翟步祥

（南京科技職業(yè)學(xué)院 圖書館、檔案館，南京 210048）

數(shù)學(xué)建模是將現(xiàn)實(shí)生活中的實(shí)際問題抽象概括，轉(zhuǎn)化為與之相對應(yīng)的數(shù)學(xué)問題并加以解決的實(shí)踐過程，是理論應(yīng)用于實(shí)際、知識轉(zhuǎn)化為價值的重要體現(xiàn)。自1992年首屆大學(xué)生數(shù)學(xué)模型聯(lián)賽成功舉辦以來，全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽的參賽規(guī)模不斷擴(kuò)大[1]。與此同時，數(shù)學(xué)建模思想理念的普及與滲透也極大改變了高校數(shù)學(xué)教育教學(xué)重理論、輕應(yīng)用的傳統(tǒng)。高職院校的辦學(xué)定位是為地方經(jīng)濟(jì)產(chǎn)業(yè)培養(yǎng)技術(shù)技能型人才，而數(shù)學(xué)建模是運(yùn)用所學(xué)數(shù)學(xué)知識理解和掌握現(xiàn)代專業(yè)技術(shù)的重要手段和途徑，其重要性不言而喻，在教育部頒布的課程標(biāo)準(zhǔn)中也被列為六大核心素養(yǎng)之一。然而，高職學(xué)生數(shù)學(xué)基礎(chǔ)相對薄弱，且因數(shù)學(xué)的抽象復(fù)雜和艱深晦澀而對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)普遍缺乏興趣，甚至有所畏懼。在這樣的學(xué)情背景下，探索適合高職學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、運(yùn)用數(shù)學(xué)的建模教學(xué)模式，應(yīng)成為高職數(shù)學(xué)教學(xué)改革的重要課題。

1 高職數(shù)學(xué)建模教學(xué)的目標(biāo)定位

在全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽的引領(lǐng)下，高職院校開展數(shù)學(xué)建模普及性教學(xué)，有助于激發(fā)高職學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的積極性，培育主動運(yùn)用數(shù)學(xué)知識思考并運(yùn)用計算機(jī)軟件處理專業(yè)實(shí)際問題的意識，促進(jìn)大膽假設(shè)、嚴(yán)密論證的創(chuàng)新思維萌芽。

1.1 激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識的積極性

高職學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的動力普遍不足，加上數(shù)學(xué)在現(xiàn)代科技中的應(yīng)用多位于底層，其重要作用難以直觀呈現(xiàn)，加深了學(xué)生 “數(shù)學(xué)無用” 的錯誤認(rèn)知。高職數(shù)學(xué)課程設(shè)置的目的是為后續(xù)各專業(yè)課學(xué)習(xí)提供必需的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，專業(yè)課中大量的數(shù)量關(guān)系及其建立、分析、計算、求解和檢驗的案例，都是數(shù)學(xué)建模素材。高職數(shù)學(xué)建模教學(xué)應(yīng)取材于這些案例，根據(jù)高職學(xué)生所能掌握的數(shù)學(xué)知識，針對他們所能理解的實(shí)際問題，讓他們運(yùn)用所知曉的專業(yè)知識，在教師的引導(dǎo)下進(jìn)行分析假設(shè)、歸納提煉，再以數(shù)學(xué)的語言（公式、方程等）揭示問題的內(nèi)在特征和規(guī)律，進(jìn)而通過數(shù)學(xué)演繹推理和分析求解，找出解決問題的一般或近似方法并加以推廣。有意識地將專業(yè)案例與各個數(shù)學(xué)知識點(diǎn)的教學(xué)相結(jié)合，在高職數(shù)學(xué)課程中植入數(shù)學(xué)建模教學(xué)，其目的是使學(xué)生在不太困難的數(shù)學(xué)知識學(xué)習(xí)中感悟運(yùn)用數(shù)學(xué)解決實(shí)際問題的基本原理、思路和方法，體驗數(shù)學(xué)在他們所學(xué)專業(yè)中無可替代的作用，逐步消除 “數(shù)學(xué)無用” 的誤解，潛移默化地萌發(fā)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。

1.2 培養(yǎng)學(xué)生解決專業(yè)實(shí)際問題時的量化意識

就數(shù)學(xué)講數(shù)學(xué)，不符合高職數(shù)學(xué)作為基礎(chǔ)課的目標(biāo)定位。高職數(shù)學(xué)建模教學(xué)要引導(dǎo)高職學(xué)生針對專業(yè)問題，建立主動的量化意識，捕捉問題的特征，尋找數(shù)學(xué)中的對應(yīng)點(diǎn)，運(yùn)用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識加以解決。這樣的教學(xué)活動不僅有助于高職學(xué)生的數(shù)學(xué)與專業(yè)學(xué)習(xí)，還能培養(yǎng)他們運(yùn)用演繹推理思維和科學(xué)方法分析解決專業(yè)實(shí)際問題的意識，改變傳統(tǒng)的僅憑過往經(jīng)驗的簡單模仿、粗糙估計模式，培育他們以數(shù)學(xué)模型為基礎(chǔ)的算法先導(dǎo)、優(yōu)化選擇、精準(zhǔn)分析的現(xiàn)代科學(xué)思維萌芽?？梢哉f，生產(chǎn)設(shè)計各個環(huán)節(jié)的復(fù)雜化、精細(xì)化是現(xiàn)代制造業(yè) “現(xiàn)代化” 的主要體現(xiàn)，其本質(zhì)是 “數(shù)學(xué)化” 。例如，改進(jìn)一個具有曲面形狀的設(shè)備零件，僅憑諸如 “放大樣” 等的簡單縮放經(jīng)驗方法來設(shè)計曲面無法滿足先進(jìn)設(shè)備的精度要求，還須考慮材料各種成分的配比對運(yùn)行環(huán)境變化的適應(yīng)度，材料壽命、成本及供給狀況等多重因素，而建立數(shù)學(xué)模型并加以優(yōu)化求解則是解決這類綜合性問題的唯一途徑。因此，開展高職數(shù)學(xué)建模教學(xué)要引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合所學(xué)專業(yè)建立主動的量化意識，這是產(chǎn)業(yè)轉(zhuǎn)型升級背景下勝任一線工作所需的知識儲備與素質(zhì)培養(yǎng)。

1.3 提升學(xué)生數(shù)學(xué)軟件應(yīng)用能力與創(chuàng)新意識

哈佛大學(xué)加里·金教授說： “這是一場革命，龐大的數(shù)據(jù)資源使得各個領(lǐng)域開始了量化進(jìn)程”[2]。利用相關(guān)算法分析處理數(shù)據(jù)已成為信息時代技術(shù)與創(chuàng)新的主要特征。近十年，數(shù)學(xué)應(yīng)用重心向數(shù)據(jù)分析與計算轉(zhuǎn)移，全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽賽題都選擇較大規(guī)模的數(shù)據(jù)建模問題，高職組賽題也不例外。數(shù)學(xué)建模的每個環(huán)節(jié)，諸如數(shù)據(jù)的篩選、規(guī)律的探尋、模型的建立與求解、結(jié)論的檢驗與修正，都離不開計算機(jī)軟件的應(yīng)用。因此，數(shù)據(jù)分析原理、算法思維及數(shù)學(xué)軟件應(yīng)用都應(yīng)納入高職數(shù)學(xué)建模教學(xué)，以使高職學(xué)生在數(shù)學(xué)知識學(xué)習(xí)與專業(yè)案例求解的同時，掌握數(shù)據(jù)處理分析的基本原理，受到軟件操作等先進(jìn)科技環(huán)境的熏陶，實(shí)現(xiàn)考察事物視野的拓寬、分析問題維度的增加。

針對問題做出假設(shè)、根據(jù)規(guī)律建立模型、運(yùn)用數(shù)學(xué)尋求解答、回歸問題檢驗結(jié)論，數(shù)學(xué)建模的這一基本路徑，映射著 “大膽假設(shè)、小心求證” 的創(chuàng)新思維模式。合理的假設(shè)可訓(xùn)練高職學(xué)生區(qū)分主次影響因素、聚焦關(guān)鍵要點(diǎn)的敏銳力；合適的建?？商岣咚麄冊趯I(yè)問題中找出對應(yīng)數(shù)學(xué)原理的觀察力；準(zhǔn)確的求解能提升他們數(shù)學(xué)運(yùn)算和軟件應(yīng)用的操作能力；結(jié)論的檢驗?zāi)軓?qiáng)化他們理論服務(wù)實(shí)際的需求導(dǎo)向意識。此外，建模的結(jié)論通常不可能一次性就通過檢驗，需要多輪修改才能逼近真實(shí)，這樣的操作能培養(yǎng)高職學(xué)生鍥而不舍、精益求精的科學(xué)精神。綜上，數(shù)學(xué)建模的各個環(huán)節(jié)構(gòu)成了創(chuàng)新能力的基本要素鏈，盡管高職院校的數(shù)學(xué)建模教學(xué)涉及的數(shù)學(xué)知識并不高深，涉及的專業(yè)問題也不尖端，但在綜合培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新意識和創(chuàng)新能力方面可發(fā)揮引導(dǎo)作用。

2 高職數(shù)學(xué)建模 “賽、教、做” 一體教學(xué)模式的構(gòu)建

為更好實(shí)現(xiàn)高職數(shù)學(xué)建模教學(xué)目標(biāo)，應(yīng)重構(gòu)高職數(shù)學(xué)教學(xué)模式。全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽是我國高校數(shù)學(xué)應(yīng)用方面的最高賽事，每年一屆，其賽題都來自科技最新進(jìn)展和社會熱點(diǎn)問題，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)應(yīng)用發(fā)展的總體趨勢，也為高職院校開展數(shù)學(xué)建模教學(xué)提供了新的視角和題材。基于以大賽為引領(lǐng)，以獲獎為動力，進(jìn)而全面推動建模思想融入常規(guī)教學(xué)，最終惠及全體高職學(xué)生的思路，可構(gòu)建以大賽培訓(xùn)獲獎為驅(qū)動，教師主導(dǎo)推進(jìn)建模思想融入教學(xué)，促進(jìn)學(xué)生參與建模實(shí)踐的 “賽、教、做” 一體教學(xué)模式。

2.1 大賽為先，加強(qiáng)培訓(xùn)

選拔和培訓(xùn)優(yōu)秀參賽選手是開展高職數(shù)學(xué)建模教學(xué)的重點(diǎn)突破口。從新生入學(xué)到參賽大約一年，時間跨度較大，培訓(xùn)一般安排在課余和節(jié)假日，可采取線下線上相結(jié)合的方式。大賽培訓(xùn)可按基本操作技能、建模方法、案例分析、論文寫作格式及綜合模擬訓(xùn)練五個模塊分成五個階段，培訓(xùn)內(nèi)容主要包括回歸分析、線性規(guī)劃、數(shù)據(jù)擬合等常用模型的建立及數(shù)學(xué)軟件的基本操作等。教師可按專業(yè)應(yīng)用的數(shù)學(xué)知識點(diǎn)、往屆競賽賽題、獲獎?wù)撐脑u講及數(shù)學(xué)軟件的使用與編程等主題開設(shè)講座，定期給參訓(xùn)學(xué)員布置任務(wù)、安排輔導(dǎo)、及時檢查。

為提升競賽培訓(xùn)效果，一應(yīng)盡早宣傳發(fā)動。絕大多數(shù)高職院校新生對數(shù)學(xué)建模完全陌生，因此，在入學(xué)初就要進(jìn)行大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽宗旨與規(guī)則的解讀，激發(fā)其好奇心與榮譽(yù)感，令其產(chǎn)生主動參加數(shù)學(xué)建模的社團(tuán)或興趣小組活動的意愿，同時也能促使其在今后的數(shù)學(xué)課程學(xué)習(xí)中關(guān)注與建模相關(guān)的內(nèi)容，以培養(yǎng)更多潛在參賽選手。

二應(yīng)盡早選人組隊。在培訓(xùn)過程中要通過測試考核盡早發(fā)現(xiàn)有較好數(shù)學(xué)天分與基礎(chǔ)、對建模有較強(qiáng)領(lǐng)悟力、專業(yè)知識面較寬且對數(shù)據(jù)分析和數(shù)學(xué)軟件較為熟悉的苗子，按照各自的優(yōu)勢予以分工，組成合作團(tuán)隊。組隊后按分工進(jìn)行有側(cè)重的指導(dǎo)，并適當(dāng)安排促進(jìn)相互配合的默契性訓(xùn)練。通過校內(nèi)競賽、培訓(xùn)考核等選拔機(jī)制遴選最終的參賽選手，并且組織沖刺階段強(qiáng)化訓(xùn)練，尤其要針對高職學(xué)生相對薄弱的計算機(jī)數(shù)學(xué)軟件使用操作、建模論文寫作等環(huán)節(jié)予以強(qiáng)化。

三應(yīng)盡力爭取支持。大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽是我國高等教育規(guī)模最大的課外科技活動賽事，參賽獲獎不僅是優(yōu)秀選手與學(xué)校的榮譽(yù)，也是學(xué)校整體實(shí)力與教學(xué)改革成果的展現(xiàn)，更是廣大高職學(xué)生轉(zhuǎn)變 “數(shù)學(xué)無用” 認(rèn)知、激發(fā)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)動力的重要途徑。因此，要盡力爭取學(xué)校層面對競賽的宣傳及選手的選拔、培訓(xùn)、競賽等的政策、物資和經(jīng)費(fèi)支持。

2.2 教師主導(dǎo)，全面改革

高職數(shù)學(xué)建模教學(xué)是在高職層面以數(shù)學(xué)理論知識為基礎(chǔ)，運(yùn)用專業(yè)原理分析和解決相關(guān)實(shí)際問題的一項含有實(shí)踐成分的綜合性教學(xué)改革活動。由于其基礎(chǔ)性、專業(yè)性和實(shí)踐性的疊加屬性，以及數(shù)學(xué)本身固有的抽象性和高職學(xué)生較為薄弱的基礎(chǔ)，無論是競賽輔導(dǎo)，還是日常教學(xué)，教師都必須發(fā)揮主導(dǎo)作用。

為此，高職院校要以內(nèi)培外引、專兼結(jié)合的方式，打造一支優(yōu)秀的數(shù)學(xué)建模教師團(tuán)隊。一方面，要創(chuàng)造條件，多派教師 “走出去” 參加各種培訓(xùn)學(xué)習(xí)與交流，如全國性的數(shù)學(xué)建模教師培訓(xùn)、研討、集訓(xùn)班、夏令營等。另一方面，可邀請在建模領(lǐng)域有所建樹的專家學(xué)者 “走進(jìn)來” 做報告，交流數(shù)學(xué)建模的理論動態(tài)，介紹數(shù)學(xué)應(yīng)用的新趨勢、新動態(tài)、新成果；組織在高職建模教學(xué)實(shí)踐方面取得優(yōu)異成績的教師交流體會、分享經(jīng)驗，使師生增長知識、拓寬視野[3]。值得重視的是，由于建模問題具有跨專業(yè)、綜合性強(qiáng)的特點(diǎn)，數(shù)學(xué)教師要主動學(xué)習(xí)一定的專業(yè)技術(shù)概念、理論和原理，了解后續(xù)專業(yè)課可能用到的數(shù)學(xué)知識和方法[4]；還可邀請相關(guān)專業(yè)教師加盟團(tuán)隊，兼職參與課程開發(fā)，以解決數(shù)學(xué)教師因?qū)I(yè)背景缺乏導(dǎo)致理解不深、把握不準(zhǔn)的問題，力求做到知識結(jié)構(gòu)的優(yōu)勢互補(bǔ)。

高職數(shù)學(xué)教師在具體教學(xué)時要融入數(shù)學(xué)建模思想和方法，推進(jìn)高職數(shù)學(xué)教學(xué)改革。一是在 “保證基礎(chǔ)、專業(yè)夠用” 的基礎(chǔ)上，通過教材的修訂、教學(xué)計劃的調(diào)整、教學(xué)資源的建設(shè)等渠道，全面優(yōu)化教學(xué)內(nèi)容。比如，在以一元函數(shù)微積分為主要內(nèi)容的公共基礎(chǔ)模塊適量增設(shè)與專業(yè)問題、生活實(shí)際緊密相關(guān)的應(yīng)用案例教學(xué)，在重視數(shù)學(xué)知識積累的同時，凸顯函數(shù)、極限、導(dǎo)數(shù)、積分等數(shù)學(xué)概念與變化規(guī)律，逐步逼近、變化快慢、非均勻積累等模型之間的對應(yīng)關(guān)系，強(qiáng)化數(shù)學(xué)應(yīng)用實(shí)踐能力的培養(yǎng)。又如，在以線性代數(shù)、概率統(tǒng)計為主要內(nèi)容的專業(yè)應(yīng)用模塊，要深入專業(yè)調(diào)研，收集對應(yīng)各個數(shù)學(xué)知識點(diǎn)的專業(yè)應(yīng)用案例，有機(jī)融入教學(xué)環(huán)節(jié)，逐步形成以分析、解決專業(yè)問題為主線的案例化教學(xué)模式。

二是開展理實(shí)一體化教學(xué)，提高學(xué)生數(shù)學(xué)建模應(yīng)用能力。例如，開設(shè)數(shù)學(xué)實(shí)驗，培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用計算機(jī)軟件進(jìn)行常規(guī)數(shù)學(xué)計算的能力，如導(dǎo)數(shù)、積分計算，微分方程求解，以及簡單的統(tǒng)計、優(yōu)化算法設(shè)計等。在條件許可的情況下，可按數(shù)學(xué)知識點(diǎn)的邏輯鏈，植入相應(yīng)專業(yè)常見模型的綜合性案例，實(shí)施任務(wù)教學(xué)，讓學(xué)生在與自己所學(xué)專業(yè)相關(guān)的任務(wù)探究中獲得基本的數(shù)學(xué)建模思想和方法，提高在專業(yè)中應(yīng)用數(shù)學(xué)知識的能力。

三是開設(shè)數(shù)學(xué)建模選修課，拓寬數(shù)學(xué)建模普及的渠道[5]。由于建模競賽及其培訓(xùn)主要面向少數(shù)優(yōu)秀學(xué)生，數(shù)學(xué)必修課以傳授數(shù)學(xué)知識為主，所以，作為補(bǔ)充和拓展，數(shù)學(xué)建模選修課的開設(shè)是普及建模知識、滿足更多學(xué)生需求的主渠道。選修課的教學(xué)模式可參照競賽培訓(xùn)，考慮不同專業(yè)學(xué)生對數(shù)學(xué)建模的需求有所不同，可按專業(yè)組隊。教學(xué)以學(xué)生為主體、以專業(yè)為主題，隊內(nèi)討論與教師指導(dǎo)相結(jié)合，合作分工、獲得解答、形成方案、共享成果，既能加深對數(shù)學(xué)建模和專業(yè)知識的理解，又能增強(qiáng)理論應(yīng)用于專業(yè)實(shí)踐的能力，還能培養(yǎng)團(tuán)隊協(xié)作精神。

2.3 重在 “做” 字，應(yīng)用為本

數(shù)學(xué)建模是數(shù)學(xué)知識向?qū)I(yè)應(yīng)用過渡的橋梁，是理論向?qū)嵺`的一種 “軟著陸” 。為盡早糾正高職學(xué)生 “數(shù)學(xué)只是純理論” “數(shù)學(xué)無用” 的偏見，數(shù)學(xué)建模教學(xué)的實(shí)踐活動應(yīng)與高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)進(jìn)程同步，讓建模的實(shí)踐、數(shù)學(xué)的應(yīng)用貫穿高職數(shù)學(xué)教學(xué)的始終，讓數(shù)學(xué)建模的思想方法在學(xué)生心中扎根。

一是案例選擇應(yīng)循序漸進(jìn)，從一般到專業(yè)。在起步階段，學(xué)生專業(yè)知識與技能掌握較少，可選擇一些常識性、通用性的案例，如最優(yōu)化問題可選擇幾何體容器尺寸的設(shè)計、求光線的路徑、最大收益與最小風(fēng)險等。在學(xué)生掌握一定專業(yè)知識后，可根據(jù)授課班級所在專業(yè)選擇對應(yīng)的專業(yè)案例，按數(shù)學(xué)知識點(diǎn)邏輯鏈安排實(shí)踐任務(wù)。

二是任務(wù)落實(shí)可延伸到課后，有布置有考核?？砂凑战虒W(xué)進(jìn)度布置課后討論等實(shí)踐任務(wù)，一般組員為同班級或同專業(yè)，且盡量以宿舍為單位進(jìn)行分組。定期組織建模討論匯報，按組提交解決方案，教師進(jìn)行針對性點(diǎn)評、講解。盡量創(chuàng)造實(shí)訓(xùn)條件，每學(xué)期至少安排兩次學(xué)生上機(jī)操作任務(wù)。為確保課外實(shí)踐活動的落實(shí)，包括討論與匯報情況在內(nèi)的建模實(shí)踐成果需評定成績，納入期末考核。

三是興趣活動應(yīng)提升難度，選人才促發(fā)展。應(yīng)加強(qiáng)對建模社團(tuán)、興趣小組建模實(shí)踐活動的指導(dǎo)和管理，在常規(guī)教學(xué)的基礎(chǔ)上提升模型的理論層次、拓展模型的應(yīng)用范圍，如教授難度較高的微分方程法、插值與擬合法、線性規(guī)劃法、層次分析法、計算機(jī)高級語言編程等。還應(yīng)積極創(chuàng)造條件，為這些對數(shù)學(xué)建模充滿興趣的優(yōu)秀學(xué)生提供更多更好的學(xué)習(xí)資源，使他們將興趣轉(zhuǎn)化為優(yōu)勢，近期看有利于取得更好的競賽成績，遠(yuǎn)期看有利于實(shí)現(xiàn)更好的專業(yè)發(fā)展。

3 結(jié) 語

在大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽推動下，數(shù)學(xué)建模思想方法融入高職數(shù)學(xué)教學(xué)，是高職公共數(shù)學(xué)課更好地服務(wù)專業(yè)、對接產(chǎn)業(yè)的具體體現(xiàn)。首先，大賽的影響力、獲獎的榮譽(yù)感，是帶動高職數(shù)學(xué)建模教學(xué)改革的強(qiáng)大動力，因此，以大賽為引領(lǐng)，優(yōu)先做好優(yōu)秀學(xué)生的參賽培訓(xùn)工作，能激勵更多高職學(xué)生關(guān)注、學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)建模。同時，培訓(xùn)的方法、模式可成為常規(guī)教學(xué)改革的樣板和參考，達(dá)到以線帶面的效果。其次，無論是競賽培訓(xùn)、建模普及活動、建模思想融入的課程改革，還是選修課的開設(shè)都離不開教師的主導(dǎo)作用，因此，高職數(shù)學(xué)教師更多地關(guān)注專業(yè)需求，了解數(shù)學(xué)應(yīng)用的新動向，不斷探索數(shù)學(xué)建模教學(xué)新路，是高職數(shù)學(xué)建模教學(xué)富有成效的基本保障。最后，要結(jié)合學(xué)生的專業(yè)，持續(xù)開展數(shù)學(xué)建模的實(shí)踐活動，讓學(xué)生在 “做中學(xué)” “學(xué)中做” ，掌握數(shù)學(xué)建模的思想方法，使創(chuàng)新能力在潛移默化中生成。實(shí)踐證明，高職數(shù)學(xué)建模 “賽、教、做” 一體的教學(xué)模式是可行的、富有成效的。