徐英杰， 張 敏， 張文俊， 吳癸周， 郭福成

(國(guó)防科技大學(xué)電子科學(xué)學(xué)院， 湖南長(zhǎng)沙 410073)

0 引言

星載無(wú)源定位系統(tǒng)以其偵察范圍廣、不受天氣氣候影響、觀測(cè)站是運(yùn)動(dòng)的等優(yōu)點(diǎn)而受到國(guó)內(nèi)外學(xué)者的廣泛關(guān)注，目前已被普遍應(yīng)用于軍事和民用領(lǐng)域。星載無(wú)源定位技術(shù)中常用的觀測(cè)量有到達(dá)時(shí)間差(Time Difference of Arrival，TDOA)、到達(dá)頻率差(Frequency Difference of Arrival，F(xiàn)DOA)和到達(dá)角(Angle of Arrival，AOA)等，其中多星時(shí)差頻差定位憑借其可瞬時(shí)定位及高定位精度的優(yōu)勢(shì)，在對(duì)雷達(dá)等脈沖輻射源的定位中應(yīng)用更加廣泛。

國(guó)內(nèi)外的學(xué)者對(duì)多星時(shí)差頻差定位算法進(jìn)行了大量的研究,但以上研究?jī)H針對(duì)單次定位進(jìn)行改進(jìn)且衛(wèi)星使用數(shù)量多為三顆以上。文獻(xiàn)[7]指出衛(wèi)星定位系統(tǒng)在過(guò)頂期間會(huì)多次截獲到地球上靜止輻射源發(fā)出的信號(hào)，而有效利用多次截獲的數(shù)據(jù)進(jìn)行融合并定位可以提高定位精度并減少成本。

針對(duì)多次觀測(cè)融合算法的研究，賈興江等人針對(duì)雙/多無(wú)人機(jī)測(cè)角頻差系統(tǒng)提出了一種融合多次觀測(cè)數(shù)據(jù)的定位算法，該算法在單次定位的基礎(chǔ)上，引入了批處理加權(quán)最小二乘融合算法以及序貫加權(quán)最小二乘融合算法，實(shí)現(xiàn)了多次觀測(cè)信息的有效融合。張莉等人提出了一種在觀測(cè)站存在誤差的情況下，運(yùn)動(dòng)雙站對(duì)巡航目標(biāo)的時(shí)差頻差定位算法，該算法有效融合多次觀測(cè)的數(shù)據(jù)并達(dá)到了克拉美羅下界(Cramer-Rao Lower Bound，CRLB)。文獻(xiàn)[7]針對(duì)三星編隊(duì)過(guò)頂期間對(duì)輻射源多次觀測(cè)，提出了一種基于高斯-牛頓(Gauss-Newton，G-N)迭代的三星時(shí)差定位融合算法，該算法僅使用多次觀測(cè)的時(shí)差信息和輻射源高程信息進(jìn)行定位。實(shí)驗(yàn)證明該算法定位性能達(dá)到了CRLB且優(yōu)于現(xiàn)有的位置合批處理方法。

本文將在時(shí)差定位的基礎(chǔ)上融入頻差信息，提出一種將多次觀測(cè)的時(shí)差頻差數(shù)據(jù)與高程信息融合的雙星時(shí)差頻差定位算法。具體思路為將不同時(shí)刻下觀測(cè)到的時(shí)差信息和頻差信息融合并結(jié)合輻射源高程信息構(gòu)建代價(jià)方程，利用G-N迭代求解非線性最小二乘問(wèn)題，迭代初值可以通過(guò)單次定位粗略得出，在使用相同數(shù)據(jù)的條件下，獲得比現(xiàn)有位置合批處理方法更高的定位精度。

1 定位數(shù)學(xué)模型

將衛(wèi)星1作為參考衛(wèi)星，則雙星在時(shí)刻下觀測(cè)到的衛(wèi)星2與1之間的TDOA定義為21,，即

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

2 位置合批的融合算法

2.1 CRLB

由于考慮衛(wèi)星存在誤差的情況，因此未知參數(shù)=[T,T]，令=[,]，則

ln(;)=ln(;)+ln(;)=

(6)

式中為常數(shù)。則未知參數(shù)的CRLB為

(7)

式中，

經(jīng)計(jì)算可得輻射源的CRLB為

()=+

(-)

(8)

2.2 位置合批處理

工程上現(xiàn)有的位置合批處理方法主要有三種：一是取理論上的最優(yōu)單次定位結(jié)果。假設(shè)在衛(wèi)星過(guò)頂期間可以在個(gè)時(shí)刻截獲到輻射源信號(hào)，則將時(shí)刻的單次雙星時(shí)差頻差定位理論誤差設(shè)為(=1,2,…,)，理論上的最優(yōu)單次定位結(jié)果表示為

(9)

(10)

(11)

(12)

以上三種位置合批處理方法從理論上講并不是最優(yōu)的數(shù)據(jù)融合方法：理論上的最優(yōu)單次定位結(jié)果僅使用了一次觀測(cè)的數(shù)據(jù)；所有定位點(diǎn)的直接平均結(jié)果沒(méi)有考慮衛(wèi)星編隊(duì)在不同位置下的定位精度是不同的；所有定位點(diǎn)的加權(quán)平均結(jié)果所使用的加權(quán)矩陣是單次定位所得。為此下文介紹了一種融合多次觀測(cè)數(shù)據(jù)的理論最優(yōu)定位算法。

2.3 基于G-N迭代的時(shí)差頻差定位融合算法

本文算法參考文獻(xiàn)[10]給出了一種僅需估計(jì)的加權(quán)最小二乘算法，其表達(dá)式如下：

(13)

-1,,=1,…,,…,

(14)

(15)

(16)

式中，為雅克比矩陣，

(17)

迭代初值可選取個(gè)觀測(cè)時(shí)刻中的任一時(shí)刻得到的單次定位結(jié)果，其單次定位求解可參考文獻(xiàn)[11]。通過(guò)球面迭代可將算法從正球面模型轉(zhuǎn)換到WGS-84橢球模型來(lái)提高定位準(zhǔn)確性。

3 仿真分析

本節(jié)通過(guò)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證上述算法。令輻射源位置的經(jīng)緯度分別為1178° W和196° N，其高程為零。用于實(shí)驗(yàn)的衛(wèi)星星歷點(diǎn)數(shù)據(jù)基于STK軟件生成，將同軌雙星的軌道高度設(shè)為1 100 km，軌道傾角設(shè)為634°，星間距設(shè)為104 km，軌道歷元時(shí)刻規(guī)定從2020年8月29日4時(shí)開(kāi)始，衛(wèi)星采樣間隔設(shè)為1 s，整軌取960個(gè)星歷點(diǎn)數(shù)據(jù)作為樣本。

將時(shí)刻下觀測(cè)的時(shí)差頻差誤差協(xié)方差陣,設(shè)為

(18)

(19)

圖1 衛(wèi)星星下點(diǎn)軌跡和各種方法的定位點(diǎn)分布

通過(guò)計(jì)算位置估計(jì)的均方根誤差(Root Mean Square Error，RMSE)來(lái)比較本文提出的算法和工程上常用的位置合批處理方法之間的性能，RMSE表達(dá)如下：

(20)

首先考慮理想情況下的電磁環(huán)境，這里的理想環(huán)境指衛(wèi)星每秒都能截獲到輻射源信號(hào)，測(cè)量誤差和衛(wèi)星誤差依然存在。我們?nèi)∪诤洗螖?shù)分別取30，60，120，240，320，480和960次，即對(duì)得到的960個(gè)星歷樣本每間隔960s進(jìn)行一次均勻采樣，用采樣所得星歷點(diǎn)數(shù)據(jù)進(jìn)行融合定位，比較不同融合次數(shù)下各種位置合批處理方法的定位精度，實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖2所示。

圖2 理想電磁環(huán)境各種方法的定位精度對(duì)比

通過(guò)實(shí)驗(yàn)結(jié)果可以得出，在相同條件下，本文算法和位置加權(quán)平均都能達(dá)到CRLB，隨著融合次數(shù)逐漸增多，本文算法的性能開(kāi)始優(yōu)于位置加權(quán)平均，而位置加權(quán)平均性能開(kāi)始偏離CRLB；位置直接平均的性能要次于前兩種方法，但是在融合次數(shù)較多的情況下要優(yōu)于最優(yōu)單次定位。

但是在實(shí)際工程應(yīng)用中，空間電磁環(huán)境是復(fù)雜多變的，衛(wèi)星過(guò)頂期間可能僅僅截獲幾次輻射源信號(hào)，因此這里取融合次數(shù)分別為2，3，4，5，6，8和10次，同樣對(duì)得到的960個(gè)星歷樣本每間隔960/s進(jìn)行一次均勻采樣，用采樣所得星歷點(diǎn)數(shù)據(jù)進(jìn)行融合定位，同樣比較不同融合次數(shù)下各種位置合批方法的定位精度，實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖3所示。

圖3 復(fù)雜電磁環(huán)境各種方法的定位精度對(duì)比

通過(guò)實(shí)驗(yàn)結(jié)果可以得出，在相同條件下，本文算法和位置加權(quán)平均的性能都能達(dá)到CRLB且優(yōu)于位置直接平均和最優(yōu)單次定位；最優(yōu)單次定位的性能一開(kāi)始優(yōu)于位置直接平均，當(dāng)融合次數(shù)大于5次之后，位置直接平均的性能開(kāi)始優(yōu)于最優(yōu)單次定位。

4 結(jié)束語(yǔ)

本文提出了一種基于G-N迭代的雙星時(shí)差頻差定位融合算法，有效地利用多次觀測(cè)的時(shí)差頻差和高程信息進(jìn)行定位。通過(guò)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證，本文算法在理想電磁環(huán)境和復(fù)雜電磁環(huán)境下的定位精度要優(yōu)于工程上現(xiàn)有的最優(yōu)單次定位、位置直接平均和位置加權(quán)平均等位置合批處理方法。