團(tuán)簇的后續(xù)研究給出了討論與總結(jié).

1 分?jǐn)?shù)階廣義Hamilton方法

函數(shù)f(t)是定義在[a,b]上逐段連續(xù)函數(shù),且f(t)在[a,b]的任何有限子區(qū)間上可積,α>0,Γ(n-α)為Gamma函數(shù),n為自然數(shù),對(duì)t∈[a,b],則

(1)

稱為函數(shù)f(t)的α階Riesz-Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)[36]．D是分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)算子,α是分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的階,常數(shù)的Riesz-Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)不為0．且有

(2)

當(dāng)α取整時(shí),即為一般的整數(shù)階導(dǎo)數(shù)

(3)

假設(shè)力學(xué)系統(tǒng)的位置由m個(gè)變量x1,x2,…,xm確定,廣義Hamilton函數(shù)為H,在Riesz-Riemann-Liouville 分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的定義(1)下,分?jǐn)?shù)階廣義Hamilton系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程為[7]

(4)

式(4)被稱為含有Riesz-Riemann-Liouville 分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的分?jǐn)?shù)階廣義Hamilton系統(tǒng)．其中結(jié)構(gòu)元素Jij滿足反對(duì)稱性和Jacobi 恒等式,即

Jij=-Jji,

(5)

(6)

(7)

(8)

才可以構(gòu)造出一個(gè)與整數(shù)階模型相對(duì)應(yīng)的分?jǐn)?shù)階動(dòng)力學(xué)模型．

命題1[9]對(duì)于一個(gè)實(shí)際的動(dòng)力學(xué)系統(tǒng),如果其動(dòng)力學(xué)函數(shù)為H,結(jié)構(gòu)矩陣為Jij,利用條件(7),由分?jǐn)?shù)階廣義Hamilton方程(4)可以構(gòu)造這個(gè)動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的分?jǐn)?shù)階動(dòng)力學(xué)模型團(tuán)簇；當(dāng)且僅當(dāng)滿足條件(8),由分?jǐn)?shù)階廣義Hamilton方程(4)可以構(gòu)造一個(gè)與整數(shù)階模型的形式相對(duì)應(yīng)的分?jǐn)?shù)階動(dòng)力學(xué)模型.

2 分?jǐn)?shù)階Emden-Fowler動(dòng)力學(xué)模型

著名的 Emden-Fowler 方程出現(xiàn)于物理學(xué)和工程的諸多分支.文獻(xiàn)[6]在Hamilton的相空間中給出了整數(shù)階Emden-Fowler模型的表達(dá)式,在廣義Hamilton的坐標(biāo)空間中,整數(shù)階Emden-Fowler動(dòng)力學(xué)模型可以被寫為

(9)

其中a,m為常數(shù)且a,m≥0．選取

(10)

則方程(9)可表示為如下形式

(11)

構(gòu)造分?jǐn)?shù)階廣義Hamilton函數(shù)和結(jié)構(gòu)矩陣

(12)

(13)

條件(8)給出

(14)

將方程(12)—(14)代入分?jǐn)?shù)階廣義Hamilton方程(4),有

J11=0,J12=1,J21=-1,J22=0

(15)

(16)

(17)

(18)

那么,我們可以得到Emden-Fowler系統(tǒng)的分?jǐn)?shù)階動(dòng)力學(xué)方程為

(19)

方程(19)是一個(gè)α階的分?jǐn)?shù)階廣義Hamilton系統(tǒng),它被稱為分?jǐn)?shù)階Emden-Fowler動(dòng)力學(xué)模型,這是一個(gè)新的結(jié)果.

當(dāng)α=1的時(shí)候,分?jǐn)?shù)階Emden-Fowler 模型(19) 退化為整數(shù)階Emden-Fowler 模型(11).

3 分?jǐn)?shù)階Emden-Fowler動(dòng)力學(xué)模型團(tuán)簇

2017年羅紹凱等發(fā)表的On the families of fractional dynamical models[9]揭示了分?jǐn)?shù)階和非線性問題的不確定性及其分?jǐn)?shù)階廣義Hamilton表示,發(fā)現(xiàn)了分?jǐn)?shù)階動(dòng)力學(xué)模型團(tuán)簇,給出了構(gòu)造分?jǐn)?shù)階動(dòng)力學(xué)模型團(tuán)簇的一般方法.而且,作為新方法的應(yīng)用,構(gòu)造了三類新的分?jǐn)?shù)動(dòng)力學(xué)模型團(tuán)簇.

實(shí)際上,方程(4)給出了分?jǐn)?shù)階和非線性問題不確定性的分?jǐn)?shù)階廣義Hamilton表示,下面我們利用方程(4)構(gòu)造一個(gè)新的分?jǐn)?shù)階動(dòng)力學(xué)模型團(tuán)簇：分?jǐn)?shù)階Emden-Fowler動(dòng)力學(xué)模型團(tuán)簇.

對(duì)于Emden-Fowler系統(tǒng)(9),我們構(gòu)造廣義Hamilton函數(shù)(12)和結(jié)構(gòu)矩陣(13),如果在方程(7)中選取

(20)

有

(21)

將方程(12),(13)和(21)代入分?jǐn)?shù)階廣義Hamilton方程(4),那么,我們得到擴(kuò)展的分?jǐn)?shù)階Emden-Fowler動(dòng)力學(xué)模型

(22)

如果在方程(7)中選取

(23)

有

(24)

將方程(12),(13)和(24)代入分?jǐn)?shù)階廣義Hamilton方程(4),那么,我們得到擴(kuò)展的分?jǐn)?shù)階Emden-Fowler動(dòng)力學(xué)模型

(25)

如果在方程(7)中選取

(26)

有

(27)

將方程(12),(13)和(27)代入分?jǐn)?shù)階廣義Hamilton方程(4),那么,我們得到擴(kuò)展的分?jǐn)?shù)階Emden-Fowler動(dòng)力學(xué)模型

(28)

如果在方程(7)中選取

(29)

有

(30)

將方程(12),(13)和(30)代入分?jǐn)?shù)階廣義Hamilton方程(4),那么,我們得到擴(kuò)展的分?jǐn)?shù)階Emden-Fowler動(dòng)力學(xué)模型

(31)

分?jǐn)?shù)階模型(19)與擴(kuò)展的分?jǐn)?shù)階模型(22)、(25)、(28)和(31)等構(gòu)成一個(gè)分?jǐn)?shù)階Emden-Fowler動(dòng)力學(xué)模型團(tuán)簇.

4 討論與結(jié)論

在這篇論文中,基于分?jǐn)?shù)階的廣義Hamilton方法,發(fā)現(xiàn)并構(gòu)造了分?jǐn)?shù)階Emden-Fowler動(dòng)力學(xué)模型,這個(gè)新的模型是一個(gè)分?jǐn)?shù)階的廣義Hamilton系統(tǒng).基于這個(gè)新的模型,人們可以用分析或數(shù)值的方法探索與研究分?jǐn)?shù)階Emden-Fowler系統(tǒng)的內(nèi)在性質(zhì)與動(dòng)力學(xué)行為.例如,文獻(xiàn)[7]證明了分?jǐn)?shù)階廣義Hamilton系統(tǒng)具有相容代數(shù)結(jié)構(gòu)和Lie代數(shù)結(jié)構(gòu),存在Poisson積分,那么分?jǐn)?shù)階Emden-Fowler模型也具有相容代數(shù)結(jié)構(gòu)Lie代數(shù)結(jié)構(gòu),可以用文獻(xiàn)[7]的方法得到它的Poisson積分.又如,文獻(xiàn)[10]證明了利用分?jǐn)?shù)階廣義Hamilton系統(tǒng)的第一積分,可以構(gòu)造系統(tǒng)的積分不變量,那么分?jǐn)?shù)階Emden-Fowler的第一積分與積分不變量也滿足文獻(xiàn)[10]的定理.再如,文獻(xiàn)[15-18]探索了分?jǐn)?shù)階廣義Hamilton系統(tǒng)的對(duì)稱性、共形不變性以及對(duì)稱性攝動(dòng),那么這些文獻(xiàn)中的對(duì)稱性定理、對(duì)稱性攝動(dòng)定理和共形不變性定理,也同樣適用于分?jǐn)?shù)階Emden-Fowler模型的對(duì)稱性問題.再如,文獻(xiàn)[11-13]給出了分?jǐn)?shù)階廣義Hamilton系統(tǒng)的平衡穩(wěn)定性定理、運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性定理和平衡狀態(tài)流形上的穩(wěn)定性定理,這些定理也同樣適用于分?jǐn)?shù)階Emden-Fowler模型的穩(wěn)定性問題.

在這篇論文中,基于分?jǐn)?shù)階和非線性問題不確定性的分?jǐn)?shù)階廣義Hamilton表示,發(fā)現(xiàn)并構(gòu)造了分?jǐn)?shù)階Emden-Fowler動(dòng)力學(xué)模型團(tuán)簇.分?jǐn)?shù)階動(dòng)力學(xué)模型團(tuán)簇的發(fā)現(xiàn),是近年來羅紹凱教授提出并帶領(lǐng)研究生所做的新的具有基本意義的工作[9],其中有諸多值得進(jìn)一步深入探索的問題.例如,分?jǐn)?shù)階動(dòng)力學(xué)模型團(tuán)簇整體共有的內(nèi)在性質(zhì)與動(dòng)力學(xué)行為的研究,這是一個(gè)值得人們從理論上深入探索的重要而且有趣的課題.