劉曉周，包圖雅

（內(nèi)蒙古民族大學(xué) 數(shù)理學(xué)院，內(nèi)蒙古 通遼 028043）

研究子流形的方法有很多種，其中一種方法是通過(guò)研究子流形上的曲線，進(jìn)而得出子流形的特征。對(duì)于子流形上曲線的研究，可以將其放到其外圍空間去考慮。對(duì)于曲面上的曲線，一般取測(cè)地線、圓等特殊曲線進(jìn)行研究，同時(shí)通過(guò)對(duì)特殊曲線上指標(biāo)的分析，能夠豐富曲面理論。

根據(jù)正則截面曲率c的值，非平坦復(fù)空間CMn(c)被分為復(fù)射影空間CPn(c)（正則截面曲率c>0）和復(fù)雙曲空間CHn(c)（正則截面曲率c<0）［1］。復(fù)射影空間中霍普夫齊性超曲面被TAKAGI［2］和KIMURA等［3］分為A型、B型、C型、D型和E型，其中A型被分為A1型和A2型［2-3］。文獻(xiàn)［4］研究了非平坦復(fù)空間中A型實(shí)超曲面（即測(cè)地球）上的圓軌道，給出了A型實(shí)超曲面的特征。文獻(xiàn)［5］通過(guò)研究K?hler流形中實(shí)超曲面上Sasaki磁場(chǎng)下二階相切軌道，給出了K?hler流形中的實(shí)超曲面的特征。文獻(xiàn)［6］研究了復(fù)射影空間中A1型實(shí)超曲面上Sasaki磁場(chǎng)下的外在圓軌道，給出了A1型實(shí)超曲面的特征。文獻(xiàn)［7］計(jì)算了復(fù)射影空間中B型實(shí)超曲面上Sasaki磁場(chǎng)下軌道的外在形狀為二階相切時(shí)，對(duì)應(yīng)的外在測(cè)地曲率和外在復(fù)撓率的值。沿著這個(gè)思路，筆者根據(jù)復(fù)射影空間中A2型實(shí)超曲面上Sasaki磁場(chǎng)下軌道的外在形狀成為圓的條件，分析了復(fù)射影空間中A2型實(shí)超曲面上Sasaki磁場(chǎng)下外在圓軌道的外在測(cè)地曲率和外在復(fù)撓率之間的關(guān)系。

1 基礎(chǔ)知識(shí)

非平坦復(fù)空間CMn(c)中的實(shí)超曲面M上有近切觸度量結(jié)構(gòu)，該近切觸度量結(jié)構(gòu)由張量、向量場(chǎng)ξ=-JN、1-形式和非平坦復(fù)空間上的度量所決定，其中，N是非平坦復(fù)空間中實(shí)超曲面M上的單位法向量，v是任意點(diǎn)處的切向量［1］。復(fù)射影空間CPn(c)中A2型實(shí)超曲面M是繞全測(cè)地CPl的管Tl(r)(1 ≤l≤n-2)，其中,。復(fù)射影空間CPn(c)中A2型實(shí)超曲面M有3個(gè)主曲率，分別是對(duì)應(yīng)與ξ垂直方向的主曲率和，以及對(duì)應(yīng)ξ方向的主曲率［2-3］。在非平坦復(fù)空間CMn(c)中的實(shí)超曲面M上，2-形式的常數(shù)倍Fk=kF?(k∈R)被稱為是Sasaki磁場(chǎng)，滿足的弧長(zhǎng)參數(shù)化的光滑曲線γ被稱為Sasaki 磁場(chǎng)Fk下的軌道。對(duì)非平坦復(fù)空間中實(shí)超曲面M上Sasaki磁場(chǎng)下的軌道稱為構(gòu)造撓率，構(gòu)造撓率 |ργ|≤1。?是非平坦復(fù)空間中實(shí)超曲面M的外圍流形，l:M→?是一等距浸入映射。當(dāng)?shù)染嘟胗成鋖把M上的光滑曲線γ映射到M的外圍空間?上時(shí)，稱曲線l°γ為γ的外在形狀。高斯公式和魏因加爾吞公式分別為和

定義1［1］非平坦復(fù)空間CMn(c)中實(shí)超曲面M上弧長(zhǎng)參數(shù)化的光滑曲線γ如果滿足，則稱曲線γ的外在形狀是圓。

定義2［1］非平坦復(fù)空間CMn(c)中弧長(zhǎng)參數(shù)化的光滑曲線γ的測(cè)地曲率kγ被定義為的復(fù)撓率τγ被定義為

2 主要結(jié)果

文獻(xiàn)［5］給出了非平坦復(fù)空間CMn(c)中A型實(shí)超曲面M上Sasaki磁場(chǎng)Fk下的軌道的外在形狀為圓的條件，下面根據(jù)復(fù)射影空間CPn(c)中A2型實(shí)超曲面M的情況，計(jì)算復(fù)射影空間CPn(c)中A2型實(shí)超曲面M上Sasaki磁場(chǎng)Fk下軌道的外在形狀成為圓的條件。

命題1復(fù)射影空間CPn(c)中A2型實(shí)超曲面M上Sasaki磁場(chǎng)Fk下的軌道γ滿足下面條件之一時(shí)，其外在形狀成為圓。

證明對(duì)于復(fù)射影空間CPn(c)中A2型實(shí)超曲面M上Sasaki磁場(chǎng)Fk下的軌道γ，有是任意點(diǎn)處的弧長(zhǎng)參數(shù)化曲線的切向量，?可以寫(xiě)成

根據(jù)（9）式，如果軌道γ的外在形狀為圓，則有

下面分析（11）式。

即ργ=±1或k=-δργ。

ργ=±1是軌道γ外在形狀成為圓的第一個(gè)條件。而且k=-δργ是軌道γ外在形狀成為圓的第二個(gè)條件的特例。

要使上式成立，則每一個(gè)分量都需要為0，即

文獻(xiàn)［5］給出了非平坦復(fù)空間中A型實(shí)超曲面上Sasaki磁場(chǎng)下外在圓軌道對(duì)應(yīng)的外在測(cè)地曲率kγ和外在復(fù)撓率τγ，下面具體給出復(fù)射影空間CPn(c)中A2型實(shí)超曲面的情況。

命題2復(fù)射影空間CPn(c)中A2型實(shí)超曲面M上Sasaki磁場(chǎng)Fk下外在圓軌道γ對(duì)應(yīng)的外在測(cè)地曲率kγ和外在復(fù)撓率τγ如下：

命題2中（1）和（2）的外在復(fù)撓率的絕對(duì)值為1，不隨著外在測(cè)地曲率的變化而變化。下面分析命題2中（3）的外在測(cè)地曲率和外在復(fù)撓率之間的關(guān)系。

定理1當(dāng)且k-λ1ργ+δργ=0時(shí)，復(fù)射影空間CPn(c)中A2型實(shí)超曲面M上Sasaki磁場(chǎng)Fk下外在圓軌道γ的外在測(cè)地曲率為，外在復(fù)撓率的平方

定理2當(dāng)且k-λ1ργ+δργ=0時(shí)，復(fù)射影空間CPn(c)中A2型實(shí)超曲面M上Sasaki磁場(chǎng)Fk下外在圓軌道γ的外在測(cè)地曲率的取值范圍為：

定理3當(dāng)且k-λ1ργ+δργ=0時(shí)，復(fù)射影空間CPn(c)中A2型實(shí)超曲面M上Sasaki磁場(chǎng)Fk下外在圓軌道γ上g(K)關(guān)于K的單調(diào)性如下：

定理4當(dāng)且k-λ2ργ+δργ=0時(shí)，復(fù)射影空間CPn(c)中A2型實(shí)超曲面M上Sasaki磁場(chǎng)Fk下外在圓軌道γ的外在測(cè)地曲率為

證明復(fù)射影空間CPn(c)中A2型實(shí)超曲面的主曲率，則有

將（4）式和（6）式代入到測(cè)地曲率的定義中有

證畢。

對(duì)于復(fù)射影空間CPn(c)中A2型實(shí)超曲面，有，主曲率λ2<0。下面討論時(shí)，復(fù)射影空間CPn(c)中A2型實(shí)超曲面M上Sasaki磁場(chǎng)Fk下外在圓軌道的外在測(cè)地曲率的取值范圍。

定理5當(dāng)且k-λ2ργ+δργ=0時(shí)，復(fù)射影空間CPn(c)中A2型實(shí)超曲面M上Sasaki磁場(chǎng)Fk下外在圓軌道γ的外在測(cè)地曲率的取值范圍為：

證明當(dāng)ργ=0時(shí)，kγ=-λ2。

定理6當(dāng)且k-λ2ργ+δργ=0時(shí)，復(fù)射影空間CPn(c)中A2型實(shí)超曲面M上Sasaki磁場(chǎng)Fk下外在圓軌道γ的復(fù)撓率的平方

證明將（4）式和（5）式代入到復(fù)撓率的定義中有

證畢。

定理7當(dāng)且k-λ2ργ+δργ=0時(shí)，復(fù)射影空間CPn(c)中A2型實(shí)超曲面M上Sasaki磁場(chǎng)Fk下外在圓軌道γ上g(K)關(guān)于K的單調(diào)性如下：

證明對(duì)

下面計(jì)算g(K)在穩(wěn)定點(diǎn)處以及端點(diǎn)處的函數(shù)值，根據(jù)（21）式，有

根據(jù)（21）式，g(K)在上是連續(xù)的。

根據(jù)（21）式，g(K)在[δ2,( -λ2)2]上是連續(xù)的。

根據(jù)（23）式，有0

根據(jù)（21）式，g(K)在[(-δ)2,(-λ2)2]上是連續(xù)的。

根據(jù)（21）式，g(K)在[(-δ)2,(-λ2)2]上是連續(xù)的。