符強如

(新疆烏魯木齊市實驗學校 830026)

當前許多課堂被應試需求主導，數(shù)學教學嚴重異化為解題的模仿與訓練，大部分時間培養(yǎng)的只是學生進行機械運算和演繹推理的能力，很難全面且有深度地培育學生的數(shù)學思維素養(yǎng).在平常的數(shù)學教學中，概念教學是培育學生數(shù)學抽象思維素養(yǎng)的主要路徑.數(shù)學思維素養(yǎng)的涵育，離不開對概念內涵與意義的認知和對知識發(fā)展的體驗，也離不開對知識關系結構的發(fā)現(xiàn)與掌握，以及應用知識解決問題過程中對數(shù)學思想、精神的感悟[1].筆者對2021年全國高考乙卷理科第9題和第19題調查后發(fā)現(xiàn)，已嚴重異化為解題模仿與訓練的數(shù)學課堂不能真正激發(fā)學生的學習興趣，學生對數(shù)學概念產生的必要性和合理性的感悟嚴重缺乏，很難直接產生學習新概念的情感需求和思維需求.這種急功近利的做法只能讓學生獲得碎片化的、零散的知識記憶和僵化的思維，數(shù)學概念的學習停留在機械表層,難以讓學生構筑厚實的學習基礎，形成必要的探究發(fā)現(xiàn)能力，學生的數(shù)學思維素養(yǎng)得不到有效的培養(yǎng)[2].下面以2021年全國高考乙卷理科第9題和第19題為具體案例，在進行多角度解法研究的基礎上，談談學生在解題過程中概念理解的具體形式，以及如何進行概念教學，凸顯數(shù)學本質.

1 試題呈現(xiàn)及多視角探析

(1)證明：數(shù)列{bn}是等差數(shù)列；(2)略.

這道題是2021年高考全國乙卷理數(shù)第19題，從問題表述來看，表現(xiàn)樸實,題干清晰；從內容上看，主要考查等差數(shù)列的相關知識和概念，考查考生的邏輯推理、數(shù)學建模、數(shù)學運算等核心素養(yǎng).在與學生溝通探討中發(fā)現(xiàn)，這道題的得分不容樂觀，主要體現(xiàn)在對此題第(1)問概念理解不到位.品析第(1)問，初嘗平淡,深酌而顯深厚蘊藉,余味綿長.

視角1 “消元”角度，消去Sn.

視角2 開門見山應用等差數(shù)列定義式bn-bn-1=d(常數(shù)).

視角3 通過等差中項2bn-1=bn+bn-2(n≥3).

評析視角3也是在探究視角2過程中演變而來的，就是對主干條件變形過程中通過等差中項2bn=bn-1+bn+1(n≥2)來證明.學生直接從等差中項去證明是比較困難的，但是數(shù)列的概念反應的特征就是列數(shù)，學生可以通過數(shù)學歸納法去求解，也可以先求出Sn，再求bn.

題2(2021年全國乙卷題9)魏晉時期劉徽撰寫的《海島算經》是關于測量的數(shù)學著作，其中第一題是測量海島的高.如圖1，點E，H，G在水平線AC上，DE和FG是兩個垂直于水平面且等高的測量標桿的高度，稱為“表高”，EG稱為“表距”，GC和EH都稱為“表目距”，GC與EH的差稱為“表目距的差”，則海島的高AB=( ).

圖1

此題是2021年高考全國乙卷理科數(shù)學第9題，主要考查正切函數(shù)的相關知識和概念.與上一題類似，此題的表述樸實清晰，但與學生溝通后發(fā)現(xiàn)，花了大量時間去梳理關系，得分卻不高，主要問題是對正切函數(shù)概念的理解層次欠缺，也缺乏數(shù)學建模的意識.其實細細品味，我們會發(fā)現(xiàn)此題的魅力.

解法1 (正切函數(shù)概念)

圖2

評析解法1由人教A版教材必修五第一章1.2節(jié)“應用舉例”例3演變而來，就是在對正切函數(shù)概念理解深刻的基礎上，由概念進行數(shù)學建模的具體體現(xiàn).調查發(fā)現(xiàn)，若學生對概念理解有深度，就能體現(xiàn)出解法1，但是對大部分學生而言是有難度的.與學生溝通發(fā)現(xiàn)，不少人是花費了大量時間去尋找邊之間的關系，現(xiàn)展示具體解法.

解法2 直角三角形相似

評析解法2主要是根據(jù)相似三角形的性質與直角三角形的邊角關系來求解，現(xiàn)在看來屬于基礎題.部分學生反而花了大量時間去尋找關系，有的甚至還沒有得出答案，其主要原因是學生在數(shù)學概念學習中的數(shù)學建模素養(yǎng)沒有得到發(fā)展，不能用數(shù)學視角看待現(xiàn)實的問題，在數(shù)學概念的應用學習中，沒有形成一定的知識體系.

2 概念教學感悟

數(shù)學概念教學首先需要研究“為什么學習此概念”，激活學習新概念的情感需求和認知需求；其次需要研究“學習數(shù)學概念的哪些內容”，挖掘數(shù)學概念的本質及生成過程等[3].所以在概念教學中，學生數(shù)學抽象思維素養(yǎng)的形成，基于其對諸多和概念相關聯(lián)知識的整體理解與認識，需要教師適當騰出時間對引入概念的必要性和歷史背景等作較詳細說明.獲得數(shù)學概念的主要思維方式是抽象與概括，而抽象與概括是一種思維的體驗和領悟.因而，在數(shù)學概念教學中應盡可能多地讓學生親歷概念的抽象與概括過程，在不斷的體驗與領悟中將經驗與概念、直覺與邏輯整體融合并凝聚、升華形成素養(yǎng).最重要的是要遵循知識的發(fā)生發(fā)展過程和學生頭腦中與新知識有實質性聯(lián)系的適當觀念，以學生認知結構中與新概念有自然的、內在聯(lián)系的已有知識作為新概念的生長點，使新舊概念之間產生非人為和實質性聯(lián)系.

數(shù)學概念的學習需要數(shù)學建模思維素養(yǎng)，需要其從數(shù)學視角看問題、用數(shù)學方法處理問題的這種意識與能力，也是學以致用精神的體現(xiàn)，即在研究一個現(xiàn)實問題時，先從問題信息抽象出形式化的數(shù)學模型，再根據(jù)模型求解結果統(tǒng)一處理同類現(xiàn)實問題的這種思維過程.數(shù)學建模以描述客觀事物的數(shù)形特征和內在聯(lián)系所建立的模型和眾多的數(shù)學概念、公式和定理等知識一樣，都可以廣泛應用于現(xiàn)實世界.

在概念的應用教學中，教師引導學生整體理解數(shù)學知識結構及其思想方法，讓學生了解問題的現(xiàn)實意義及其所蘊含的數(shù)形特征，啟發(fā)學生用數(shù)學符號語言將現(xiàn)實問題轉化為數(shù)學問題，通過聯(lián)想對問題選取適當?shù)那乙褜W的知識模型.這需要教師多引導學生從數(shù)學角度觀察、發(fā)現(xiàn)并提出有意義的問題，其中往往會與已學的數(shù)學概念、知識和思想方法有廣泛聯(lián)系，能讓學生更深刻理解概念內涵、意義及作用.

3 結束語

從概念教學深化學生對概括過程的體驗與內涵的認知來看，必須讓學生“知其然”亦“知其所以然”，不要僅停留在簡單機械的記憶與模仿.應努力提高學生進行探究發(fā)現(xiàn)與關系建構的能力，可以讓學生頭腦中孤立的知識形成有機體系和完整結構，走出零散型解題教學與碎片化學習的困境，讓學生學會如何將所學知識靈活應用于現(xiàn)實問題情境，遠離目標指向迷糊和被無意義問題填充的課堂教學.唯有如此，我們的課堂才能真正優(yōu)質高效，學生認知結構才能更加穩(wěn)定，數(shù)學核心素養(yǎng)的培育才能更深入落實.