馮廣軍 郭琳芳

(廣東省深圳科學(xué)高中 518129)

圓錐曲線中蘊(yùn)藏著豐富的規(guī)律，如定點(diǎn)與定值問題等.這些規(guī)律大多都反映了圓錐曲線中的一種動(dòng)態(tài)而和諧的平衡，正是“張弛皆有度，動(dòng)靜總相宜”，比如低調(diào)而絕妙的調(diào)和平均問題.

1 研教材，啟示多從教材來

(人教A版教材2019版第45頁)如圖1，

AB

是圓的直徑，點(diǎn)

C

是

AB

上一點(diǎn)，

AC

=

a

，

BC

=

b.

過點(diǎn)

C

作垂直于

AB

的弦

DE

，連結(jié)

AD

，

BD.

你能利用這個(gè)圖形，得出基本不等式的幾何解釋嗎？

圖1

這里給了我們一個(gè)提示，即基本不等式的幾何解釋.實(shí)際上，對(duì)于兩個(gè)正數(shù)

a

，

b

，不等關(guān)系都可以在圓中找到其幾何解釋：如圖2，在以

BC

為直徑的圓

O

中，設(shè)

AC

=

a

，

AB

=

b

，

AD

與圓

O

相切于點(diǎn)

D

，

DE

⊥

BC

于點(diǎn)

E

，

OF

⊥

BC

，交圓

O

于點(diǎn)

F

，連結(jié)

OD

，

AF.

易知結(jié)合圖形可知，

AE

<

AD

<

AO

<

AF

，當(dāng)且僅當(dāng)圓的半徑為0，即

a

=

b

時(shí)取等號(hào).

圖2 圖3

事實(shí)上，如果作出圓的另一條切線

AM

，易知點(diǎn)

E

即為過圓心的割線

AC

與切點(diǎn)弦

DM

的交點(diǎn)，一個(gè)自然的想法是：如果割線

AC

不過圓心，

AE

是否仍然是

a

，

b

的調(diào)和平均？結(jié)論是肯定的.

例1

如圖4，點(diǎn)

P

為圓

x

+

y

=

r

外一點(diǎn)，

PA

，

PB

為圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為

A

，

B

，割線

PD

交圓于

C

，

D

兩點(diǎn)，交

AB

于點(diǎn)

Q

，求證：

圖4

證明

設(shè)

P

(

x

,

y

)，如圖4，不妨設(shè)

x

<-

r.

設(shè)直線

PQ

的方程為

y

=

k

(

x

-

x

)+

y

，

C

(

x

,

y

)，

D

(

x

,

y

)，

Q

(

x

,

y

)，則只需證由得(1+

k

)

x

+故從而又因?yàn)橹本€

AB

的方程為

x

x

+

y

y

=

r

，由得所以當(dāng)點(diǎn)

P

位于

y

軸上時(shí)，易證(略).所以證畢.結(jié)論1 過圓

O

外一點(diǎn)

P

作圓

O

的兩條切線

PA

，

PB

，切點(diǎn)分別為

A

，

B

，過點(diǎn)

P

任作圓

O

的一條割線，交圓

O

于

C

，

D

兩點(diǎn)，交切點(diǎn)弦

AB

于點(diǎn)

Q

，則

PQ

為

PD

，

PC

的調(diào)和平均.

2 善變通，味道盡在類比中

例2

如圖5，點(diǎn)

P

為橢圓外一點(diǎn)，

PA

，

PB

為橢圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為

A

，

B

，割線

PQ

交橢圓

E

于

C

，

D

兩點(diǎn)，交線段

AB

于點(diǎn)

Q

，求證：

圖5

證明

設(shè)

P

(

x

,

y

)，如圖5，不妨設(shè)

x

<-

a.

設(shè)直線

PQ

的方程為

y

=

k

(

x

-

x

)+

y

，

C

(

x

,

y

)，

D

(

x

,

y

)，

Q

(

x

,

y

)，則只需證因?yàn)橹本€

AB

的方程為由得

x

=故又由得故從而當(dāng)點(diǎn)

P

位于

y

軸上時(shí)，不妨設(shè)

P

(0,

m

)(

m

<-

b

)，因?yàn)橹本€

AB

的方程為所以從而又

PC

=

b

-

m

，

PD

=-

b

-

m

，所以

綜上，證畢.

該結(jié)論在雙曲線和拋物線中仍然成立，證明略.

結(jié)論2 過圓錐曲線

E

外一點(diǎn)

P

作

E

的兩條切線

PA

，

PB

，切點(diǎn)分別為

A

，

B

，過點(diǎn)

P

任作

E

的一條割線，交

E

于

C

，

D

兩點(diǎn)，交切點(diǎn)弦

AB

于點(diǎn)

Q

，則

PQ

為

PD

，

PC

的調(diào)和平均.

3 再尋覓，沿途處處有驚喜

例3

如圖6，直線

l

過橢圓的左焦點(diǎn)

F

，且與橢圓

E

交于

A

，

B

兩點(diǎn)，則(其中

e

是橢圓

E

的離心率，

p

是焦點(diǎn)到相應(yīng)準(zhǔn)線的距離，

ep

即為半通徑)

圖6

證明

如圖6，設(shè)∠

BF

F

=

θ

，

BF

=

r

，

AF

=

r

，由橢圓的第二定義有：因此證畢.

對(duì)于雙曲線(交于同一支時(shí)的情形)和拋物線，可通過類似的證明過程得到這一結(jié)論，不再一一給出.

結(jié)論3 圓錐曲線的焦點(diǎn)弦的兩個(gè)焦半徑的調(diào)和平均是其通經(jīng)的一半.(雙曲線中的焦點(diǎn)弦是指過焦點(diǎn)的直線與雙曲線交于同一支的情形)

例4

如圖7，過橢圓的左焦點(diǎn)

F

且相互垂直的兩直線與橢圓

E

分別交于點(diǎn)

A

，

B

和

C

，

D

，求證：

圖7

證明

設(shè)∠

BF

F

=

θ

，

BF

=

r

，

AF

=

r

，由橢圓的第二定義有：

r

=因此因?yàn)?p>AB

與

CD

垂直，所以只需要將中的

θ

換成即可得到所以當(dāng)圓錐曲線為雙曲線時(shí)，綜合可知

結(jié)論4 圓錐曲線過同一焦點(diǎn)的互相垂直的兩條弦長(zhǎng)的調(diào)和平均為定值.

調(diào)和平均原本是統(tǒng)計(jì)學(xué)中的術(shù)語，是一種某一特定條件下的平均量，我們能在圓錐曲線中不斷發(fā)現(xiàn)它的存在，這為我們從多個(gè)角度去理解調(diào)和平均又打開了一扇門.或許數(shù)學(xué)的魅力也正在于此，而更多的美正等著我們?nèi)グl(fā)現(xiàn)！