李小偉，高清冉

(濟(jì)源職業(yè)技術(shù)學(xué)院 機(jī)電工程系，河南 濟(jì)源 459000)

汽車懸架系統(tǒng)的控制問題一直是自動(dòng)控制技術(shù)研究的一個(gè)典型的問題，控制的主要目標(biāo)是汽車在不同行駛道路環(huán)境下，獲得較好的機(jī)動(dòng)性、平穩(wěn)性。懸架系統(tǒng)在汽車中的主要任務(wù)是將車身和車輪連接在一起，通過彈簧和阻尼元件在減震的同時(shí)傳遞力和力矩。車輪和車身由彈性元件連接在一起，彈性元件一般為彈簧，主要作用是在路面不平引起汽車顛簸時(shí)進(jìn)行減震。懸架系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能決定了汽車行駛在不同地形道路上汽車的快速機(jī)動(dòng)性和良好的舒適性[1]，因此，本文以單位階躍信號(hào)作為激勵(lì)模擬顛簸路面，建立動(dòng)力學(xué)方程，借助于MATLAB計(jì)算機(jī)仿真技術(shù)，對(duì)懸架系統(tǒng)進(jìn)行時(shí)域動(dòng)態(tài)性能分析，通過仿真結(jié)果動(dòng)態(tài)的分析比較，選擇優(yōu)化后的懸架系統(tǒng)參數(shù)。汽車懸架系統(tǒng)一般由彈性元件、阻尼器和導(dǎo)向機(jī)構(gòu)(車輪)三部分組成，并支持車身、彈性元件連接車輪和車廂，實(shí)現(xiàn)減震、緩沖和導(dǎo)向的作用，改善乘坐感受。圖1為汽車一個(gè)車輪的懸架系統(tǒng)(1/4懸架)物理模型[2]。

圖1 懸架系統(tǒng)物理模型

一、懸架系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型

(一)二階系統(tǒng)模型

懸架系統(tǒng)連接的汽車一般有四個(gè)輪子，本文在進(jìn)行分析時(shí)采用1/4車輛懸架物理模型來進(jìn)行分析。這里我們選定模擬一個(gè)車輪而忽略其他車輪響應(yīng)的單自由度系統(tǒng)，根據(jù)牛頓定律進(jìn)行數(shù)學(xué)建模，建立動(dòng)力學(xué)方程，最終其數(shù)學(xué)模型為一個(gè)二階系統(tǒng)[3]：

(1)

其中f(t)是地面力，m是1/4車輛懸架物理模型的質(zhì)量，b是阻尼器阻尼系數(shù)，k是彈性元件常數(shù)，y為從平衡位置開始的位移量。本次研究模型中不包含汽車輪子的質(zhì)量和車胎的動(dòng)態(tài)特性。由于許多廠商采用英制單位規(guī)定產(chǎn)品，故本例使用英制單位。若整個(gè)車的重量約為2000磅(lb)，汽車有四個(gè)輪子，本文采用的是1/4車輛懸架模型，因此總質(zhì)量m=500 lb。

為了對(duì)顛簸道路狀況下的方案進(jìn)行評(píng)價(jià)，本文選用單位階躍信號(hào)來表示顛簸路面的情況，將不同道路狀態(tài)模擬成幅值為x0的地面階躍輸入[4]。

(2)

式(1)中的地面力用輸入信號(hào)替代得：

(3)

二階系統(tǒng)階躍響應(yīng)動(dòng)態(tài)特性由特征方程根決定，對(duì)動(dòng)力學(xué)方程進(jìn)行Laplace變換得到其傳遞函數(shù)：

(4)

二階系統(tǒng)的特征方程為：

ms2+bs+k=0

(5)

方程特征根就是系統(tǒng)的極點(diǎn)，即

(6)

(二)汽車懸架系統(tǒng)模型的根

根據(jù)汽車懸架系統(tǒng)模型動(dòng)力學(xué)方程之根的阻尼情況，對(duì)無阻尼、臨界阻尼、欠阻尼和過阻尼四種情況進(jìn)行討論。

1.無阻尼系統(tǒng)

此時(shí)阻尼器的阻尼系數(shù)b=0，系統(tǒng)中沒有阻尼，懸架系統(tǒng)模型簡(jiǎn)化質(zhì)量-彈簧系統(tǒng)，對(duì)應(yīng)的位移量輸出為：

y(t)=Acosωnt+Bsinωnt

(7)

該輸出是正弦和余弦疊加的等幅振蕩。

2.臨界阻尼系統(tǒng)

阻尼比ξ=1，阻尼系數(shù)b≠0，系統(tǒng)中存在阻尼，對(duì)應(yīng)的位移量輸出為：

y(t)=(A+Bt)e-ωnt

(8)

此時(shí)的阻尼系數(shù)：

(9)

同時(shí)求出非臨界阻尼系統(tǒng)的阻尼比：

(10)

3.欠阻尼系統(tǒng)(0<ξ<1)

對(duì)應(yīng)的位移量輸出為：

y(t)=e-ξωnt(Acosωdt+Bsinωdt)

(11)

(12)

位移量輸出與系統(tǒng)的阻尼比、振蕩頻率、位移量A和B有關(guān)[5]。

上述位移量輸出中A和B都是由彈簧初始條件、位移和偏移量確定的常數(shù)。

二、懸架系統(tǒng)的參數(shù)分析優(yōu)化

不同道路上懸架系統(tǒng)的減震效果及穩(wěn)定性，是評(píng)價(jià)駕乘環(huán)境的動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)的重要依據(jù)之一。動(dòng)態(tài)性能在自動(dòng)控制理論中常用的分析方法有兩種：一是階躍響應(yīng)時(shí)域分析法，二是采用正弦輸入的頻域法進(jìn)行分析[6]。本文采用單位階躍響應(yīng)時(shí)域分析法，在給出合適的彈簧常數(shù)k和阻尼系數(shù)b的基礎(chǔ)上，對(duì)懸架系統(tǒng)的超調(diào)量、上升時(shí)間等表征快速性和穩(wěn)定性的參數(shù)進(jìn)行分析評(píng)價(jià)。

表1 備選方案表

表2 參數(shù)表

從阻尼比ξ看出，每個(gè)方案的ξ均小于1的值，因此三個(gè)備選方案都屬于欠阻尼系統(tǒng)響應(yīng)。二階系統(tǒng)的應(yīng)用在自動(dòng)控制技術(shù)中頗為普遍，而且一些高階系統(tǒng)在分析設(shè)計(jì)時(shí)，在一定條件下也會(huì)簡(jiǎn)化為二階系統(tǒng)。隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展，用計(jì)算機(jī)仿真技術(shù)對(duì)自動(dòng)控制技術(shù)進(jìn)行輔助設(shè)計(jì)變得屢見不鮮。本文采用MATLAB軟件對(duì)懸架系統(tǒng)二階系統(tǒng)進(jìn)行分析。

標(biāo)準(zhǔn)的二階系統(tǒng)傳遞函數(shù)為：

(13)

將三組備選方案的參數(shù)帶入進(jìn)行分析，并通過MATLAB編程繪制階躍響應(yīng)曲線，備選方案?jìng)鬟f函數(shù)及MATLAB實(shí)現(xiàn)語(yǔ)句如表3所示[9]。

表3 MATLAB實(shí)現(xiàn)語(yǔ)句

MATLAB編程繪制的時(shí)域響應(yīng)曲線仿真結(jié)果如圖2、圖3、圖4所示。

圖2 方案1仿真結(jié)果

圖3 方案2仿真結(jié)果

圖4 方案3仿真結(jié)果

從仿真曲線可以得出，動(dòng)態(tài)參數(shù)的超調(diào)量、上升時(shí)間、最大時(shí)間和穩(wěn)態(tài)時(shí)間，列入表4進(jìn)行對(duì)比分析。

表4 動(dòng)態(tài)參數(shù)表

備選方案一：其超調(diào)量為53%，表征系統(tǒng)的瞬態(tài)過程的震蕩幅度較大；在階躍響應(yīng)1 s后達(dá)到穩(wěn)態(tài)值(允許誤差Δ=2%)；第一次達(dá)到輸出穩(wěn)態(tài)值的時(shí)間為0.09 s。

備選方案二：其超調(diào)量為8%，表征系統(tǒng)的瞬態(tài)過程的震蕩幅度?。辉陔A躍響應(yīng)0.482 s后達(dá)到穩(wěn)態(tài)值(允許誤差Δ=2%)；第一次達(dá)到輸出穩(wěn)態(tài)值的時(shí)間為0.23 s。

備選方案三：其超調(diào)量為25%，介于方案一和方案二之間；在階躍響應(yīng)0.877 s后達(dá)到穩(wěn)態(tài)值(允許誤差Δ=2%)；第一次達(dá)到輸出穩(wěn)態(tài)值的時(shí)間為0.23 s。

以上比較分析可以看出，備選方案二的震蕩幅度最小，懸架系統(tǒng)能有效抑制不同道路情況的顛簸；響應(yīng)時(shí)間最短，系統(tǒng)的快速響應(yīng)性能好，所以備選方案二是比較好的方案，此時(shí)懸架系統(tǒng)舒適性最好。

三、結(jié)語(yǔ)

汽車懸架(1/4懸架)系統(tǒng)是一個(gè)典型的二階系統(tǒng)。本文以單位階躍信號(hào)作為激勵(lì)，根據(jù)懸架系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程，從分析特征方程的根出發(fā)，結(jié)合計(jì)算機(jī)仿真技術(shù)對(duì)單位階躍信號(hào)對(duì)懸架系統(tǒng)參數(shù)的影響進(jìn)行分析，確定了備選方案二是最優(yōu)方案。此時(shí)懸架系統(tǒng)的舒適性、平穩(wěn)性和機(jī)動(dòng)性的性能達(dá)到最佳狀態(tài)。