張 剛，布 挺，趙 冰，張 速

（1.洛陽(yáng)理工學(xué)院電氣工程與自動(dòng)化學(xué)院，河南 洛陽(yáng) 471000；2.鄭州工程技術(shù)學(xué)院信息工程學(xué)院，河南 鄭州 450044；3.河南省嵌入式技術(shù)應(yīng)用工程技術(shù)研究中心研發(fā)部，河南 洛陽(yáng) 471003；4.華北水利水電大學(xué)信息工程學(xué)院，河南 鄭州 450046）

服務(wù)機(jī)器人相較于工業(yè)機(jī)器人，對(duì)使用的安全性與機(jī)械結(jié)構(gòu)的緊湊性的要求更高。由于服務(wù)機(jī)器人無(wú)法如工業(yè)機(jī)器人提供獨(dú)立的安全保護(hù)區(qū)域，所以機(jī)器人臂長(zhǎng)的限制與末端集成度的要求就顯得尤為重要。為確保機(jī)器人手臂運(yùn)動(dòng)的迅速與準(zhǔn)確，運(yùn)動(dòng)學(xué)問(wèn)題是要解決的核心點(diǎn)。截至目前，學(xué)術(shù)界通過(guò)大量的實(shí)驗(yàn)對(duì)機(jī)械臂的運(yùn)動(dòng)學(xué)進(jìn)行了分析與研究。例如，Qiao 等［1］在逆運(yùn)動(dòng)學(xué)解耦運(yùn)算過(guò)程中使用矩陣的奇異值分解法，針對(duì)高階系統(tǒng)的情況進(jìn)行了優(yōu)化。趙鐵軍等［2］針對(duì)冗余7 自由度機(jī)械臂的工作空間進(jìn)行了研究，對(duì)比了2種典型冗余自由度手臂，闡述了各自的特點(diǎn)。Grudic 等［3］提出了一種數(shù)值迭代方法，通過(guò)構(gòu)建機(jī)械手三元運(yùn)動(dòng)學(xué)方程組，解決了逆運(yùn)動(dòng)學(xué)求解問(wèn)題，限于迭代法的本質(zhì)缺陷，在奇異點(diǎn)附近，雅克比矩陣不可逆或變?yōu)椴B(tài)矩陣的問(wèn)題沒(méi)有得到解決，導(dǎo)致迭代無(wú)法進(jìn)行［4］。Wei［5］提出了一種基于模糊系統(tǒng)對(duì)機(jī)械臂進(jìn)行運(yùn)動(dòng)學(xué)建模的方法，同時(shí)利用仿真實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了理論的正確性。文獻(xiàn)中所闡述的方法，針對(duì)7 自由度冗余機(jī)械臂的效果不理想，無(wú)法穩(wěn)定地提供運(yùn)動(dòng)學(xué)解耦逆解，特別是對(duì)于冗余關(guān)節(jié)的處理，多數(shù)采用記錄該關(guān)節(jié)為特征值的方式，對(duì)于視覺(jué)伺服系統(tǒng)和連續(xù)軌跡跟蹤等使用環(huán)境，無(wú)法從傳感器獲取關(guān)節(jié)的特征值，導(dǎo)致方法的使用范圍被限制在示教的層面。本文提出的三層BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)合解析解法的方式，兼顧了速度與穩(wěn)定性，通過(guò)控制神經(jīng)元數(shù)量的方式避免了大規(guī)模使用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在全局最優(yōu)問(wèn)題處理時(shí)開(kāi)銷(xiāo)過(guò)大，而造成系統(tǒng)的實(shí)時(shí)性負(fù)擔(dān)。

本文將神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)應(yīng)用于6 自由度串聯(lián)機(jī)器人的逆運(yùn)動(dòng)學(xué)，將逆解過(guò)程轉(zhuǎn)化為網(wǎng)絡(luò)權(quán)值的訓(xùn)練；以擬人服務(wù)機(jī)器人為研究對(duì)象建立數(shù)學(xué)模型，采用海量數(shù)據(jù)對(duì)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行訓(xùn)練；提出了一種用于冗余機(jī)器人逆運(yùn)動(dòng)學(xué)計(jì)算的遞歸神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，提出的遞歸神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)基于自反廣義逆問(wèn)題，通過(guò)減少需要求解的矩陣方程數(shù)量和物理實(shí)現(xiàn)的復(fù)雜性，簡(jiǎn)化了偽逆的計(jì)算。該遞歸神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)具有漸近穩(wěn)定性，可用于求解冗余機(jī)械手的逆運(yùn)動(dòng)學(xué)問(wèn)題。最后，用Matlab對(duì)該方法進(jìn)行了分析，結(jié)果表明，利用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)可以快速有效地求解運(yùn)動(dòng)學(xué)逆問(wèn)題。

1 機(jī)械結(jié)構(gòu)分析

圖1 為最新研發(fā)的擬人服務(wù)機(jī)器人樣機(jī)，主要分為2自由度頭部、7自由度的擬人雙臂以及由2個(gè)主動(dòng)輪和3個(gè)從動(dòng)輪構(gòu)成的移動(dòng)底盤(pán)。

圖1 擬人服務(wù)機(jī)器人Fig.1 Humanoid service robot

為平衡機(jī)器人手臂與本體的長(zhǎng)度與重量，使得機(jī)器人工作更加協(xié)調(diào)、穩(wěn)定，機(jī)械臂設(shè)計(jì)方案中采用高集成度末端［6］。如圖2 所示，機(jī)械臂的肩部到肘部為4個(gè)自由度，手腕部有3個(gè)自由度，工具為擬人抓手。

根據(jù)機(jī)器人手臂的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，研究過(guò)程中將手臂拆分為2 部分進(jìn)行建模。本文對(duì)幾何約束下的仿人機(jī)器人手臂進(jìn)行了運(yùn)動(dòng)學(xué)分析，在沒(méi)有方向信息的笛卡爾坐標(biāo)位置變量下，可以解析得到仿人機(jī)器人手臂的所有關(guān)節(jié)值。該方法特別適用于仿人機(jī)器人手臂結(jié)構(gòu)的關(guān)節(jié)控制。將極坐標(biāo)選取在機(jī)器人手臂的根部，考慮到該機(jī)器人左右2 個(gè)手臂的對(duì)稱(chēng)分布特性，僅求解一條手臂即可等效映射于另一臂。

2 擬人臂的運(yùn)動(dòng)學(xué)模型構(gòu)建

本文通過(guò)MDH 方法對(duì)擬人機(jī)械臂進(jìn)行建模［7］。針對(duì)前四軸和腕部三軸的機(jī)構(gòu)分別建立了連桿坐標(biāo)系，其坐標(biāo)系分布如圖3所示。

圖3 連桿坐標(biāo)系分布Fig.3 Linkage coordinate system distribution

腕部機(jī)構(gòu)的根部固接于第四軸末端，兩者運(yùn)動(dòng)學(xué)的合成即為總運(yùn)動(dòng)學(xué)正解。

2.1 機(jī)械臂運(yùn)動(dòng)學(xué)正解

在機(jī)器人學(xué)中，運(yùn)動(dòng)學(xué)正解是建立從各伺服電機(jī)的角度到末端執(zhí)行器的空間位姿映射的過(guò)程［8］。首先利用MDH 方法建立前四軸運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系，在此基礎(chǔ)上通過(guò)變換矩陣的連乘來(lái)建立機(jī)器人末端執(zhí)行器坐標(biāo)系相對(duì)于機(jī)器人基礎(chǔ)坐標(biāo)系的數(shù)學(xué)模型轉(zhuǎn)換關(guān)系，記為坐標(biāo)變換矩陣：

機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)學(xué)建模過(guò)程主要依賴(lài)于式（1）中的矩陣。MDH的參數(shù)如表1所示。

表1 MDH參數(shù)Tab.1 MDH parameters

根據(jù)上述參數(shù)可以得到各個(gè)關(guān)節(jié)之間的變換矩陣為

最后，得到4個(gè)連桿坐標(biāo)變換矩陣的乘積：

式中：

腕部關(guān)節(jié)齊次變換矩陣如下：

由于腕部?jī)H改變姿態(tài)，可得

由式（18）可驗(yàn)證，手臂的大臂與腕部關(guān)于末端位置與姿態(tài)是解耦的，這是本類(lèi)型機(jī)械臂，逆運(yùn)動(dòng)學(xué)求解的最重要理論前提，也是設(shè)計(jì)機(jī)械臂的機(jī)械結(jié)構(gòu)時(shí)主要考慮的因素之一。

2.2 機(jī)械臂運(yùn)動(dòng)學(xué)解耦

機(jī)器人擬人手臂的運(yùn)動(dòng)學(xué)解耦即為逆運(yùn)動(dòng)學(xué)［9］。機(jī)器人逆解過(guò)程中，需首先求解前四軸，依據(jù)前四軸確定末端位置，后三軸僅影響末端姿態(tài)的運(yùn)動(dòng)學(xué)解耦特性，方便對(duì)求解的方程進(jìn)行降維，可有效提高求解過(guò)程的收斂速度，提高求解的穩(wěn)定性［10］。本文提出了一種求解擬人7 自由度機(jī)器人逆運(yùn)動(dòng)學(xué)的新方法，采用MDH 法求解機(jī)器人正運(yùn)動(dòng)學(xué)解。該方法將機(jī)器人的位置與姿態(tài)分離與代數(shù)迭代相結(jié)合，將7 自由度機(jī)器人的逆運(yùn)動(dòng)學(xué)解轉(zhuǎn)化為4 自由度機(jī)器人的位置冗余問(wèn)題。利用Matlab 軟件編程實(shí)現(xiàn)了機(jī)器人關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)的仿真。該方法計(jì)算量較小及實(shí)時(shí)控制及工業(yè)機(jī)器人控制。

2.2.1 求解前四軸

由于運(yùn)動(dòng)學(xué)方程為超越方程且具有較多的自由度，通常采用迭代方法進(jìn)行求解。其中求解方程的全微分時(shí)運(yùn)算開(kāi)銷(xiāo)較大，且難以保證收斂速度，且傳統(tǒng)的牛頓迭代法無(wú)法解決方程數(shù)少于未知數(shù)個(gè)數(shù)的問(wèn)題；若采用解析法，同樣無(wú)法解決上述問(wèn)題，且解析計(jì)算過(guò)程中奇異點(diǎn)附近的逆解無(wú)法計(jì)算，求得部分中間變量為無(wú)窮大，導(dǎo)致機(jī)器人電機(jī)飛車(chē)，加劇機(jī)器人本體的磨損，降低機(jī)器人的壽命［11］。針對(duì)這一關(guān)鍵問(wèn)題，將神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)理論應(yīng)用于機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)理論中，學(xué)習(xí)精度變換。該神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)根據(jù)精確的數(shù)據(jù)訓(xùn)練，這些數(shù)據(jù)描述了實(shí)際機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)學(xué)。該網(wǎng)絡(luò)通過(guò)學(xué)習(xí)關(guān)節(jié)角度的差異，提高了理論計(jì)算的關(guān)節(jié)角度與期望端點(diǎn)之間的精度。神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)可以提高機(jī)器人的定位精度和位置重復(fù)性。神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的應(yīng)用通過(guò)其涌現(xiàn)的泛化、容錯(cuò)和自組織特性，降低了為新機(jī)器人開(kāi)發(fā)控制器所需的計(jì)算能力、校準(zhǔn)時(shí)間、維護(hù)成本和工程時(shí)間。

設(shè)N個(gè)樣本為(Pj，αj)，其中j=1，2，…，N。Pj為網(wǎng)絡(luò)輸入向量，作為第j個(gè)位置樣本，αj作為第j個(gè)電機(jī)轉(zhuǎn)角為網(wǎng)絡(luò)輸出向量?？捎扇缦鹿綄C(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)的非線(xiàn)性映射轉(zhuǎn)換為線(xiàn)性映射：

式中：wi、a1i為隱含層的節(jié)點(diǎn)i與輸入層的權(quán)值和閾值；wk、a2k為輸出層與隱含層間的權(quán)值和閾值。

神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)如圖4所示。

圖4 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)Fig.4 Neural network topology

提出了一種基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的擬人服務(wù)機(jī)器人逆運(yùn)動(dòng)學(xué)求解方法。本文建立了神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)來(lái)表示末端執(zhí)行器在正運(yùn)動(dòng)學(xué)方程中的x、y、z位置。網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)有4 層：輸入層、2 個(gè)隱藏層、輸出層。輸入層和輸出層分別定義為機(jī)械手角度和末端執(zhí)行器位置。然后，網(wǎng)絡(luò)通過(guò)學(xué)習(xí)算法的反向傳播對(duì)權(quán)值進(jìn)行更新，直到達(dá)到網(wǎng)絡(luò)輸出等于期望位置的條件。最后，利用網(wǎng)絡(luò)的最優(yōu)權(quán)值確定逆運(yùn)動(dòng)學(xué)解。利用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)求解冗余機(jī)器人的逆運(yùn)動(dòng)學(xué)問(wèn)題，保證了訓(xùn)練過(guò)程的收斂性。此外，可以通過(guò)增加學(xué)習(xí)率參數(shù)來(lái)提高訓(xùn)練速度。該網(wǎng)絡(luò)使用較低的計(jì)算開(kāi)銷(xiāo)，達(dá)到了較高的有效性，該算法能夠快速、準(zhǔn)確地幫助機(jī)械手移動(dòng)到所需要的位置。

2.2.2 求解腕部三軸

由腕部與手臂姿態(tài)解耦特征，可解得手腕部3個(gè)關(guān)節(jié)。

根據(jù)矩陣方程兩邊對(duì)應(yīng)項(xiàng)相等可得

由于正切函數(shù)的周期性，機(jī)器人關(guān)節(jié)翻轉(zhuǎn)后可得到第二組解為

角度篩選可依據(jù)各關(guān)節(jié)的象限特征進(jìn)行，最終獲得唯一解。以上為擬人手臂的運(yùn)動(dòng)學(xué)逆解。

3 仿真與實(shí)驗(yàn)

根據(jù)機(jī)械臂的連桿與高集成腕部的機(jī)械參數(shù)，通過(guò)Matlab 對(duì)運(yùn)動(dòng)學(xué)解耦算法的有效性進(jìn)行仿真驗(yàn)證。規(guī)劃?rùn)C(jī)器人末端軌跡曲線(xiàn)，針對(duì)曲線(xiàn)上的所有插值點(diǎn)，依次通過(guò)解耦逆解得到全部7 個(gè)關(guān)節(jié)值，進(jìn)而還原機(jī)器人末端的空間位置，以此實(shí)現(xiàn)對(duì)于軌跡的跟蹤，其效果如圖5所示，其中的2條曲線(xiàn)分別為規(guī)劃器生成的軌跡曲線(xiàn)和跟蹤軌跡時(shí)生成的曲線(xiàn)，兩條曲線(xiàn)的重合程度可以表示算法跟蹤空間位姿的準(zhǔn)確性。

圖5 位置跟蹤曲線(xiàn)Fig.5 Position tracking curve

從圖5 中可得，2 條軌跡幾乎重合，證明本算法對(duì)于位置的跟蹤效果較好。經(jīng)過(guò)統(tǒng)計(jì)計(jì)算，2 條曲線(xiàn)上對(duì)應(yīng)的插值點(diǎn)偏差樣本的均值小于0.001 mm，可以滿(mǎn)足服務(wù)機(jī)器人的實(shí)際需要。

通過(guò)樣機(jī)的控制系統(tǒng)總線(xiàn)采集機(jī)器人運(yùn)動(dòng)過(guò)程中7 個(gè)關(guān)節(jié)電機(jī)編碼器數(shù)據(jù)，驗(yàn)證解耦逆解算法的有效性。通過(guò)示教4 條MOVJ 指令，控制總線(xiàn)采集各個(gè)關(guān)節(jié)的編碼器數(shù)值，換算為各電機(jī)角度，如圖6所示。

圖6 機(jī)器人關(guān)節(jié)空間曲線(xiàn)Fig.6 Robot joint space curve

從圖6 可得，各個(gè)關(guān)節(jié)的空間軌跡連續(xù)且平滑，說(shuō)明解耦逆解算法穩(wěn)定在大范圍內(nèi)無(wú)畸變；關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)軌跡的起始和結(jié)束階段均為平段，說(shuō)明所有關(guān)節(jié)的運(yùn)動(dòng)是同步進(jìn)行的，運(yùn)算結(jié)果會(huì)同時(shí)體現(xiàn)在各個(gè)電機(jī)的轉(zhuǎn)角上，也佐證了運(yùn)動(dòng)學(xué)算法的準(zhǔn)確性；曲線(xiàn)的連續(xù)、平滑特性說(shuō)明采集過(guò)程中數(shù)據(jù)更新的實(shí)時(shí)性較好，驗(yàn)證了運(yùn)算開(kāi)銷(xiāo)滿(mǎn)足總控系統(tǒng)的實(shí)時(shí)性要求。

4 結(jié)語(yǔ)

本文以擬人服務(wù)機(jī)器人為依托，利用人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)機(jī)器人手臂的逆運(yùn)動(dòng)學(xué)進(jìn)行逆運(yùn)動(dòng)學(xué)計(jì)算，該方法已被許多研究者采用。然而，傳統(tǒng)的學(xué)習(xí)方法對(duì)具有冗余自由度的關(guān)節(jié)典型機(jī)器人手臂的逆運(yùn)動(dòng)學(xué)系統(tǒng)具有無(wú)數(shù)解，沒(méi)有很好的解決辦法。擬人服務(wù)機(jī)器人手臂的逆運(yùn)動(dòng)學(xué)系統(tǒng)是一個(gè)多值、不連續(xù)的函數(shù)，包括具有腕關(guān)節(jié)的人手臂。本文利用多層神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)難以逼近該函數(shù)，得到正確的末端執(zhí)行器整體位置和方向的逆運(yùn)動(dòng)學(xué)模型。針對(duì)傳統(tǒng)基于解析法逆運(yùn)動(dòng)學(xué)求解器的不足，提出了一種用于逆運(yùn)動(dòng)學(xué)模型學(xué)習(xí)的模塊化神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)。在仿真實(shí)驗(yàn)部分，通過(guò)Matlab 仿真軟件，驗(yàn)證了本算法對(duì)于連續(xù)軌跡的良好跟蹤效果；同時(shí)為保證論證的嚴(yán)謹(jǐn)性，通過(guò)采集機(jī)器人總控系統(tǒng)總線(xiàn)中的驅(qū)動(dòng)器編碼器信息，繪制了多段運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，各個(gè)關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)的位置軌跡曲線(xiàn)，通過(guò)曲線(xiàn)全域連續(xù)且平滑，驗(yàn)證了解耦算法可在極大范圍內(nèi)確保逆運(yùn)動(dòng)學(xué)求解的有效性和穩(wěn)定性；總線(xiàn)采集數(shù)據(jù)無(wú)較長(zhǎng)的水平段，可證明本算法運(yùn)算速度滿(mǎn)足總線(xiàn)傳輸?shù)闹芷?，滿(mǎn)足總控系統(tǒng)的實(shí)時(shí)性要求。本文針對(duì)傳統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)問(wèn)題，引入了神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)來(lái)處理多輸入多輸出的復(fù)雜映射關(guān)系，改善了逆解的收斂速度過(guò)慢以致影響總控系統(tǒng)實(shí)時(shí)性的問(wèn)題。目前，研究尚不夠完備，后續(xù)的研究工作中將針對(duì)該類(lèi)型機(jī)械臂的動(dòng)力學(xué)。