牛獻禮

【摘 要】數(shù)學(xué)課程內(nèi)容的一大特點是整體性，教學(xué)應(yīng)當基于對數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)的整體性思考來設(shè)計和組織教學(xué)，發(fā)展學(xué)生的結(jié)構(gòu)化思維。在“有余數(shù)的除法”的教學(xué)中，筆者首先抓住新舊知識的聯(lián)結(jié)點——平均分，讓學(xué)生經(jīng)歷了“余數(shù)”與“有余數(shù)的除法”等概念的形成過程;其次，抓住“有余數(shù)的除法”和“表內(nèi)除法”的內(nèi)在聯(lián)系，鼓勵學(xué)生再創(chuàng)造有余數(shù)除法的算式，理解有余數(shù)的除法的算式中各部分的意義及其關(guān)系;最后，引導(dǎo)學(xué)生回顧與反思，把“有余數(shù)的除法”新知納入已有的知識體系之中，推動學(xué)生對數(shù)學(xué)內(nèi)容的整體把握和有效建構(gòu)，從而達到完善和發(fā)展學(xué)生原有認知結(jié)構(gòu)的目標。

【關(guān)鍵詞】整體性思考 有余數(shù)除法 結(jié)構(gòu)化學(xué)習(xí)

數(shù)學(xué)課程內(nèi)容的一大特點是整體性，包括相同課程領(lǐng)域內(nèi)不同知識之間的邏輯關(guān)系和層級關(guān)系（呈現(xiàn)不同數(shù)學(xué)知識之間的實質(zhì)性關(guān)聯(lián)），以及不同課程領(lǐng)域之間的實質(zhì)性聯(lián)系。教學(xué)應(yīng)當基于對數(shù)學(xué)的知識結(jié)構(gòu)的整體性思考，通過突出核心內(nèi)容，關(guān)注不同內(nèi)容之間的相互聯(lián)系，以幫助學(xué)生理解數(shù)學(xué)內(nèi)容的整體性特征，從而達到完善和發(fā)展學(xué)生原有認知結(jié)構(gòu)的目標。下面，筆者以“有余數(shù)的除法”一課的教學(xué)為例，談?wù)勛约旱乃伎寂c實踐。

一、教學(xué)片段一

1.出示：把10根小棒分給小朋友，每人分2根，可以分給幾人？每人分3根、4根、5根呢？

要求：同桌兩人合作，動手分一分小棒，并把每次分的結(jié)果記錄在表格里。

每人分幾根 分給幾人 還剩幾根

2.全班交流

隨著學(xué)生口述，逐步呈現(xiàn)如下四種分法。

把10根小棒分給小朋友。

師：在第二種分法中，最后剩下1根為什么不分了呢？

生：因為是每人要分3根，最后剩下這1根，不夠再分給1個人了，就不分了。

師：在第三種分法中，最后剩下2根為什么也不分了呢？

生：因為是每人要分4根，最后剩下這2根，不夠再分給1個人了，就不分了。

師：仔細觀察這四種分法，它們有什么相同點？

（小組討論，全班交流）

生：第一種和第四種分法都是平均分，因為每人分得一樣多。

（課件演示：把每份圈一圈，發(fā)現(xiàn)每份確實同樣多）

師：想一想，第二種和第三種分法是平均分嗎？為什么？

生1：不是平均分，因為最后有剩余。如果把剩余的1根給第1人，第1人就多了;如果給第2人，第2人就多了……每人分得不一樣多。

生2：我覺得它們都是平均分的，因為每份分得也是同樣多的。

（課件演示：把每份的根數(shù)圈一圈，直觀發(fā)現(xiàn)“每份同樣多”）

師：不管每人分3根，還是每人分4根，只要每人分到的同樣多，就是平均分！只不過，分到最后剩下1根或者2根，不夠再分了，就剩余下來，這是“平均分”的一種新情況。

3.比較分類

師：根據(jù)剛才的討論，你能給這幾種分法分分類嗎？

生：第一種和第四種分一類，它們“正好分完”;第二種和第三種分一類，它們“分后有剩余”。

板書：

【思考】布魯納認為：“學(xué)習(xí)就是認知結(jié)構(gòu)的組織和重新組織?！敝挥凶プ÷?lián)系，才能更好地把握結(jié)構(gòu)、理解結(jié)構(gòu)、生成意義。數(shù)學(xué)教材的編排本身就具有自己的結(jié)構(gòu)體系，但是如何將教材的知識結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)化為學(xué)生的認知結(jié)構(gòu)，讓學(xué)生能清晰地認識、有效地提取，就需要教師在設(shè)計教學(xué)時，遵循數(shù)學(xué)知識內(nèi)在的邏輯機理，通過結(jié)構(gòu)化的設(shè)計、模塊式的意義重構(gòu)、遞進式的教學(xué)推進，幫助學(xué)生建立清晰的知識結(jié)構(gòu)。在上述教學(xué)中，筆者抓住新舊知識的聯(lián)結(jié)點——平均分，創(chuàng)設(shè)“分小棒”的操作情境，讓學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)在“平均分”時，存在“正好分完”和“分后有余”兩種情況，體會“余數(shù)”和“有余數(shù)除法”產(chǎn)生的必然性。

學(xué)生僅有初步的知識結(jié)構(gòu)框架是遠遠不夠的，還需對結(jié)構(gòu)內(nèi)部相互關(guān)聯(lián)的“結(jié)構(gòu)點”進行“意義重構(gòu)”。在上述教學(xué)中，筆者用一個表格整合了本節(jié)課所有操作活動的信息，這樣做更有利于學(xué)生對平均分物品和除法運算的形成有完整的認識，更有利于概念的抽象和學(xué)生對概念的理解，也有利于新舊知識關(guān)系的溝通。筆者抓住新舊分法的“異同點”，對“分小棒”的多種情況進行比較和歸類。一是引導(dǎo)學(xué)生厘清“正好分完”和“分后有余”兩種情況的內(nèi)在聯(lián)系與本質(zhì)區(qū)別，明晰“平均分”的內(nèi)涵和外延——不管是“正好分完”還是“分后有余”，只要每份同樣多，都是平均分，構(gòu)建“平均分”新模型，幫助學(xué)生更加深刻地把握“平均分”的本質(zhì)。二是經(jīng)歷余數(shù)與有余數(shù)除法等概念的形成過程，學(xué)生在多次操作的過程中強烈地感知“剩余”，并通過對“如何處理平均分的剩余部分”的辨析，初步了解“分后有剩余”時剩余部分數(shù)量與總數(shù)、每份數(shù)之間的關(guān)系，初步建立余數(shù)的表象。

二、教學(xué)片段二

1.探究“有余數(shù)的除法”的算式

師：想一想，怎樣用算式記錄這兩種“正好分完”小棒的過程？

學(xué)生口述，師板書：

10÷2=5（人）

10÷5=2（人）

師（指分后剩余1根的分法）：想一想，怎樣用算式記錄這種“分后有剩余”的情況呢？試一試。

學(xué)生嘗試完成后，在小組內(nèi)交流算式和想法。全班交流時呈現(xiàn)以下三種典型算式：

（1）3×3+1=10（根）

（2）10÷3=3（人）剩1（根）

（3）10÷3=3（人）……1（根）

師：仔細觀察這些算式，比一比，你覺得哪個算式最能清楚地記錄分小棒的過程？

師（小結(jié)）：后兩種算式都能清楚地記錄分小棒的過程，數(shù)學(xué)追求“簡潔”，10÷3=3（人）……1（根）更合適。

師：你能結(jié)合分小棒的過程，說一說算式中每一個數(shù)表示的意思嗎？

生：10表示要分10根小棒，3表示每人分3根，3人表示分給了3人，1根表示分完后還剩下1根小棒。

師：在過去學(xué)習(xí)的除法算式中，10、3和3人分別叫什么名稱？你覺得最后的1根應(yīng)該叫作什么？

師（指分后剩余2根的分法）：你會用算式記錄這種“分后有剩余”的情況嗎？

（學(xué)生獨立完成，集體評議）

師（板書）：10÷4 = 2（人）……2（根）

師：你能結(jié)合分小棒的過程，說一說算式中每一個數(shù)表示的意思嗎？（生答略）

2.算式比較，理解“余數(shù)”與“除數(shù)”的關(guān)聯(lián)性

師：請大家仔細觀察這些除法算式，它們有什么相同點和不同點？

（學(xué)生各抒己見，教師利用結(jié)構(gòu)化的板書，逐步構(gòu)建除法的知識結(jié)構(gòu)體系）

師（小結(jié)）：像這樣“平均分東西”時，都可以用“除法算式”來記錄分東西的過程和結(jié)果。不同的是，以往學(xué)習(xí)的除法算式都“沒有余數(shù)”，是“表內(nèi)除法”，而今天學(xué)習(xí)的除法算式“有余數(shù)”，這就是本節(jié)課我們學(xué)習(xí)的“有余數(shù)的除法”（板書課題）。

師：我們再來比較一下這兩道有余數(shù)的算式，為什么第一道算式的余數(shù)是1，第二道算式的余數(shù)是2呢？

生：因為第一種分法是剩余1根，第二種分法是剩余2根。

師：因為第一種分法是每人分3根，除數(shù)是3，所以剩余1根，余數(shù)是1;第二種分法是每人分4根，除數(shù)是4，所以剩余2根，余數(shù)是2。余數(shù)跟除數(shù)有關(guān)。

【思考】數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)需要經(jīng)歷將現(xiàn)實情境去偽存真，抽象出數(shù)學(xué)知識與特征，并用數(shù)學(xué)方式表征內(nèi)化的過程。上述教學(xué)中，教師抓住“有余數(shù)除法”和“表內(nèi)除法”的內(nèi)在聯(lián)系，借助“表內(nèi)除法”的認知基礎(chǔ)和活動經(jīng)驗，鼓勵學(xué)生再創(chuàng)造算式，幫助學(xué)生初步建立有余數(shù)的除法中被除數(shù)、除數(shù)、商與余數(shù)之間的結(jié)構(gòu)關(guān)系，初步形成有余數(shù)除法的表象。學(xué)生經(jīng)歷了由“表內(nèi)除法算式”類推出“有余數(shù)的除法算式”的過程，初步培養(yǎng)了推理能力;經(jīng)歷了“直觀動作思維—具體形象思維—抽象邏輯思維”的演變過程，初步培養(yǎng)了抽象思維能力;學(xué)會用數(shù)學(xué)算式描述平均分物品時有剩余的現(xiàn)象的過程和結(jié)果，建立“生活情境”與“數(shù)學(xué)符號”之間的聯(lián)系，實現(xiàn)“現(xiàn)實世界”到“數(shù)學(xué)符號”的抽象，經(jīng)歷“有余數(shù)的除法”模型的建構(gòu)過程，初步培養(yǎng)了數(shù)學(xué)建模能力;初步感知除數(shù)與余數(shù)的關(guān)系，為下節(jié)課探索余數(shù)與除法的關(guān)系做好鋪墊。

三、教學(xué)片段三

1.圈一圈，填一填

（學(xué)生獨立完成，教師巡視指導(dǎo)，然后全班交流）

師：這兩個問題都用算式9÷2=4……1解決，想一想，它們表示的意思一樣嗎？

生：雖然算式一樣，但由于分法不同，表示的意思也不同。但是，無論是“每人分2支”，還是“平均分給2人”，都會出現(xiàn)“分后有剩余”的情況，都可以用有余數(shù)的除法算式來表示。

2.拓展

師：你還能用“9÷2=4……1”編一個分東西的數(shù)學(xué)故事嗎？

師（引導(dǎo)）：無論是分小棒、分鉛筆，還是分糖，都能用數(shù)學(xué)算式來表示，你有什么感受？

生：數(shù)學(xué)的力量真大呀！

【思考】唯有學(xué)生自主地把數(shù)學(xué)概念與數(shù)學(xué)思想置于自身既有的體系之中加以結(jié)構(gòu)化，并且能夠適當?shù)赜脕斫鉀Q問題或是應(yīng)用于新的情境，才能達到真正意義上的理解。在上述教學(xué)中，先將“有余數(shù)除法”模型由“包含分”遷移到“平均分”，并借助直觀的“圈”“畫”等方式，引導(dǎo)學(xué)生進行觀察和比較，厘清兩種分法的異同，溝通兩種分法的聯(lián)系，對比中辨析無論是“平均分物”還是“包含分物”，都有分不完的時候，都可以用“有余數(shù)的除法算式”表示分物的過程和結(jié)果，從而完善“有余數(shù)的除法”新知模型。接著，借助“編數(shù)學(xué)故事”，將有余數(shù)除法模型由“分鉛筆”遷移拓展到“分書本”“分糖”“分組”……從而溝通了數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系，培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界，用數(shù)學(xué)的思維分析問題、解決問題的能力。

利用課件和板書回顧學(xué)習(xí)過程，學(xué)生暢談本節(jié)課的收獲和體會，逐步梳理、形成如下知識結(jié)構(gòu)體系：

師：通過這節(jié)課的學(xué)習(xí)，我們知道了不僅存在沒有余數(shù)的除法，也存在有余數(shù)的除法。事實上，沒有余數(shù)的除法也可以看成有余數(shù)的除法中“余數(shù)為0”的特殊情況。

【思考】開展結(jié)構(gòu)化學(xué)習(xí)，不只是為了完成知識的學(xué)習(xí)，形成結(jié)構(gòu)化的認知圖式，更重要的是讓結(jié)構(gòu)化思維從內(nèi)心生長出來。為此，有必要讓反思成為課堂學(xué)習(xí)的重要環(huán)節(jié)，學(xué)生在學(xué)中思、在思中悟。荷蘭著名數(shù)學(xué)教育家弗賴登塔爾說：“只要兒童沒能對自己的活動進行反思，他就達不到高一級的層次?！睘榇耍谏鲜鼋虒W(xué)中，通過“回頭看”這樣一種思維活動促進學(xué)生對本節(jié)課所學(xué)知識及學(xué)習(xí)過程進行回顧和反思，把新學(xué)的知識納入已有的知識結(jié)構(gòu)體系之中，體會數(shù)學(xué)的邏輯美和簡潔美，形成新的認知結(jié)構(gòu)體系。

這樣的結(jié)構(gòu)化教學(xué)，可以推動學(xué)生對學(xué)習(xí)內(nèi)容的整體把握和有效建構(gòu)，促使學(xué)生慢慢養(yǎng)成結(jié)構(gòu)化的思維方式，提升學(xué)生的遷移建構(gòu)能力。課末教師的一句話“事實上，沒有余數(shù)的除法也可以看成有余數(shù)的除法中‘余數(shù)為0’的特殊情況”，再次溝通了新舊知識的聯(lián)系，幫助學(xué)生深化了對概念的理解，完善了學(xué)生的認知結(jié)構(gòu)。