王學(xué)先 林銀

2021年云南省初中數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)水平考試試題延續(xù)了往年的風(fēng)格，緊扣立德樹(shù)人的教育理念.試題整體上穩(wěn)中有變、變中有新，體現(xiàn)知識(shí)立意、能力立意和過(guò)程性立意，滲透數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，突出“四基”，注重?cái)?shù)學(xué)計(jì)算，突出學(xué)科思維，讓學(xué)生經(jīng)歷獲取知識(shí)和應(yīng)用知識(shí)的全過(guò)程，促進(jìn)學(xué)生全面發(fā)展.試題背景與實(shí)際生活聯(lián)系緊密，凸顯建黨100周年主題，富有時(shí)代氣息，滲透課程思政理念，培養(yǎng)學(xué)生的家國(guó)情懷，使學(xué)生樹(shù)立民族自信心.

一、試卷內(nèi)容結(jié)構(gòu)和考點(diǎn)情況分布

以下是云南省初中數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)水平考試近3年考點(diǎn)分布，按照題型分類(lèi)如下：

通過(guò)以上3個(gè)表格，我們可以發(fā)現(xiàn)2021年云南省初中數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)水平考試題在試卷結(jié)構(gòu)、題型分布、梯度布局、各領(lǐng)域分?jǐn)?shù)設(shè)置方面合理，內(nèi)容符合《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（2011年版）的要求，知識(shí)要素覆蓋全面，能力考查突出，重點(diǎn)知識(shí)重點(diǎn)考查，突出數(shù)學(xué)本質(zhì)特征，關(guān)注數(shù)學(xué)知識(shí)的綜合與應(yīng)用.

從試題內(nèi)容占比情況來(lái)看，2021年云南省初中數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)水平考試試題內(nèi)容占比的是比較恰當(dāng)?shù)?，考查的?nèi)容結(jié)構(gòu)也是非常合理的，近三年的各領(lǐng)域分值分布詳見(jiàn)下表：

通過(guò)表5，我們可以對(duì)于試卷的主要特色，有一個(gè)大致的認(rèn)識(shí).接下來(lái)我們一一來(lái)分析.

二、主要特色

試題命制遵循《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（2011年版）和《2017年云南省初中數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)水平標(biāo)準(zhǔn)與考試說(shuō)明》的要求，考查內(nèi)容覆蓋了初中生所學(xué)數(shù)與代數(shù)、空間與圖形、概率與統(tǒng)計(jì)等數(shù)學(xué)核心內(nèi)容、基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本方法和基本的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，注重了對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的全面考查.試題結(jié)合云南省教學(xué)實(shí)際，面向全體學(xué)生，無(wú)偏、繁、難試題.試題考查全面，難易兼顧，特別注重學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力的考查，既能公平客觀評(píng)價(jià)學(xué)生學(xué)業(yè)水平，又能體現(xiàn)選拔功能.

試題所涉及的知識(shí)是初中課程標(biāo)準(zhǔn)中數(shù)與代數(shù)、空間與圖形、概率與統(tǒng)計(jì)、實(shí)踐與綜合四個(gè)領(lǐng)域中的內(nèi)容，都是初中階段最基本、最核心的內(nèi)容，如第1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、13、15、16、17、19題等考查的知識(shí)起點(diǎn)低，偏向于水平考試（考查內(nèi)容參看上表5）.2021年的試題沒(méi)有對(duì)科學(xué)記數(shù)法、分式的化簡(jiǎn)求值、銳角三角函數(shù)實(shí)際應(yīng)用進(jìn)行獨(dú)立設(shè)題考查，對(duì)圓、相似的考查要求也相對(duì)較低.

試題設(shè)計(jì)注意結(jié)合學(xué)生生活實(shí)際，試題背景是學(xué)生熟悉和了解的，能較好地考查考生分析問(wèn)題和解決實(shí)際問(wèn)題的能力，具體見(jiàn)表6.

熟悉的情景創(chuàng)設(shè)、貼近生活實(shí)際，考查內(nèi)容經(jīng)典常規(guī)進(jìn)一步降低試題的難度.這些試題從學(xué)生熟悉的生活背景出發(fā)，聯(lián)系學(xué)生的生活實(shí)際，創(chuàng)設(shè)新的問(wèn)題情景，有利于激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識(shí).試題設(shè)計(jì)新穎、靈活、內(nèi)容豐富，具有濃郁的時(shí)代氣息.

4.試題緊扣課標(biāo)教材，充分發(fā)揮試題導(dǎo)向作用

2021云南省初中數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)水平考試試題緊扣《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》和教材，大部分基礎(chǔ)性試題都源于教材，如第1、2、3、4、5、6、7、10、11、13、15、16、18、19、21、22題，將教材中的例子和練習(xí)、習(xí)題通過(guò)類(lèi)比、改編、拓展、變式等方式呈現(xiàn)，源于教材又高于教材，引導(dǎo)教師創(chuàng)造性的使用教材.

（第16題）如圖1，在四邊形中，，，與相交于點(diǎn)

【】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，關(guān)鍵在于使用“SSS”推理論證三角形.試題改編于2013年人教版八年級(jí)（上冊(cè)）第44頁(yè)習(xí)題12.2第8題.其中為兩個(gè)三角形的公共邊，把背景放在四邊形中，需要學(xué)生有一定的識(shí)圖能力和抗干擾能力.

（第18題）“30天無(wú)理由退貨”是營(yíng)造我省“誠(chéng)信旅游”良好環(huán)境，進(jìn)一步提升旅游形象的創(chuàng)新舉措.機(jī)場(chǎng)、車(chē)站、出租車(chē)、景區(qū)、手機(jī)短信……，“30天無(wú)理由退貨”的提示隨處可見(jiàn)，它已成為一張?jiān)颇下眯械摹鞍残目ā?，極大地提高了旅游服務(wù)的品質(zhì).剛剛過(guò)去的“五·一”假期，旅游線路、住宿、餐飲、生活服務(wù)、購(gòu)物等旅游消費(fèi)的供給更加多元，同步的是云南旅游市場(chǎng)強(qiáng)勁復(fù)蘇.某旅行社今年5月1日租用、兩種客房一天，供當(dāng)天使用.圖2是有關(guān)信息：

請(qǐng)根據(jù)上述信息，分別求今年5月1日該旅行社租用的、兩種客房每間客房的租金.

【】試題考察分式方程的實(shí)際應(yīng)用，試題改編于2013年人教版八上P習(xí)題15.3第4題.通過(guò)卡通人物的對(duì)話，分析其中蘊(yùn)含的兩個(gè)等量關(guān)系，用客房單價(jià)比客房多40元設(shè)未知數(shù)，再用2000元租到客房的數(shù)量與用1600元租到客房的數(shù)量相等列方程，其中隱藏著一個(gè)數(shù)學(xué)關(guān)系式，總價(jià)除以單價(jià)等于數(shù)量，據(jù)此建立數(shù)學(xué)模型，分析解決實(shí)際問(wèn)題.試題背景的云南旅游宣傳，貼近生活，卡通人物的出現(xiàn)，生動(dòng)活潑，有意舒緩考生的情緒，利于考生作答.

（第19題）為慶祝中國(guó)共產(chǎn)黨成立100周年，某市組織該市七、八兩個(gè)年級(jí)學(xué)生參加演講比賽，演講比賽的主題為“追憶百年歷程，凝聚青春力量”.該市一中學(xué)經(jīng)過(guò)初選，在七年級(jí)選出3名同學(xué)，其中2名女生，分別記為、，1名男生，記為;在八年級(jí)選出3名同學(xué)，其中1名女生，記為，2名男生，分別記為、.現(xiàn)分別從兩個(gè)年級(jí)初選出的同學(xué)中，每個(gè)年級(jí)隨機(jī)選出一名同學(xué)組成代表隊(duì)參加比賽.

（1）用列表法或樹(shù)狀圖法（樹(shù)狀圖也稱(chēng)樹(shù)形圖）中的一種方法，求所有可能出現(xiàn)的代表隊(duì)總數(shù);

（2）求選出的代表隊(duì)中的兩名同學(xué)恰好是一名男生和一名女生的概率.【】試題考察列舉法（列表法、樹(shù)狀圖）、求簡(jiǎn)單事件的概率，試題改編于2013年人教版九上P例3.以建黨100周年為背景，“追憶百年歷程，凝聚青春力量”的演講主題很燃，富有時(shí)代氣息，滲透課程思政理念.考生認(rèn)真審題，采用列表法（推薦）或者樹(shù)狀圖，很容易得到答案，但是使用數(shù)學(xué)符號(hào)，一定要認(rèn)真細(xì)致，不要弄錯(cuò)腳標(biāo).

（第22題）如圖3，是⊙的直徑，點(diǎn)是⊙上異于、的點(diǎn)，連接、，點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，且，點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，且.

1. 求證：是⊙的切線;
2. 若，，求的長(zhǎng).

【】試題考察圓切線的判定、A型相似求線段長(zhǎng).試題改編于2013年人教版九年級(jí)（上冊(cè)）第101頁(yè)習(xí)題24.2的第6題.對(duì)圖象進(jìn)行適度改編，對(duì)條件和設(shè)問(wèn)進(jìn)行改編，無(wú)論是第（1）問(wèn)切線的判定方法，連半徑證垂直，還是第（2）問(wèn)與相似結(jié)合后，求線段的長(zhǎng)，都體現(xiàn)對(duì)典型問(wèn)題的典型考察，強(qiáng)調(diào)通法通解.在學(xué)業(yè)水平考試命題時(shí)，基本上是對(duì)教材上的例子、練習(xí)和習(xí)題進(jìn)行引用、改編，這是教育公平的體現(xiàn)，因此閱讀教材，研讀課標(biāo)，深挖教材是教學(xué)點(diǎn)關(guān)鍵.

試卷注重綜合能力的檢測(cè)，注重?cái)?shù)學(xué)思考，體現(xiàn)了較強(qiáng)的探究性，既考查了支撐數(shù)學(xué)學(xué)科知識(shí)體系的主干知識(shí)，又突出考查了觀察、實(shí)踐、探索創(chuàng)新等能力.試題堅(jiān)持“能力立意”，融入了新課標(biāo)的理念，拓寬題材、多角度、多視角的考查了學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，使學(xué)生的自主性和個(gè)性得以發(fā)揮.試題數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)具體見(jiàn)下表.

從數(shù)量與數(shù)量關(guān)系、圖形與圖形關(guān)系中抽象出數(shù)學(xué)概念及概念之間的關(guān)系

試題呈現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)考試的目的和性質(zhì)，精心設(shè)置壓軸題，綜合考查學(xué)生的應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題能力，區(qū)分不同的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)水平，為高一級(jí)學(xué)校的選拔創(chuàng)造一定的條件.2021年的壓軸題第23題，突破常規(guī)，對(duì)二次函數(shù)的考查不再是傳統(tǒng)的與幾何問(wèn)題綜合，而是一個(gè)以二次函數(shù)為背景的代數(shù)推理綜合問(wèn)題，圍繞一元二次函數(shù)、一元二次方程、完全平公式等知識(shí)，具有較強(qiáng)的綜合性、靈活性.其中，第（1）問(wèn)是經(jīng)典的利用二次函數(shù)圖形和性質(zhì)求待定系數(shù)，關(guān)鍵在于學(xué)生能夠理解對(duì)稱(chēng)軸的描述，讀懂對(duì)稱(chēng)軸就是.把圖形與軸交點(diǎn)坐標(biāo)，對(duì)稱(chēng)軸公式代入計(jì)算，比較常規(guī).到了第（2）問(wèn)就上了一個(gè)小臺(tái)階，學(xué)生要理解一元二次方程的根和對(duì)應(yīng)一元二次函數(shù)圖象和軸交點(diǎn)橫坐標(biāo)之間的關(guān)系，可以把算出來(lái)，也可以不用計(jì)算，利用的等量關(guān)系式所包含的完全平方公式，進(jìn)行等式變形，整體代換驗(yàn)證等式的成立.試題的亮點(diǎn)是第（3）問(wèn)，如果這個(gè)時(shí)候還想著硬算，那么面對(duì)基本上不可行了，就要求學(xué)生善于觀察聯(lián)想到亮點(diǎn)，一是挖掘的隱藏條件，二是利用第（2）問(wèn)已經(jīng)證明的結(jié)論來(lái)整體代換，簡(jiǎn)化所證明不等式的結(jié)構(gòu)，繼而得出的正確結(jié)論.

在中考閱卷時(shí)，學(xué)生的解法豐富，令人驚嘆.其中，第（2）小問(wèn)的解法至少有9種，大體上分為3個(gè)方向：硬算，利用根與系數(shù)的關(guān)系巧妙化簡(jiǎn)，利用已有條件和結(jié)論呈現(xiàn)的平方結(jié)構(gòu)，從完全平方公式或平方差公式的角度進(jìn)行變形、化簡(jiǎn)、證明.第（3）小問(wèn)中隱藏條件的挖掘，也有3個(gè)角度，硬算發(fā)現(xiàn)，由一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系發(fā)現(xiàn)，由變形為發(fā)現(xiàn).對(duì)于的證明，可以從入手，分別驗(yàn)證分子、分母關(guān)系得到證明，也可以認(rèn)真觀察分子分母結(jié)構(gòu)，常數(shù)分離后輕松證明.但是無(wú)論何種方式，要注意兩點(diǎn)：一是負(fù)數(shù)的奇數(shù)次冪依舊為負(fù)數(shù)，二是會(huì)利用第（2）問(wèn)結(jié)論進(jìn)行整體代換.

這樣的試題，考查學(xué)生的數(shù)學(xué)能力和天賦.這道試題真正起到了篩選出有數(shù)學(xué)發(fā)展?jié)撡|(zhì)學(xué)生的作用，體現(xiàn)了中考升學(xué)考試人才的選拔功能這一層面，當(dāng)屬最美中考題.

這類(lèi)題目有利于引發(fā)教師的思考，如何培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，在重點(diǎn)知識(shí)上下功夫，在解題方法上多創(chuàng)新，對(duì)這類(lèi)問(wèn)題要多探索、多比較、多思考，使學(xué)習(xí)探究的過(guò)程成為再發(fā)現(xiàn)、再創(chuàng)造的過(guò)程，努力鍛煉思維的靈活性、發(fā)散性和批判性，不斷提高分析問(wèn)題與解決問(wèn)題的能力.