耿召里，李 目，曹淑睿，劉昶忻

(湖南科技大學(xué)信息與電氣工程學(xué)院，湖南 湘潭 411201)

1 引言

優(yōu)化問(wèn)題一直是管理決策、計(jì)算機(jī)科學(xué)等領(lǐng)域研究的熱點(diǎn)之一[1]。隨著人工智能的興起，對(duì)優(yōu)化算法的研究與應(yīng)用更顯得尤為重要。智能優(yōu)化算法是一類(lèi)受自然界生物的社會(huì)行為啟發(fā)而產(chǎn)生的算法，因其易于實(shí)現(xiàn)、結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、效果明顯而受到廣泛關(guān)注。最具代表性的有蟻群優(yōu)化ACO(Ant Colony Optimization)算法[2]、粒子群優(yōu)化PSO(Particle Swarm Optimization )算法[3]、人工蜂群ABC(Artificial Bee Colony)算法[4]、果蠅優(yōu)化算法FOA(Fruit fly Optimization Algorithm)[5]等。2016年Mirjalili等[6]提出一種新型群體優(yōu)化算法-鯨魚(yú)優(yōu)化算法WOA(Whale Optimization Algorithm)。WOA模擬了自然界座頭鯨群體捕食獵物的行為，并將其抽象為搜索、攻擊和包圍3種行為對(duì)目標(biāo)問(wèn)題進(jìn)行尋優(yōu)。WOA相較于粒子群優(yōu)化(PSO)算法[3]、螢火蟲(chóng)算法FA(Firefly Algorithm)[7]等具有原理簡(jiǎn)單、易于實(shí)現(xiàn)、參數(shù)少和尋優(yōu)能力強(qiáng)等優(yōu)點(diǎn)，目前已成功應(yīng)用于滾動(dòng)軸承故障診斷[8]、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練[9]和大規(guī)模優(yōu)化問(wèn)題[10]等領(lǐng)域。然而，由于標(biāo)準(zhǔn)的WOA近年來(lái)剛被提出，在很多方面還存在不足，如調(diào)整算法參數(shù)后仍不能完全模擬鯨魚(yú)搜索過(guò)程[1]，迭代后期群體多樣性較差而導(dǎo)致算法陷入局部最優(yōu)[11]，解決高維復(fù)雜問(wèn)題效果較差[10]等問(wèn)題。針對(duì)這些問(wèn)題，近年來(lái)國(guó)內(nèi)外學(xué)者提出了多種WOA改進(jìn)算法，有效地提高了算法效率。

為了解決鯨魚(yú)算法易陷入局部最優(yōu)和收斂精度低等問(wèn)題，郭振洲等[12]提出了一種基于權(quán)重和柯西變異策略的鯨魚(yú)算法，通過(guò)柯西變異，更新鯨魚(yú)位置，有效地避免了算法陷入局部最優(yōu)。褚鼎立等[13]通過(guò)研究個(gè)體與平均適應(yīng)度之間的關(guān)系，提出了一種自適應(yīng)權(quán)重策略的WOA算法，有效地提高了算法的收斂速度。王堅(jiān)浩等[1]針對(duì)WOA開(kāi)發(fā)和探索能力難以協(xié)調(diào)問(wèn)題，設(shè)計(jì)了收斂因子和慣性權(quán)重的非線(xiàn)性混沌擾動(dòng)協(xié)同更新策略，以平衡全局探索和局部開(kāi)發(fā)能力。文獻(xiàn)[14]針對(duì)鯨魚(yú)優(yōu)化算法全局收斂速度慢、優(yōu)化性能有待提高等問(wèn)題，將混沌理論引入WOA優(yōu)化過(guò)程，用于調(diào)整迭代過(guò)程中鯨魚(yú)優(yōu)化算法的主要參數(shù)。然而，目前研究的鯨魚(yú)優(yōu)化算法求解高維復(fù)雜問(wèn)題文獻(xiàn)并不多，文獻(xiàn)[15]提出一種基于Levey飛行軌跡的工程化WOA,提高了種群的多樣性，增強(qiáng)了算法跳出局部最優(yōu)的能力。文獻(xiàn)[16]提出基于2個(gè)二進(jìn)制變體的WOA，并應(yīng)用于特征分類(lèi)，取得了理想的效果。龍文等[10]采用對(duì)立學(xué)習(xí)策略初始化種群，并采用一種隨機(jī)迭代參數(shù)非線(xiàn)性變化的收斂因子公式，展現(xiàn)了較強(qiáng)的計(jì)算能力。文獻(xiàn)[17]提出了一種混合策略的鯨魚(yú)優(yōu)化算法MS-WOA(Mixed Strategy based improved Whale Optimization Algorithm)，該算法引入非線(xiàn)性調(diào)整因子和自適應(yīng)權(quán)重系數(shù)對(duì)鯨魚(yú)位置進(jìn)行更新，從而提高算法精度。

本文針對(duì)算法在求解高維復(fù)雜問(wèn)題時(shí)存在收斂速度慢、全局開(kāi)發(fā)能力不足等問(wèn)題，首先引入一種自適應(yīng)慣性權(quán)重，用于調(diào)節(jié)尋優(yōu)前期的步長(zhǎng)和尋優(yōu)后期的種群多樣性。其次，提出一種混合反向?qū)W習(xí)策略并嵌入到WOA中，用以提高算法收斂速度。最后引入一種參數(shù)非線(xiàn)性衰減策略，對(duì)WOA的收斂因子進(jìn)行非線(xiàn)性調(diào)優(yōu)，以便平衡算法全局和局部搜索能力。通過(guò)對(duì)10個(gè)函數(shù)的優(yōu)化仿真，結(jié)果表明本文提出的基于混合反向?qū)W習(xí)策略的鯨魚(yú)優(yōu)化算法MWOA(Mixed inverse learning based Whale Optimization Algorithm)在解決高維復(fù)雜優(yōu)化問(wèn)題時(shí)的收斂速度和全局探索能力提升效果顯著。在4個(gè)優(yōu)化問(wèn)題上與CPSO、CODE、EGWO和DIHS算法進(jìn)行比較，結(jié)果表明MWOA具有較優(yōu)的收斂精度。

2 鯨魚(yú)算法

座頭鯨是一種體型巨大的須鯨類(lèi)鯨魚(yú)，不同于其他齒類(lèi)鯨魚(yú)，座頭鯨由于沒(méi)有牙齒，只能靠捕捉體型較小的魚(yú)蝦為食，因而形成了一種特殊的捕食行為，即泡泡網(wǎng)覓食。Mirjalili等[6]將這種行為抽象為包圍獵物、Bubble-net攻擊和獵物搜索3個(gè)階段，通過(guò)計(jì)算機(jī)仿真從而提出了鯨魚(yú)算法(WOA)。

2.1 包圍獵物

在座頭鯨捕獵之初，目標(biāo)個(gè)體在搜索空間中的位置不是先驗(yàn)已知的，但當(dāng)前種群中最佳候選解與獵物之間的距離必定是最近的。因此，WOA假設(shè)當(dāng)前搜索空間中最佳候選解為獵物的位置，或接近于獵物位置，則可根據(jù)當(dāng)前最優(yōu)解的位置更新其他個(gè)體的搜索位置，如式(1)和式(2)所示：

D=|C·Xbest(t)-X(t)|

(1)

X(t+1)=Xbest(t)-A·D

(2)

A=2αrand1-α

(3)

C=2rand2

(4)

其中，rand1和rand2元素值均為[0,1]的隨機(jī)向量，α∈[α,α…,α],α是一個(gè)從2隨t線(xiàn)性下降到0的收斂因子，如式(5)所示:

α=2-2t/T

(5)

其中，t為當(dāng)前迭代次數(shù)，T為最大迭代次數(shù)。

2.2 Bubble-net攻擊

鯨魚(yú)是以螺旋式上升并不斷收縮包圍范圍的方式捕獲獵物的，WOA將這種行為描述為收縮包圍策略和螺旋式上升策略。

(1)收縮包圍策略：通過(guò)減小式(3)中的a值來(lái)實(shí)現(xiàn)，如式(3)所示，A的值域?yàn)閇-a,a],當(dāng)a隨著迭代次數(shù)的增加從2降為0時(shí)，則搜索個(gè)體的新位置可以被定義在個(gè)體原始位置與當(dāng)前最優(yōu)位置的之間的任意值，達(dá)到包圍獵物的目的。

(2)螺旋式上升策略：該方式首先計(jì)算搜索個(gè)體位置與最優(yōu)解之間距離，而后在各個(gè)個(gè)體與最優(yōu)個(gè)體之間建立一個(gè)螺旋公式，如式(6)所示，模擬鯨魚(yú)螺旋上升的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。

X(t+1)=

|Xbest(t)-X(t)|eblcos(2πl(wèi))+Xbest(t)

(6)

其中，b為常數(shù)，決定了對(duì)數(shù)螺旋的形狀，l是[-1,1]的一個(gè)隨機(jī)數(shù)。

鯨魚(yú)的收縮包圍行為和螺旋式上升行為是同步進(jìn)行的，為了模擬這種同步行為，設(shè)鯨魚(yú)進(jìn)行收縮包圍和螺旋上升的可能性均為0.5，則可用式(7)模擬這一行為。

(7)

其中,p為[0,1]的隨機(jī)數(shù)，p≥0.5時(shí)執(zhí)行螺旋上升策略，p<0.5時(shí)，執(zhí)行收縮包圍策略。

2.3 獵物搜索

鯨魚(yú)執(zhí)行搜索策略是基于可變向量A進(jìn)行的，鯨魚(yú)會(huì)根據(jù)彼此的位置進(jìn)行隨機(jī)搜索，當(dāng)|A|>1時(shí)，表明鯨魚(yú)在收縮攻擊圈之外，WOA算法不再選擇最優(yōu)個(gè)體作為參考對(duì)自身進(jìn)行更新，而是執(zhí)行隨機(jī)搜索，隨機(jī)搜索以一個(gè)個(gè)體作為目標(biāo)再進(jìn)行位置更新?？捎檬?8)和式(9)表示這一行為。

D=|C·Xrand(t)-X(t)|

(8)

X(t+1)=Xrand(t)-AD

(9)

其中，Xrand(t)為隨機(jī)選取的目標(biāo)個(gè)體位置。

從上述可知，A對(duì)鯨魚(yú)算法起著極其重要的作用，當(dāng)|A|>1時(shí)，算法進(jìn)行隨機(jī)搜索，尋找更好的最優(yōu)解，當(dāng)|A|≤1時(shí)，種群不再進(jìn)行隨機(jī)搜索，而轉(zhuǎn)向攻擊策略，集中收縮攻擊目標(biāo)獵物，因此A影響著算法的全局搜索和局部開(kāi)發(fā)能力,原始鯨魚(yú)優(yōu)化算法具體執(zhí)行過(guò)程見(jiàn)文獻(xiàn)[6]。

3 基于混合反向?qū)W習(xí)策略的鯨魚(yú)優(yōu)化算法(MWOA)

3.1 WOA存在問(wèn)題與改進(jìn)策略

在實(shí)驗(yàn)中，發(fā)現(xiàn)原始WOA算法在求解高維復(fù)雜問(wèn)題時(shí)存在收斂速度慢、全局搜索能力不足等問(wèn)題，主要表現(xiàn)為算法無(wú)法收斂到收斂域內(nèi)、收斂精度不高，其原因在于在搜索后期，隨著迭代次數(shù)的增加，|A|<1的機(jī)率變大，導(dǎo)致整個(gè)種群都向最優(yōu)解靠近而陷入局部最優(yōu)，導(dǎo)致多樣性降低，全局搜索能力下降。

為了解決上述問(wèn)題，MWOA在WOA的基礎(chǔ)上作了如下改進(jìn)：(1)引入一種新型自適應(yīng)權(quán)重策略，以平衡尋優(yōu)前期的個(gè)體步長(zhǎng)和后期的種群多樣性，提升尋優(yōu)精度；(2)提出一種混合反向?qū)W習(xí)策略，以防止算法陷入局部最優(yōu)，提高算法全局搜索能力；(3)針對(duì)算法后期收斂速度慢等問(wèn)題，引入非線(xiàn)性收斂因子改進(jìn)策略，加快算法的收斂速度。

3.2 慣性權(quán)重自適應(yīng)

慣性權(quán)重對(duì)鯨魚(yú)優(yōu)化算法的收斂速度和尋優(yōu)精度起著至關(guān)重要的作用，合適的慣性權(quán)重對(duì)算法尋優(yōu)探索能力具有極大幫助，本文受文獻(xiàn)[18]的啟發(fā)，引入一種自適應(yīng)策略的慣性權(quán)重，如式(10)所示。

w=d1*(Xbest(t)-X(-1)(t))+

d2*(ub-lb)/t

(10)

其中，Xbest(t)，X(-1)(t)為當(dāng)前種群的最優(yōu)最差個(gè)體位置向量,ub與lb分別為種群的位置的上界和下界。t為種群當(dāng)前迭代次數(shù)。d1和d2為2個(gè)常數(shù)，均取0.000 1。該策略慣性權(quán)重被分為前后2個(gè)部分，后半部分在算法前期遇到陷入局部最優(yōu)的時(shí)候可以起到主導(dǎo)作用，從而使其跳出局部最優(yōu)。隨著當(dāng)前迭代次數(shù)t的增大，后半部分對(duì)權(quán)重ω的影響逐步減弱。因此，在迭代后期若最優(yōu)個(gè)體與最差個(gè)體之間差異較大，則前半部分對(duì)權(quán)重ω起著主導(dǎo)性作用，從而加大步長(zhǎng)，提升種群多樣性。

3.3 混合反向?qū)W習(xí)策略

反向?qū)W習(xí)是2005年由Rahnamayan等[19]提出的，作者認(rèn)為，從當(dāng)前種群中隨機(jī)生成解決方案往往會(huì)導(dǎo)致方案中沒(méi)有較理想的區(qū)域，而反向?qū)W習(xí)策略既考慮了候選解決方案又考慮到了與之相反的解決方案。因此，已有許多研究人員將這種學(xué)習(xí)機(jī)制引入到算法應(yīng)用中，如王振東等[20]應(yīng)用反向?qū)W習(xí)策略初始化天牛算法初始種群，肖子雅等[21]將精英反向?qū)W習(xí)策略融入到黃金正弦鯨魚(yú)優(yōu)化算法中，加快了算法的收斂速度。本文提出一種混合反向?qū)W習(xí)策略，并將其與WOA相結(jié)合。

混合反向?qū)W習(xí)策略同時(shí)考慮了優(yōu)化后期最優(yōu)解與最差解的狀態(tài)，針對(duì)最優(yōu)解而言，為了防止算法陷入局部最優(yōu)，而減弱全局探索能力，對(duì)其進(jìn)行一般反向?qū)W習(xí)操作，以提高其局部探索能力，如式(11)所示：

Xbest(t+1)=lb+(ub-Xbest(t))

(11)

其中，ub與lb分別為鯨魚(yú)位置向量的上界和下界，Xbest(t)為最優(yōu)個(gè)體位置向量。

針對(duì)最差位置的個(gè)體，為了保證算法的全局搜索能力，這里對(duì)其進(jìn)行隨機(jī)反向?qū)W習(xí)操作，如式(12)所示:

X(-1)(t+1)=lb+rand·(ub-X(-1)(t))

(12)

其中X(-1)(t)為最差的個(gè)體向量,rand為與ub同維度的隨機(jī)向量。

混合反向?qū)W習(xí)與精英反向?qū)W習(xí)的區(qū)別有如下幾點(diǎn)：(1)混合反向?qū)W習(xí)與精英反向?qū)W習(xí)的對(duì)象不完全等同，精英反向?qū)W習(xí)的對(duì)象是群體中最優(yōu)的前m個(gè)個(gè)體，而本文中混合反向?qū)W習(xí)的對(duì)象為最優(yōu)個(gè)體和最差個(gè)體。(2)本文中的參數(shù)是選取種群位置的上界和下界，而精英反向?qū)W習(xí)的ub與lb值為前m個(gè)個(gè)體的上界和下界。

3.4 非線(xiàn)性收斂因子改進(jìn)策略

由文獻(xiàn)[6]可知，鯨魚(yú)優(yōu)化算法的探索開(kāi)發(fā)能力主要取決于收斂因子α，當(dāng)α較大時(shí)，算法具有較強(qiáng)的全局搜索能力，當(dāng)α較小時(shí)，算法局部搜索能力增強(qiáng)，因此，為了平衡算法的全局搜索與局部搜索之間的關(guān)系，本文引入文獻(xiàn)[10]中提出的收斂因子非線(xiàn)性改進(jìn)方法，如式(13)所示：

(13)

其中,αinitial和αfinal為α的起始值和終止值，t為當(dāng)前迭代次數(shù)，T為最大迭代次數(shù)，μ為線(xiàn)性權(quán)重因子，此處μ取25[10]。

3.5 MWOA算法步驟

算法1給出了MWOA的執(zhí)行偽代碼，圖1為MWOA的執(zhí)行框圖。

Figure 1 Flowchart of the MWOA algorithm圖1 MWOA 算法流程圖

算法1MWOA算法

Input:population sizeN,maximum iterationT,dimensionD,data upper limitub,data lower limitlb.

Output:best solution vectorX*.

1.Initialize the whales populationsXi(i=1,2,…,N);

2.Calculate the fitness of each whale,X*←the best search whale;

3.While(t

4. UpdateX*by Eq(11) and Eq(12)；

5. Execute mixed reserve learning strategy by Eq(11) and Eq(12);

6.Foreach search whale

7. UpdateA，C，landp;

8. Updateαby Eq(13);

9. Updatewby Eq(10);

10.If(p<0.5)

11.If(|A|≤1)

12. Update the position of the search whale by Eq (2);

13.Elseif(|A|>1)

14. Update the position of the search whale by Eq (9);

15.Endif

16.Elseif(p≥0.5)

17. Update the position of the search whale by Eq (6);

18.Endif

19.Endfor

20. Calculate the fitness of each while;

21. Update the betterX*;

22.Endwhile

23.ReturnX*.

4 數(shù)值實(shí)驗(yàn)及比較

4.1 基準(zhǔn)測(cè)試函數(shù)和評(píng)價(jià)指標(biāo)

為了驗(yàn)證MWOA算法的性能，本文選取文獻(xiàn)[10]中的f1、f2、f3、f5和文獻(xiàn)[1]中的f5～f10作為本次數(shù)值測(cè)試的F1～F10。針對(duì)本文的研究目標(biāo)，選取了3個(gè)評(píng)價(jià)指標(biāo)對(duì)算法進(jìn)行評(píng)價(jià)：

第1個(gè)為精度AC(Accuracy)，如式(14)所示，用以評(píng)價(jià)所求解與全局最優(yōu)解之間的差距。

AC=|F(Pbest)-F(Xopt)|

(14)

其中，Pbest為尋優(yōu)迭代后的所求解，Xopt為全局最優(yōu)解,F()為優(yōu)化問(wèn)題的抽象函數(shù)模型。

第2個(gè)評(píng)價(jià)指標(biāo)為標(biāo)準(zhǔn)差(STD)，如式(15)所示，標(biāo)準(zhǔn)差主要是用于評(píng)價(jià)算法的魯棒性能，衡量算法的穩(wěn)定性。

(15)

其中，Z為總的實(shí)驗(yàn)次數(shù)，xi為第i次的實(shí)驗(yàn)結(jié)果，υ為Z次實(shí)驗(yàn)結(jié)果的平均值，STD為Z次實(shí)驗(yàn)結(jié)果的標(biāo)準(zhǔn)差。

第3個(gè)評(píng)價(jià)指標(biāo)為搜索成功率SR(Success Rate)，如式(16)所示:

(16)

其中，Z為實(shí)驗(yàn)的總次數(shù)，Z′為搜索成功收斂到指定收斂精度內(nèi)的次數(shù)。

4.2 在基準(zhǔn)函數(shù)上的算法性能分析

采用MWOA算法對(duì)上述10個(gè)函數(shù)進(jìn)行求解，函數(shù)的維度分別設(shè)置為200維，500維和1 000維，并與WOA、MS-WOA[17]和IWOA[10]進(jìn)行比較。針對(duì)上述算法，均采用最大迭代次數(shù)T=500,種群規(guī)模N=30。為了排除算法偶然性，對(duì)上述算法均獨(dú)立運(yùn)行30次后選取平均精度、成功率和平均精度標(biāo)準(zhǔn)差對(duì)算法性能進(jìn)行分析，迭代結(jié)果如表1所示，表中加粗部分表示該算法在對(duì)應(yīng)函數(shù)和維度上得到的性能指標(biāo)的最優(yōu)值。

Table 1 Comparison of optimization performance of four algorithms on different functions and dimensions

從表1中可以看出，除了維度為500時(shí)，在函數(shù)F6和F8上MS-WOA的平均尋優(yōu)精度略高于MWOA和其他算法的，在其他維度上，MWOA不論是尋優(yōu)精度還是尋優(yōu)成功率均優(yōu)于其他算法。在函數(shù)F4和F10上，MWOA的尋優(yōu)精度遠(yuǎn)高于其他算法的，尋優(yōu)成功率則略?xún)?yōu)于對(duì)比算法。在函數(shù)F2和F8上，盡管各算法的尋優(yōu)成功率均為100%，但是，MWOA的尋優(yōu)精度明顯高于其他算法的。而在F1、F5、F7和F9上，各個(gè)算法的尋優(yōu)精度和成功率均相同。為了觀察算法在各個(gè)函數(shù)上的尋優(yōu)迭代情況，圖2給出了維度為500時(shí)各算法在10個(gè)函數(shù)上的迭代情況。從圖2中可以看出，在函數(shù)F1、F5、F7和F9上，盡管各函數(shù)均能夠收斂到全局最優(yōu)，MWOA的收斂速度卻明顯快于其他算法的。

Figure 2 Iterative of four algorithms on each function when dimension is 500圖2 維度為500時(shí)4種算法在各函數(shù)上的迭代情況

4.3 3種改進(jìn)策略的改善性能分析

本文針對(duì)WOA引入了3種策略，即(1) 自適應(yīng)慣性權(quán)重;(2)混合反向?qū)W習(xí)策略;(3)非線(xiàn)性收斂因子改進(jìn)策略。為了研究3種策略對(duì)WOA迭代效果的影響，對(duì)選取的10個(gè)優(yōu)化函數(shù)進(jìn)行優(yōu)化求解。將MWOA與只采用自適應(yīng)慣性權(quán)重的WOA(記作WOA-1)、只采用混合反向?qū)W習(xí)策略的WOA(記作WOA-2)和只采用非線(xiàn)性收斂因子的WOA(WOA-3)進(jìn)行比較，4種算法的參數(shù)設(shè)置同4.2節(jié)，表2所示為4種算法在函數(shù)維度為500時(shí)的尋優(yōu)性能比較。

從表2可知，3種改進(jìn)策略對(duì)算法的精度均有提高作用，但WOA-2對(duì)精度的提升作用略差，WOA-1和WOA-3二者對(duì)精度提升的作用不相上下。

Table 2 Comparison of performance of four algorithms when dimension is 500

4.4 與其他優(yōu)化算法的比較分析

為了進(jìn)一步論證算法的有效性和可行性，用本文算法對(duì)文獻(xiàn)[10]中的f2、f5、f9、f124個(gè)復(fù)合函數(shù)進(jìn)行求解，并與混沌粒子群優(yōu)化CPSO(Chaos Particle Swarm Optimization)算法[22]、組合差分進(jìn)化CODE(COmbined Differential Evolution)算法[23]、改進(jìn)灰狼優(yōu)化EGWO(Extended Grey Wolf Optimizer)算法[24]、動(dòng)態(tài)調(diào)整維數(shù)的和聲搜索DIHS(Dynamic-dimensionality-reduction-adjustment and dynamic fret width strategy based Improved Harmony Search)算法[25]4種算法進(jìn)行比較，為了保證公平性，3種算法種群大小均設(shè)置為30，迭代次數(shù)為500次。CPSO算法其他參數(shù)相關(guān)參數(shù)參照文獻(xiàn)[22]設(shè)置，CODE其他參數(shù)設(shè)置同文獻(xiàn)[23]，EGWO算法其他參數(shù)參照文獻(xiàn)[24]設(shè)置，DIHS算法的其他參數(shù)參照文獻(xiàn)[25]進(jìn)行設(shè)置，實(shí)驗(yàn)結(jié)果如表3所示。從表3中可以看出，針對(duì)函數(shù)f9，CODE、CPSO、EGWO、DIHS和MWOA均有比較好的效果，但MWOA效果明顯優(yōu)于其他對(duì)比算法的；在f2和f52個(gè)函數(shù)上，相較于CODE、CPSO、EGWO和DIHS，MWOA的求解精度略高。在函數(shù)f12上，DIHS獲得了最優(yōu)的求解精度，MWOA的精度則略低于DIHS的，高于CPSO、CODE和EGWO的。因此，從總體上看，相較于其他幾類(lèi)優(yōu)化算法，MWOA仍然具有明顯的優(yōu)勢(shì)，具有較好的收斂精度和精度均方誤差。

Table 3 Comparison of optimization effects of five algorithms

5 結(jié)束語(yǔ)

鯨魚(yú)優(yōu)化算法WOA是近年提出的一種啟發(fā)式算法。針對(duì)鯨魚(yú)優(yōu)化算法在求解高維復(fù)雜問(wèn)題時(shí)存在的不足，本文提出一種基于混合反向?qū)W習(xí)策略的鯨魚(yú)優(yōu)化算法MWOA，得出以下結(jié)論：

(1)針對(duì)收斂精度問(wèn)題，選取10個(gè)基準(zhǔn)函數(shù)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，分別在維度為200,500,1 000時(shí)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，結(jié)果表明，相較于MS-WOA與IWOA，MWOA具有較高的收斂精度和尋優(yōu)成功率。

(2)針對(duì)收斂速度問(wèn)題，在選取的10個(gè)優(yōu)化函數(shù)上進(jìn)行仿真，結(jié)果表明，MWOA的收斂速度要優(yōu)于WOA、IWOA和MS-WOA的。

(3)為了驗(yàn)證MWOA有效性，在4個(gè)基準(zhǔn)函數(shù)上，分別與CODE、CPSO、EGWO和DIHS算法進(jìn)行比較，得出本文提出的MWOA具有較好的收斂精度。

(4)MWOA算法在求解較復(fù)雜高維函數(shù)時(shí)具有較好的效果，但是，對(duì)于求解特別復(fù)雜的復(fù)合函數(shù)，結(jié)果仍然不理想。下一步的工作重點(diǎn)是研究如何提高M(jìn)WOA求解特別復(fù)雜的復(fù)合函數(shù)的精度。