楊葉茜，王建華，商執(zhí)億

(西安工業(yè)大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院，西安 710021)

采用光學(xué)法測(cè)量齒輪齒廓，由于測(cè)量范圍和測(cè)量精度的矛盾，在有限視野下可獲得高精度的齒廓數(shù)據(jù)點(diǎn)，但因測(cè)量視野限制導(dǎo)致無法準(zhǔn)確地獲得被測(cè)齒輪回轉(zhuǎn)中心的位置。采用旁置式測(cè)量機(jī)測(cè)量大齒輪的齒廓，同樣可獲得高精度的齒廓數(shù)據(jù)點(diǎn)，但仍無法準(zhǔn)確地將獲得的數(shù)據(jù)點(diǎn)轉(zhuǎn)換到以被測(cè)齒輪回轉(zhuǎn)中心為原點(diǎn)的工件坐標(biāo)系上。

由于坐標(biāo)系建立不準(zhǔn)確，直接影響齒廓測(cè)量結(jié)果的準(zhǔn)確性，準(zhǔn)確地將測(cè)量機(jī)的坐標(biāo)原點(diǎn)建立在被測(cè)齒輪回轉(zhuǎn)軸線上，是高精度齒廓測(cè)量的必要條件。為準(zhǔn)確地建立測(cè)量坐標(biāo)系，諸多學(xué)者開展相關(guān)研究。文獻(xiàn)[1]提取齒輪內(nèi)孔亞像素邊緣輪廓的坐標(biāo)點(diǎn)，利用最小二乘原理，給出齒輪中心坐標(biāo)作為測(cè)量基準(zhǔn)。文獻(xiàn)[2-3]提出一種用三個(gè)已知直徑的圓環(huán)獲取齒輪中心孔端面圓心的方法，將此圓心作為測(cè)量漸開線齒廓和徑向圓跳動(dòng)的基準(zhǔn)。文獻(xiàn)[1-3]均能給出準(zhǔn)確的坐標(biāo)系，但獲得坐標(biāo)系的過程需要測(cè)得整個(gè)齒輪端面數(shù)據(jù)，位于被測(cè)齒廓上的測(cè)量點(diǎn)僅是整個(gè)端面測(cè)量點(diǎn)的一小部分，被測(cè)齒輪的直徑如不是足夠小，則無法獲得高精度的齒廓數(shù)據(jù)。文獻(xiàn)[4-5]根據(jù)標(biāo)定圓盤上提取的一段短圓弧的坐標(biāo)點(diǎn)，采用半徑約束最小二乘圓，求解圓弧中心坐標(biāo)建立坐標(biāo)系。該方法雖能有效提高坐標(biāo)系建立精度，但總是存在一定量的坐標(biāo)系建立誤差。文獻(xiàn)[6-9]利用激光跟蹤儀，通過建立被測(cè)齒輪的端平面、基準(zhǔn)軸線以及旁置式測(cè)量機(jī)的坐標(biāo)系，確定被測(cè)齒輪和旁置式測(cè)量機(jī)的位置，建立坐標(biāo)轉(zhuǎn)換關(guān)系。文獻(xiàn)[10]提出將標(biāo)準(zhǔn)量塊放置于被測(cè)齒輪上部空間適當(dāng)位置，得到標(biāo)準(zhǔn)量塊的一個(gè)測(cè)量面中心點(diǎn)位置后，調(diào)整回轉(zhuǎn)平臺(tái)180°，得到另一個(gè)測(cè)量面中心點(diǎn)位置，通過兩個(gè)中心點(diǎn)位置計(jì)算齒輪回轉(zhuǎn)中心位置，以此位置作為原點(diǎn)建立坐標(biāo)系。然而，文獻(xiàn)[6-10]所述方法均存在不同程度的坐標(biāo)系建立誤差。文獻(xiàn)[11-12]建立在已知基圓半徑條件下的非線性最小二乘方程，通過多條齒廓測(cè)量坐標(biāo)數(shù)據(jù)求解基圓圓心坐標(biāo)。該方法同樣存在與文獻(xiàn)[4-5]類似的問題。

為有效減小或消除坐標(biāo)系建立誤差對(duì)齒廓測(cè)量精度的影響，文中通過測(cè)量漸開線樣板驗(yàn)證坐標(biāo)系建立的準(zhǔn)確性。如存在坐標(biāo)系建立誤差，可根據(jù)漸開線樣板的測(cè)量數(shù)據(jù)，求出漸開線參數(shù)，得到坐標(biāo)系建立誤差，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)測(cè)量坐標(biāo)系的校準(zhǔn)。

1 漸開線參數(shù)的求解模型與算法

1.1 漸開線參數(shù)的分析

如圖1所示，在所建立的測(cè)量坐標(biāo)系中，測(cè)取漸開線樣板坐標(biāo)(xi,yi)。對(duì)應(yīng)齒廓總偏差Fα的計(jì)算為

(1)

式中：Ei為齒廓在每個(gè)測(cè)量點(diǎn)的偏差；rb為漸開線樣板基圓半徑的檢定值；中間變量λi是展開角;ψ為漸開線在測(cè)量坐標(biāo)系中的起始角。

圖1 漸開線樣板坐標(biāo)

如評(píng)定結(jié)果大于樣板檢定值，說明含有坐標(biāo)系建立誤差，需要對(duì)測(cè)量坐標(biāo)系進(jìn)行修正。假設(shè)在X軸方向上的坐標(biāo)系建立誤差為A，在Y軸方向上的坐標(biāo)系建立誤差為B，齒廓偏差Ei的計(jì)算發(fā)生變化為

(2)

基圓圓心坐標(biāo)(A,B)是待求解的漸開線參數(shù)。分析式(1)和式(2)可知起始角ψ若不準(zhǔn)確，雖不影響齒廓偏差Ei的評(píng)定結(jié)果，但會(huì)影響采用最小二乘法求解基圓圓心坐標(biāo)(A,B)的求解結(jié)果，起始角ψ需作為待求解的漸開線參數(shù)。

1.2 求解模型與算法

文中提出基于齒廓偏差Ei平方和最小的原則，建立求解基圓圓心坐標(biāo)(A,B)和起始角ψ的最小二乘模型，可得最小二乘模型的目標(biāo)函數(shù)為

(3)

對(duì)函數(shù)最小值求解，一般令被求函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)為零，求出未知參數(shù)帶回被求函數(shù)，得到被求函數(shù)最小值。令P的各個(gè)偏導(dǎo)數(shù)為0，可得方程組，如式(4)，對(duì)此方程組求解，可獲得漸開線參數(shù)的最優(yōu)解Xk，最優(yōu)解Xk就是坐標(biāo)系建立誤差為

Fm(Xk)=0,(m=1,2,3)。

(4)

目標(biāo)函數(shù)是無約束非線性優(yōu)化函數(shù)，所得到的式(4)是非線性的方程組，一般是將其線性化再求解。將齒廓偏差Ei線性化，線性化后的齒廓偏差Ei為

Ei=fA·A+fB·B+fψ·ψ+f0，

(5)

f0=Ei|X0-A0·fA-B0·fB-ψ0·fψ；

X0=(A0,B0,ψ0)T。

其中fA、fB、fψ分別為齒廓偏差Ei的3個(gè)偏導(dǎo)數(shù)在X0處的值;f0為齒廓偏差Ei線性化后的所有常數(shù)項(xiàng)；X0為迭代初值。假設(shè)坐標(biāo)系建立誤差屬于小誤差，在小誤差條件下，可取漸開線參數(shù)的初值為零。

齒廓偏差Ei線性化后，非線性式(4)則轉(zhuǎn)換為式(6)所示的線性方程組。

M·Xk=b，

(6)

式中：

一般情況下，該式(6)是病態(tài)的。其病態(tài)程度用系數(shù)矩陣M的條件數(shù)cond(M)∞來表示，條件數(shù)cond(M)∞愈大，方程組的病態(tài)程度愈嚴(yán)重。對(duì)系數(shù)矩陣M分析可知降低系數(shù)矩陣M的階數(shù)，即減少待求漸開線參數(shù)的個(gè)數(shù)，條件數(shù)cond(M)∞就會(huì)顯著減小。

比較基圓圓心坐標(biāo)(A,B)和起始角ψ，可得將起始角ψ作為已知參數(shù)，條件數(shù)cond(M)∞最小，這時(shí)式(6)的系數(shù)矩陣M變?yōu)?階矩陣。隨著給定起始角ψ的不同，求解2階矩陣，得到不同的基圓圓心坐標(biāo)(A,B)，以齒廓總偏差Fα最小為優(yōu)化目標(biāo)，求解漸開線參數(shù)的最優(yōu)解Xk。這樣就將3階病態(tài)矩陣的求解，轉(zhuǎn)化成2階矩陣和1維優(yōu)化算法的求解。

2 漸開線參數(shù)仿真實(shí)驗(yàn)

2.1 仿真實(shí)驗(yàn)過程

利用漸開線函數(shù)，生成漸開線樣板的測(cè)量數(shù)據(jù)(xi,yi)，該數(shù)據(jù)是在理論的漸開線上疊加齒廓偏差Ei和坐標(biāo)系建立誤差X=(A,B,ψ)為

(7)

漸開線樣板基圓半徑rb的取值，樣板精度級(jí)別2級(jí)對(duì)應(yīng)的齒廓形狀偏差最大允許值P的取值，以及展開角λi的終點(diǎn)λn的取值[13]，見表1。

表1 標(biāo)準(zhǔn)樣板參數(shù)

為避免改變理想的漸開線參數(shù)值，造成無法將求解得到的最優(yōu)漸開線參數(shù)Xk和理想漸開線參數(shù)X進(jìn)行對(duì)比，二者之差ΔX=|Xk-X|，齒廓偏差Ei選擇加入多個(gè)周期的余弦函數(shù)值，如式(8)，在此區(qū)間內(nèi)等間距取n=10 000個(gè)值，即數(shù)據(jù)采樣個(gè)數(shù)n=10 000。

(8)

為避免樣板有些坐標(biāo)點(diǎn)可能因基圓圓心坐標(biāo)(A,B)的初值位于基圓內(nèi)，造成漸開線參數(shù)無實(shí)數(shù)解，取展開角λi的起點(diǎn)λ1=5.0°，在此區(qū)間內(nèi)等展開角取采樣個(gè)數(shù)n=10 000。

若不存在坐標(biāo)系建立誤差，即漸開線參數(shù)A=0.0000 mm、B=0.0000 mm、ψ=0.0″，以樣板3為例，可得在所測(cè)樣板區(qū)間內(nèi)的齒廓偏差Ei，如圖2所示。

圖2 不存在坐標(biāo)系建立誤差的仿真評(píng)定結(jié)果

從圖2可看出，齒廓總偏差Fα=2.0 μm、齒廓傾斜偏差fHα=0.0 μm、齒廓形狀偏差ffα=2.0 μm，該偏差與疊加齒廓偏差Ei一致。

加入坐標(biāo)系建立誤差，取漸開線參數(shù)A=0.100 0 mm、B=0.100 0 mm、ψ=100.0″。

根據(jù)式(7)生成漸開線樣板坐標(biāo)(xi,yi)，對(duì)此樣板坐標(biāo)(xi,yi)進(jìn)行漸開線參數(shù)的求解。

2.2 坐標(biāo)系建立誤差對(duì)測(cè)量結(jié)果的影響

取漸開線參數(shù)的初值A(chǔ)0=0.000 0 mm、B0=0.000 0 mm、ψ0=0.0″。選擇樣板3生成的樣板坐標(biāo)(xi,yi)，不進(jìn)行漸開線參數(shù)的求解，直接用漸開線參數(shù)初值評(píng)定漸開線樣板，可得在所測(cè)樣板區(qū)間內(nèi)的齒廓偏差Ei，如圖3所示。

圖3 仿真數(shù)據(jù)的直接評(píng)定結(jié)果

從圖3可看出，齒廓總偏差Fα=68.5 μm、齒廓傾斜偏差fHα=-68.7 μm、齒廓形狀偏差ffα=4.0 μm，該偏遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于圖2給定的齒廓偏差，說明存在坐標(biāo)系建立誤差。下面將說明根據(jù)漸開線樣板的測(cè)量數(shù)據(jù)，求出坐標(biāo)系建立誤差的過程。

2.3 模型的求解算法對(duì)比

將基圓圓心坐標(biāo)(A,B)和起始角ψ作為未知參數(shù)直接求解時(shí)，系數(shù)矩陣M是3階矩陣，迭代終止條件是3個(gè)漸開線參數(shù)在亞微米級(jí)不變。可得不同漸開線樣板的漸開線參數(shù)求解結(jié)果見表2。

表2 直接求解結(jié)果

從表2可得出，max(cond(M)∞)=1.4×1010，直接求解的條件數(shù)很大，求解結(jié)果max(ΔA)=0.001 1 mm，max(ΔB)=0.004 3 mm，max(rb·Δψ)=0.004 5 mm，與理想的漸開線參數(shù)相差很大。說明直接求解算法的求解誤差比較大。

表3(a)是樣板1的求解結(jié)果，最優(yōu)漸開線參數(shù)Ak=0.100 0 mm、Bk=0.100 0 mm、ψk=100.0″；表3(b)是樣板2的求解結(jié)果，最優(yōu)漸開線參數(shù)Ak=0.100 0 mm、Bk=0.100 0 mm、ψk=100.0″表3(c)是樣板3的求解結(jié)果，最優(yōu)漸開線參數(shù)Ak=0.100 0 mm、Bk=0.100 0 mm、ψk=100.0″；表3(d)是樣板4的求解結(jié)果，最優(yōu)漸開線參數(shù)Ak=0.100 0 mm、Bk=0.100 0 mm、ψk=100.0″。

可得max(cond(M)∞)=167.3，優(yōu)化求解的條件數(shù)相較于直接求解的條件數(shù)減小，求解結(jié)果max(ΔA)=0.000 0 mm，max(ΔB)=0.000 0 mm，max(rb·Δψ)=0.000 0 mm，上述4種不同規(guī)格漸開線樣板數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)漸開線參數(shù)的求解精度均為亞微米級(jí)。說明優(yōu)化求解算法的求解誤差非常小。

表3 優(yōu)化求解結(jié)果

(b)樣板2

(c)樣板3

(d)樣板4

2.4 仿真實(shí)驗(yàn)的坐標(biāo)系校準(zhǔn)

以樣板3為例，取表3(c)中漸開線參數(shù)求解結(jié)果，修正測(cè)量坐標(biāo)系，評(píng)定漸開線樣板，可得齒廓總偏差Fα=2.0 μm、齒廓傾斜偏差fHα=0.0 μm、齒廓形狀偏差ffα=2.0 μm，該偏差與圖2給定的齒廓偏差一致。證明優(yōu)化求解算法的正確性，采用校準(zhǔn)后的測(cè)量坐標(biāo)系，可獲得準(zhǔn)確的齒廓測(cè)量結(jié)果。

3 漸開線參數(shù)實(shí)測(cè)實(shí)驗(yàn)

3.1 實(shí)測(cè)實(shí)驗(yàn)過程

利用非相干線結(jié)構(gòu)光法，測(cè)量漸開線樣板的數(shù)據(jù)(xi,yi)。被測(cè)漸開線樣板，如圖4所示。

圖4 被測(cè)漸開線樣板

此漸開線樣板的參數(shù)見表4。

表4 實(shí)測(cè)樣板參數(shù)

非相干線結(jié)構(gòu)光法測(cè)量系統(tǒng)主要包括：非相干光源、匯聚光路、裝夾裝置和圖像采集系統(tǒng)四部分，如圖5所示。

圖5 非相干線結(jié)構(gòu)光測(cè)量系統(tǒng)

其中非相干光源由LED光源和狹縫裝置組成，用于產(chǎn)生非相干線結(jié)構(gòu)光。匯聚光路由透鏡組組成，主要實(shí)現(xiàn)光條寬度的調(diào)節(jié)。裝夾裝置由裝夾機(jī)構(gòu)、水平位移臺(tái)、旋轉(zhuǎn)位移臺(tái)和俯仰臺(tái)組成，主要實(shí)現(xiàn)工件的裝夾、移動(dòng)、旋轉(zhuǎn)和微調(diào)。圖像采集系統(tǒng)由相機(jī)、鏡頭和移動(dòng)臺(tái)組成，相機(jī)選用510萬像素CCD相機(jī)，鏡頭選用畸變系數(shù)小的雙遠(yuǎn)心鏡頭，移動(dòng)臺(tái)可以控制圖像采集系統(tǒng)沿水平和垂直方向移動(dòng)。此測(cè)量系統(tǒng)的輪廓測(cè)量精度約為4 μm，橫向測(cè)量范圍最大為10 mm，工作距離為63 mm，景深為1 mm。

實(shí)驗(yàn)原理是非相干光源發(fā)出的球面光經(jīng)狹縫變?yōu)榫€結(jié)構(gòu)光，通過匯聚光路變細(xì)后的線結(jié)構(gòu)光照射在被測(cè)工件表面上，經(jīng)被測(cè)表面反射后成像于CCD的光敏接受元件上，通過測(cè)得的像點(diǎn)位移信息，計(jì)算出被測(cè)工件表面的輪廓信息。

由于被測(cè)漸開線樣板的齒廓長(zhǎng)度大于非相干線結(jié)構(gòu)光法的橫向測(cè)量范圍，實(shí)驗(yàn)只選取其中一段齒廓進(jìn)行測(cè)量。測(cè)得漸開線樣板坐標(biāo)(xi,yi)，對(duì)此樣板坐標(biāo)(xi,yi)進(jìn)行漸開線參數(shù)的求解。

3.2 漸開線參數(shù)初值的選取

該實(shí)驗(yàn)僅測(cè)得有限視野下的漸開線樣板坐標(biāo)(xi,yi)，數(shù)據(jù)采樣個(gè)數(shù)n=1 621，未測(cè)得被測(cè)齒輪回轉(zhuǎn)中心坐標(biāo)。提出通過移動(dòng)和旋轉(zhuǎn)樣板坐標(biāo)(xi,yi)，將其與理論漸開線對(duì)比，使?jié)u開線參數(shù)的初值為A0=0.000 0 mm、B0=0.000 0 mm、ψ0=0.0″。具體步驟如下：

① 漸開線樣板數(shù)據(jù)首尾兩點(diǎn)的連線，記為線段CD；樣板數(shù)據(jù)跟隨線段CD旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)至線段CD與X軸平行，繪制樣板數(shù)據(jù)構(gòu)成的曲線；

② 樣板數(shù)據(jù)中與線段CD距離最遠(yuǎn)的數(shù)據(jù)點(diǎn)，記作點(diǎn)E；過點(diǎn)E作射線EF，射線EF與X軸的夾角為τ1=tan(α)，α是被測(cè)樣板分度圓壓力角，點(diǎn)F在靠近基圓圓心方向取值；過點(diǎn)E作圓S，圓S的半徑為r1=r，r是被測(cè)樣板分度圓半徑；得到射線EF和圓S的交點(diǎn)位置O；

③ 以點(diǎn)O作為基圓圓心，-τ1作為漸開線起始角，繪制基圓G和理想漸開線；

④ 利用觀察法，通過調(diào)整射線EF與X軸夾角τi和圓S的半徑ri，重復(fù)步驟②和步驟③，使理想漸開線與被測(cè)樣板曲線相重疊，記錄此時(shí)的基圓圓心O的坐標(biāo)(a,b)和漸開線起始角-τ的角度；

⑤ 將相重疊時(shí)的基圓圓心O在X軸方向上移動(dòng)-a，在Y軸方向上移動(dòng)-b，坐標(biāo)軸逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)τ。

可得初步建立的測(cè)量坐標(biāo)系，如圖6所示，粗線為被測(cè)漸開線樣板數(shù)據(jù)構(gòu)成的曲線，細(xì)線為理想的漸開線。

圖6 測(cè)量坐標(biāo)系的初步建立

3.3 漸開線參數(shù)的優(yōu)化求解

當(dāng)將起始角ψ作為已知參數(shù)優(yōu)化求解，迭代終止條件和搜索終止條件與迭代終止條件為3個(gè)漸開線參數(shù)在亞微米不變，搜索終止條件為ΔAk<5×10-4mm且ΔBk<5×10-4mm一致。

第1次求解，起始角ψ的取值范圍是[-20 000.0″,20 000.0″]，取值間距是2 000.0″；第2次求解，取值范圍是[-4 000.0″,0.0″]，取值間距是200.0″；第3次求解，取值范圍是[-1 200.0″,-800.0″]，取值間距是20.0″；第4次求解，取值范圍是[-1 020.0″,-980.0″]，取值間距是2.0″；第5次求解，取值范圍是[-1 002.0″,-998.0″]，取值間距是0.2″。可得漸開線參數(shù)求解的結(jié)果見表5。從表5可得出，求解得到的最優(yōu)漸開線參數(shù)Ak=-0.502 9 mm，Bk=0.362 2 mm，ψk=-998.8″。

表5 實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)的漸開線參數(shù)求解結(jié)果

3.4 實(shí)測(cè)實(shí)驗(yàn)的坐標(biāo)系校準(zhǔn)

取表5中漸開線參數(shù)求解結(jié)果，修正測(cè)量坐標(biāo)系，評(píng)定漸開線樣板，可得在所測(cè)樣板區(qū)間內(nèi)的齒廓偏差Ei，如圖7所示，所測(cè)樣板展開角λi的起點(diǎn)λ1=21.6°，終點(diǎn)λn=26.7°。

圖7 實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)的校準(zhǔn)評(píng)定結(jié)果

從圖7可得出，齒廓總偏差Fα=4.7 μm、齒廓傾斜偏差fHα=0.0 μm、齒廓形狀偏差ffα=4.7 μm，該偏差與此系統(tǒng)的輪廓測(cè)量精度一致。證明優(yōu)化求解算法的實(shí)用性，可獲得準(zhǔn)確的齒廓測(cè)量結(jié)果。

4 結(jié) 論

1) 測(cè)量坐標(biāo)系存在誤差的情況下，構(gòu)建求解漸開線樣板基圓圓心坐標(biāo)和漸開線起始角的模型，提出用漸開線樣板校準(zhǔn)測(cè)量坐標(biāo)系的方法。

2) 采用仿真方式生成的4種不同規(guī)格漸開線樣板數(shù)據(jù)和采用非相干線結(jié)構(gòu)光法測(cè)得的漸開線樣板數(shù)據(jù)，通過2階矩陣和1維優(yōu)化算法，求解構(gòu)建的漸開線參數(shù)模型，以齒廓總偏差最小為優(yōu)化目標(biāo)，求出漸開線參數(shù)，可獲得亞微米級(jí)的坐標(biāo)系建立精度和準(zhǔn)確的齒廓測(cè)量結(jié)果。

3) 一般校準(zhǔn)齒輪測(cè)量設(shè)備的漸開線樣板基圓半徑與被測(cè)齒輪的基圓半徑大小一致，用于校準(zhǔn)測(cè)量設(shè)備的漸開線樣板一般帶有回轉(zhuǎn)軸線，而大尺寸的高精度漸開線樣板制造難度比較大，本文建議研制一種用于大齒輪測(cè)量設(shè)備校準(zhǔn)無回轉(zhuǎn)軸線的小型漸開線樣板。