羅 茜,許勇強(qiáng)

（閩南師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,福建 漳州 363000）

研究了以下零邊值條件的分?jǐn)?shù)階微分方程,即

其中:和分別是階數(shù)為α,β的Caputo 型分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù),1<α≤2，0<β≤1,a為給定的正數(shù),函數(shù)f:[0,1]×(0,∞)→[0,∞)連續(xù).

分?jǐn)?shù)階微分方程因在物理、力學(xué)、化學(xué)、工程、金融、混沌、粘彈性等領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用而備受關(guān)注,詳見文獻(xiàn)[1-13]，這里考慮的大多都是一個(gè)分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的情況.但是,對于一般的多項(xiàng)分?jǐn)?shù)階微分算子的微分方程似乎沒有太多結(jié)果.1984年,Bagley等[14]公式化牛頓流體中薄板運(yùn)動的數(shù)學(xué)模型為

后被稱為Bagley-Torvik方程.這里A,B,C都為常數(shù),f是給定的函數(shù).在Fazli等[15]通過不動點(diǎn)定理研究當(dāng)邊值問題中導(dǎo)數(shù)的階數(shù)α=2 且函數(shù)f滿足某些特定條件時(shí)正解的存在性.Ibrahim，Dong 等[16]用同樣的方法證明了方程邊值問題解的存在唯一性.Hao等[17]考慮了下列四階m點(diǎn)邊值問題為

通過不動點(diǎn)理論得到了兩種情況下正解的存在性,

其中:λ1是相關(guān)線性算子的第一特征值.

受上面啟發(fā),本文的目的是在類似于(H1)和(H2)的條件下采用不動點(diǎn)指數(shù)理論和Guo-Krasnoselskii不動點(diǎn)定理方法[17-23]研究邊值問題(1)正解的存在性.與現(xiàn)有文獻(xiàn)相比,本文討論的是含兩項(xiàng)分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的微分方程.其次,非線性項(xiàng)f(t,u)滿足與相關(guān)線性算子的第一特征值有關(guān).最后,分析了相關(guān)線性算子的譜和格林函數(shù)的性質(zhì).

1 預(yù)備知識

定義1[24]Caputo意義下函數(shù)f:(0,∞)→R的α階導(dǎo)數(shù)是指

其中[α]是實(shí)數(shù)α的整數(shù)部分,右端在(0,∞)上是逐點(diǎn)定義的.

定義2[25]設(shè)f(t)和g(t)都滿足當(dāng)t< 0 時(shí)f(t)=g(t)=0,則稱和g(t)的卷積,記為f(t)?g(t)=g(t)?f(t)=

引理1對于邊值問題

給定函數(shù)f∈C([0,1],R),那么邊值問題式(2)解的表達(dá)式u∈C([0,1],R)可以寫為

其中

證明對-cDα0+u(t)+acDβ0+u(t)=f(t)應(yīng)用拉普拉斯變換,可得

對式(3)兩端應(yīng)用拉普拉斯逆變換,有

從而

u(t)=-f(t)?tα-1Eα-β，α(atα-β)+u(0)Eα-β，1(tα-β)+

u′(0)tEα-β，2(atα-β)-au(0)tα-βEα-β，α-β+1(atα-β).

其中,等式右端第一部分可根據(jù)定義2得

再利用邊值條件u(0)=0,u(1)=0,直接計(jì)算可解得u′(0)=于是

顯然,G(t,τ)在[0,1]×[0,1]上為連續(xù)函數(shù).

引理2格林函數(shù)G(t,τ)滿足以下性質(zhì):

1)G(t，τ)>0 ?t，τ∈(0，1)；

2)G(t，τ)≥

3)G(t，τ)≤(1-τ)α-1tg1(1)?t，τ∈[0，1].

證明)1 性質(zhì)1可由性質(zhì)2得.

2)對任意t∈[0,1],顯然有

類似地,

當(dāng)0≤t≤τ≤1時(shí),

當(dāng)0≤τ≤t≤1時(shí),

利用Lagrange中值定理,?ξ∈(1-τ,1),η∈(t,1)使得

因此，性質(zhì)2成立.

3)當(dāng)0≤t≤τ≤1時(shí)，

當(dāng)0≤τ≤t≤1時(shí),

容易證得性質(zhì)3成立.

定義算子T和L,

為了方便,列出一些之后會用到的假設(shè)條件：

其中,λ1是算子L的第一特征值.

K={u∈E：u(t)≥0，t∈[0，1]}，

顯然K是E中的錐.

引理3對于任意r>0,T:K→K完全連續(xù).

證明由G(t,τ)和f(t,u(t))的連續(xù)性可知T連續(xù).設(shè)Q?K是有界的,則對任意u∈K,存在ρ>0 使得‖u‖≤ρ.另外,f在[0,1]×[-ρ,ρ]上一致連續(xù),則存在M>0,使得f(t,u(t))

即T(Q)是一致有界的.

接下來,證明T為等度連續(xù)算子.任意u∈Q,t1,t2∈[0,1]且t1

即

那么,T是等度連續(xù)的.根據(jù)Arzela’-Ascoli定理,T:K→K是完全連續(xù)的.

引理4[21]K為Banach 空間E中的錐,設(shè)L:E→E是完全連續(xù)線性算子,L(K)?K.如果存在ψ∈E(-K),ψ?-K,常數(shù)c>0,使得cLψ>ψ,則譜半徑r(L)≠0并且有L的正特征函數(shù)φ1對應(yīng)的第一特征值λ1=(r(L))-1,使得λ1Lφ1=φ1.

引理5若是譜半徑r(L)≠0且有L的正特征函數(shù)φ1對應(yīng)的第一特征值λ1=(r(L))-1則λ1Lφ1=φ1.

證明通過常規(guī)方法可證算子L是完全連續(xù)線性算子.對任意u∈K,u(t)≥0,有

那么,(Lu)(t)∈K這表明L(K)?K.根據(jù)引理2 知,存在[a,b]?[0,1]使得對任意t,τ∈[a,b]都有G(t,τ)>0.令ψ∈C[0,1],則對?t∈[a,b]都有ψ≥0,而對?t?[a,b]有ψ=0.當(dāng)t∈[a,b]時(shí),有

因此,存在常數(shù)c>0使得cLψ≥ψ,根據(jù)引理4結(jié)論成立.

引理6[22]K為Banach 空間E中的錐,Ω為E中有界開集.假設(shè)T:∩K→K為完全連續(xù)算子.若存在u0∈K-{θ}使得

u-Tu≠λu0，?λ≥0，u∈?Ω∩K，

那么,i(T,Ω∩K,K)=0.

引理7[22]K為Banach空間E中的錐,Ω為E中有界開集.假設(shè)T:∩K→K為完全連續(xù)算子.如果

Tu≠λu，?λ≥1，u∈?Ω∩K，

那么，i(T,Ω∩K,K)=1.

引理8[26]設(shè)E是Banach 空間,K是E中的錐.假設(shè)Ω1,Ω2是E中的有界開集,θ∈Ω1，?Ω2,令T:K∩(1)→K是全連續(xù)算子,并且使得下列條件之一成立：

1)‖Tu‖≤u，u∈K∩?Ω1且‖Tu‖≥u，u∈K∩?Ω2，

2)‖Tu‖≥u，u∈K∩?Ω1且‖Tu‖≤u，u∈K∩?Ω2，

則算子T在K∩(1)中至少有一個(gè)不動點(diǎn).

2 主要結(jié)果

定義鄰域Br={u∈E:u

定理1假設(shè)(A1)和(A2)成立,那么邊值問題式(1)至少有一個(gè)不動點(diǎn).

證明根據(jù)假設(shè)(A1)知,存在r1>0使得f(t,u)≥λ1u,?[t,u]∈[0,1]×[0,r1].那么

反證法,假設(shè)算子T在?Br1∩K中有不動點(diǎn),則

否則,存在μ0>0 和u1∈?Br1∩K,μ>0,使得u1-Tu1=μ0φ1,即u1=Tu1+μ0φ1≥μ0φ1.令=sup{μ|u1≥μφ1},則≥μ0且μ1≥μφ1.由L為單調(diào)遞增的線性算子可知

由條件(A2)知,存在r2>r1,0<δ<λ1,令使得

定義算子L1,令L1u(t)=(λ1-δ)Lu(t).顯然,L1:E→E為有界線性算子.設(shè)

H={u∈K|μu=Au，μ≥1}.

接下來,要證H有界.對?u∈H都有

其中G=G(t,τ),因此(I-L1)u(t)=GF,t∈[0,1].由引理4知r(L)=故r(L1)=r((λ1-故(I-L1)-1存在.那么u(t)≤(I-L1)-1GF,t∈[0,1].因此,H有界.取R>應(yīng)用引理7可得

結(jié)合式(6)和式(9)可得

則T在∩K中至少有一個(gè)不動點(diǎn),即邊值問題(1)至少存在一個(gè)正解.

定理2假設(shè)(A3)和(A4)成立,則邊值問題式(1)至少有一個(gè)正解.

證明令≤1,根據(jù)(A3)可知存在0

f(t，u)≤λ1u，?[t，u]∈[0，1]×[0，r3].

定義一個(gè)E中的開集Ω1,Ω1={u(t)∈E:‖u‖

因此‖Tu(t)‖≤‖u‖,?u∈?Ω1∩K.

定義一個(gè)E中的開集Ω2,Ω2={u(t)∈E:‖u‖≤r4,t∈[c,d]}.任意u∈?Ω2∩K有

因此‖Tu(t)‖≥‖u‖?u∈?Ω2∩K.

根據(jù)引理8可知T至少有一個(gè)不動點(diǎn)，即邊值問題式(1)至少有一個(gè)正解.

注1若考慮將含兩個(gè)分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的零邊值問題推廣為含n項(xiàng)分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的情況,目前無法得到形如的解的表達(dá)式.

注2若將邊值問題式(1)中分?jǐn)?shù)階的階數(shù)推廣為n<α≤n+1,m<β≤m+1 其中,m>1,n>m+1,也即考慮以下邊值問題

此時(shí),仍可以通過拉普拉斯變換得到解的表達(dá)式,但暫時(shí)未能得到類似引理2中格林函數(shù)的性質(zhì).

3 實(shí)例

考慮下列分?jǐn)?shù)階微分方程：

其中

解

綜上，應(yīng)用定理1可知邊值問題式(11)至少有一個(gè)正解.