李榮

幾何概型是一種常見的概率模型.如果每個事件發(fā)生的概率只與構成該事件區(qū)域的長度（角度或面積或體積）成比例，則稱這樣的概率模型為幾何概率模型，簡稱幾何概型.幾何概型的概率公式 P（A）=幾何概型有與長度、面積、體積、角度有關的概率問題.解答幾何概型問題的關鍵在于辨別構成該事件的區(qū)域是否可用長度、角度、面積、體積來度量，然后將問題轉化為長度、角度、面積、體積問題，結合幾何圖形尋找符合條件的事件所構成的幾何區(qū)域和所有結果構成的幾何區(qū)域，求出它們的比值，即可得到概率.下面舉例說明.

例1.在區(qū)間[-1，1]上隨機取1個數 x，求 cos 的值介于0到之間的概率.

解：由題意知 x ∈[-1，1]，要使cos 的值介于0到 之間，需使-≤≤-或≤≤.所以-1≤ x ≤-或≤ x ≤1，其區(qū)間長度為，則cos 的值介于0到2之間的概率為 P =

事件的發(fā)生概率只與自變量x 的取值范圍，即區(qū)間長度有關，可直接根據幾何概型概率公式求解.如果試驗的結果構成的區(qū)域的幾何度量可用長度表示，就需求得符合條件的長度以及所有結果構成的長度，再運用幾何概型概率公式求解.

例2.甲、乙兩人約定在6時到7時之間在某處會面，并且約定先到者應等候另一人一刻鐘，過時即可離去，求兩人能會面的概率.

解：用 x 軸和 y 軸表示甲、乙兩人分別到達約定地點超過6時的時間（單位：分），則兩人能夠會面的充要條件是x -y≤15.由圖1知，（x，y）的所有可能結果構成的區(qū)域是邊長為60的正方形，而構成事件 A “兩人能夠會面”的區(qū)域可用圖中的陰影部分表示，由幾何概型概率公式得：P（A）= = ，故兩人能夠會面的概率為16.

將兩人到達的時間分別用x， y 兩個坐標表示，使其構成平面內的點（x， y），從而將問題轉化為平面圖形的面積問題，求得符合條件的面積、所有情況構成的面積，再運用幾何概型概率公式即可求得概率.

例3.在線段[0， a]上隨機取3個數，求以這3個數為長的線段構成一個三角形的概率.

解：設事件 A 為“3條線段能構成一個三角形”，設 3條線段長分別為x，y，z，則每一個試驗結果可以表示為：（x，y，z），x，y，z∈[0， a]，所有可能的結果構成集合為 Ω={（x，y，z）|0≤ x ≤ a， 0≤y≤ a， 0≤ z≤ a}.因為3條線段構成一個三角形的條件是： x +y>z，x +z>y，y +z>x ;所以事件 A 構成的集合 A ={（x，y，z）|x +y>z， x +z>y， y +z>x，0≤ x ≤ a， 0≤y≤ a， 0≤ z≤ a}，該集合中的點都在以 O，A，B，C，D 為頂點的六面體內（如圖2所示），其體積為a3-3×1×a2×a =1a3.以 a 為邊長的正方體的體積為a3，則 P（A）=

解答本題，需將三角形的3條邊長分別用 x，y，z來表示，使其構成空間內的點（x，y，z），從而將問題轉化為空間圖形的體積問題，求得六面體 OABCD 以及正方體的體積即可解題.

例4.如圖3所示，設 A 為圓周上的一個定點，在圓周上任取一點 B，求弦 AB 的長超過圓的半徑的

倍的概率.

解：設圓的半徑為r，當弦 AB 的長恰好為 r 時，它所對的圓周角恰好為90°，則要使弦 AB 的長大于 r，則 AB 所對的圓心角必然大于90°且小于270°，所以所求事件的概率為360° ?=2.

當涉及扇形或圓中有關落點區(qū)域問題時，應以角的大小作為區(qū)域度量來計算概率，不可用線段的長度代替，這是兩種不同的度量手段.

綜上所述，解答幾何概型問題的步驟是：（1）判斷事件是否可用長度、角度、面積、體積來度量;（2）畫出幾何圖形，明確構成符合條件事件的區(qū)域所代表的長度、角度、面積、體積，以及所有事件構成的區(qū)域所代表的長度、角度、面積、體積，并求其值;（3）運用幾何概型概率公式求解.

（作者單位：江蘇省射陽縣高級中學）