胡金碩， 黃健哲

(1. 中國(guó)民航科學(xué)技術(shù)研究院 無(wú)人機(jī)適航審定中心，北京 100020；2. 上海交通大學(xué) 航空航天學(xué)院，上海 200240)

由于共軸雙旋翼直升機(jī)上下主旋翼產(chǎn)生的扭矩可相互抵消，所以比傳統(tǒng)單旋翼帶尾漿的直升機(jī)結(jié)構(gòu)更簡(jiǎn)單，氣動(dòng)對(duì)稱性也更好[1].另外，對(duì)于多旋翼無(wú)人機(jī)，共軸旋翼的引入將大大提高無(wú)人機(jī)的抗風(fēng)能力和穩(wěn)定性[2].因此，人們對(duì)共軸雙旋翼的研究和研制一直都沒(méi)有停止.從俄羅斯卡莫夫設(shè)計(jì)局研發(fā)的卡-8和美國(guó)西科斯基的XH-59A驗(yàn)證機(jī)開(kāi)始，經(jīng)過(guò)半個(gè)多世紀(jì)的發(fā)展，共軸雙旋翼構(gòu)型的直升機(jī)越來(lái)越受到業(yè)內(nèi)的關(guān)注和重視.針對(duì)共軸雙旋翼飛行器的控制和飛行模擬仿真器的研發(fā)也已成為研究的熱點(diǎn)之一.

不同于旋翼計(jì)算流體力學(xué)(CFD)的研究，針對(duì)旋翼飛行器控制設(shè)計(jì)和飛行仿真的動(dòng)力學(xué)模型需要有更好的實(shí)時(shí)性，同時(shí)對(duì)計(jì)算精度也有一定的要求.1989年文獻(xiàn)[3]開(kāi)發(fā)的Peters-He模型是目前最廣泛應(yīng)用的旋翼有限狀態(tài)模型，可以用于計(jì)算旋翼盤(pán)上任意位置的誘導(dǎo)速度，進(jìn)而實(shí)時(shí)計(jì)算單旋翼的推力.該理論隱含了著名的動(dòng)態(tài)入流理論、Pradtl/Galdstein靜態(tài)入流分布和Theodorsen理論，并且計(jì)算結(jié)果和試驗(yàn)數(shù)據(jù)有很好的吻合度.此后，一種被稱為Morillo模型[4]的動(dòng)態(tài)入流模型由Peters教授團(tuán)隊(duì)提出，它對(duì)旋翼上方流場(chǎng)的求解有其優(yōu)越性.由于共軸雙旋翼之間流場(chǎng)的干擾，上下旋翼的拉力性能將下降[5]，所以用于計(jì)算單旋翼誘導(dǎo)速度和推力的Peters-He模型和針對(duì)旋翼上方流場(chǎng)計(jì)算的Morillo模型，它們均無(wú)法直接用于對(duì)共軸雙旋翼的動(dòng)力學(xué)建模.基于當(dāng)前的有限入流建模理論，文獻(xiàn)[6]利用關(guān)聯(lián)上下旋翼入流系數(shù)和壓強(qiáng)場(chǎng)系數(shù)的入流影響系數(shù)矩陣來(lái)計(jì)算每個(gè)旋翼產(chǎn)生的誘導(dǎo)速度.該入流影響系數(shù)矩陣包含了旋翼自誘導(dǎo)速度信息和上下旋翼之間互誘導(dǎo)速度信息，由于當(dāng)時(shí)缺少互誘導(dǎo)速度的封閉計(jì)算公式，所以互誘導(dǎo)速度需要通過(guò)數(shù)值計(jì)算得到.其開(kāi)發(fā)出的模型在XV-15傾轉(zhuǎn)旋翼機(jī)上得到了試驗(yàn)驗(yàn)證.由于該模型需要進(jìn)行數(shù)值計(jì)算，所以其計(jì)算的實(shí)時(shí)性能還有一定的提升空間.2015年，文獻(xiàn)[7-8]提出了混合勢(shì)流模型，建立了Peters-He模型和Morillo模型非線性混合函數(shù)，對(duì)旋翼盤(pán)上和旋翼上方流場(chǎng)的計(jì)算精度做了進(jìn)一步提升，更重要的是，該模型對(duì)旋翼尾跡進(jìn)行了建模，給出了旋翼尾跡流場(chǎng)計(jì)算的封閉形式解.文獻(xiàn)[9]在旋翼懸停地效建模上應(yīng)用了該混合勢(shì)流模型，并與試驗(yàn)數(shù)據(jù)和RotCFD計(jì)算結(jié)果進(jìn)行了對(duì)比，驗(yàn)證了模型有效性.文獻(xiàn)[10]基于運(yùn)動(dòng)嵌套網(wǎng)格方法，建立了一套適合于懸停狀態(tài)下共軸剛性雙旋翼非定常干擾流場(chǎng)分析的計(jì)算流體力學(xué)方法.該研究運(yùn)用了計(jì)算流體力學(xué)方法，可以給出共軸雙旋翼更加細(xì)致的動(dòng)態(tài)流場(chǎng)信息，提高了計(jì)算精度，但是存在很大的計(jì)算復(fù)雜度.文獻(xiàn)[11]對(duì)傾轉(zhuǎn)過(guò)渡狀態(tài)共軸傾轉(zhuǎn)旋翼進(jìn)行了研究，考慮了尾流傾斜和收縮的上下旋翼的相互干擾，通過(guò)能量方程推導(dǎo)了誘導(dǎo)速度的計(jì)算公式，最后利用迭代方法求解了上下旋翼的載荷.由于整個(gè)計(jì)算過(guò)程需要迭代，所以通過(guò)此方法進(jìn)行共軸多旋翼動(dòng)力學(xué)建模也具有一定的計(jì)算復(fù)雜度.文獻(xiàn)[12]結(jié)合葉素理論和Pitt-Peters 動(dòng)態(tài)入流模型對(duì)共軸雙旋翼的氣動(dòng)干涉和揮舞運(yùn)動(dòng)進(jìn)行了近似建模，其他未準(zhǔn)確建模的部分用控制算法進(jìn)行補(bǔ)償，并在Simulink搭建了控制器進(jìn)行聯(lián)合仿真.該方法利用動(dòng)態(tài)入流模型計(jì)算誘導(dǎo)速度，仿真實(shí)時(shí)性好.但是Pitt-Peters 模型結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，是Peters教授團(tuán)隊(duì)最初提出的三狀態(tài)動(dòng)態(tài)入流模型[13]，對(duì)于一些復(fù)雜的飛行狀態(tài)難以保證較好的計(jì)算效果.此外，若僅采用誘導(dǎo)速度干擾系數(shù)表示上、下旋翼之間的氣動(dòng)干涉，需要較為充分的理論支撐.現(xiàn)有研究中主要考慮了上下旋翼的流場(chǎng)干擾，并對(duì)其進(jìn)行了相應(yīng)的數(shù)學(xué)建模，但還未見(jiàn)到有基于時(shí)滯伴隨理論的勢(shì)流模型來(lái)建立共軸雙旋翼動(dòng)力學(xué)模型的研究.

針對(duì)共軸雙旋翼上旋翼入流受到下旋翼上游流場(chǎng)影響，以及下旋翼入流受到上旋翼尾流影響的問(wèn)題，本文提出一種基于勢(shì)流模型的共軸雙旋翼動(dòng)力學(xué)建模方法，并設(shè)計(jì)了共軸雙旋翼的推力測(cè)試裝置，驗(yàn)證了懸停狀態(tài)下共軸雙旋翼的推力計(jì)算準(zhǔn)確性.本文研究可為共軸雙旋翼飛行器的旋翼初步設(shè)計(jì)、控制和飛行仿真提供理論基礎(chǔ).

1 共軸雙旋翼有限狀態(tài)模型

根據(jù)文獻(xiàn)[4]，上下旋翼在其各自平面和上方位置(ν≥0)產(chǎn)生的誘導(dǎo)速度v(u)(ν,η,ψ,t)和v(l)(ν,η,ψ,t)分別表示為

v(u)(ν,η,ψ,t)=

(1)

v(l)(ν,η,ψ,t)=

(2)

(3)

式中：x，y，z為計(jì)算點(diǎn)在體坐標(biāo)系中的正則化坐標(biāo)位置，則在旋翼邊緣有A=1.

由于上旋翼的尾跡會(huì)對(duì)下旋翼產(chǎn)生影響，所以需要給出上旋翼的尾跡速度的計(jì)算公式.根據(jù)文獻(xiàn)[8]，上旋翼在(ν,η,ψ)位置的尾跡速度v(u)(ν,η,ψ,t)(v<0)表示為

v(u)(ν,η,ψ,t)=v(u)(0,η0,ψ0,t-τ)-

?(u)(0,η0,ψ0+π,t-τ)

(4)

式中：v(u)(0,η0,ψ0,t-τ)為上旋翼在(0,η0,ψ0)位置的誘導(dǎo)速度；?(u)(0,η0,ψ0+π,t-τ)為上旋翼在(0,η0,ψ0+π)位置的伴隨速度；τ為時(shí)滯量.由于橢圓坐標(biāo)系與體坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換比較復(fù)雜，η0、ψ0與η、ψ之間的關(guān)系可用如下關(guān)系式進(jìn)行表述：

?(u)(ν,η,ψ,t)=

(5)

(6)

(7)

(8)

通過(guò)低速流體的質(zhì)量守恒和動(dòng)量守恒定律公式，代入用勒讓德函數(shù)表示的速度和壓強(qiáng)表達(dá)式[7]，并通過(guò)伽遼金變換可得到一組以誘導(dǎo)速度因子和伴隨速度因子為狀態(tài)量的常微分方程：

(9)

(10)

其中

(11)

其中

由于式(9)中的入流矩陣需要τ時(shí)刻前的伴隨速度因子信息，所以需要同時(shí)對(duì)式(9)進(jìn)行時(shí)間正向數(shù)值積分，并對(duì)式(10)采取計(jì)算時(shí)刻t1為初始的時(shí)間反向數(shù)值積分，同時(shí)求得速度因子和伴隨速度因子的時(shí)間序列信息.對(duì)于式(10)的時(shí)間反向數(shù)值積分，需要在每一個(gè)計(jì)算時(shí)刻進(jìn)行時(shí)長(zhǎng)為τ的反向數(shù)值迭代，計(jì)算量比較大.通過(guò)以下計(jì)算步驟可以通過(guò)更少的計(jì)算量，求得在t1時(shí)刻伴隨速度因子τ時(shí)刻前的數(shù)值Δ(u)(t1-τ).

步驟1求解R-1M-1K(u)的特征值和特征向量分別為λi(i=1, 2, …,G)，φ，使得：

其中：G為矩陣M的維數(shù).

步驟3通過(guò)下式計(jì)算Δ(u)(t1-τ)：

Δ(u)(t1-τ)=

(12)

(13)

(14)

(15)

2 計(jì)算結(jié)果驗(yàn)證

為了驗(yàn)證共軸雙旋翼誘導(dǎo)速度動(dòng)力學(xué)模型的正確性，選取懸停狀態(tài)上、下旋翼的推力作為研究對(duì)象，搭建試驗(yàn)驗(yàn)證平臺(tái)，平臺(tái)實(shí)物圖如圖1所示.右側(cè)旋翼為固定安裝，旋翼軸高度和軸向位置不可調(diào).左側(cè)旋翼可沿軌道向前向后移動(dòng)，用于調(diào)整雙旋翼的軸向距離；左側(cè)旋翼的離地高度也可進(jìn)行調(diào)整，當(dāng)高度調(diào)整至右側(cè)旋翼高度相同時(shí)，為共軸狀態(tài).選取型號(hào)為1024的PVC螺旋槳作為測(cè)試槳葉，該槳葉直徑約為254 mm，距槳葉中心點(diǎn)5 mm半徑范圍內(nèi)為平直安裝面(矩形翼型、無(wú)扭轉(zhuǎn)角).槳葉槳距為119.38 mm，弦長(zhǎng)沿槳葉徑向位置連續(xù)可變，為了簡(jiǎn)化計(jì)算，將槳葉從平直安裝面結(jié)束段開(kāi)始，沿徑向方向分為5部份，分別測(cè)量每一部分邊緣位置的弦長(zhǎng)，數(shù)據(jù)如表1所示.沿槳葉徑向方向距離槳葉中心為r的截面，其扭角可根據(jù)下式計(jì)算：

表1 測(cè)試旋翼葉片徑向弦長(zhǎng)分布

圖1 共軸雙旋翼推力測(cè)試臺(tái)架Fig.1 Thrust test rig for coaxial lifting rotors

θ(r)=?r

(16)

式中：?為槳葉槳距.兩側(cè)旋翼分別由兩套完全獨(dú)立的動(dòng)力系統(tǒng)提供旋轉(zhuǎn)動(dòng)力，兩套動(dòng)力系統(tǒng)的電機(jī)也由完全獨(dú)立的控制系統(tǒng)來(lái)分別調(diào)節(jié)脈沖寬度調(diào)制(PWM)值，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)電機(jī)轉(zhuǎn)速的獨(dú)立控制.

表2 單旋翼不同轉(zhuǎn)速下的推力Tab.2 Thrusts at different rotor speeds for single rotor

圖2 單軸旋翼測(cè)試結(jié)果Fig.2 Test results for single rotor

圖3 單軸旋翼推力計(jì)算結(jié)果Fig.3 Computational thrust results of single rotor

采用MATLAB中的Curve Fitting Tool工具包，對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合，可得到轉(zhuǎn)速與推力的特性關(guān)系式，如下式所示：

(17)

對(duì)于測(cè)試數(shù)據(jù)，擬合的誤差平方和(SSE)為 0.752 6，而對(duì)于計(jì)算數(shù)據(jù)，擬合的誤差平方和為1.908×10-7.由式(16)可知，推力系數(shù)的計(jì)算值和測(cè)試值僅有9%的偏差.

圖4 雙軸旋翼測(cè)試結(jié)果Fig.4 Test results for coaxial rotors

表3 雙旋翼不同轉(zhuǎn)速下的推力Tab.3 Thrusts at different rotor speeds for coaxial lifting rotor

圖5 共軸雙旋翼推力計(jì)算結(jié)果(軸距127 mm)Fig.5 Computational thrusts results of coaxial lifting rotor (axial distance=127 mm)

由圖5可知，在 3 000～5 000 r/min轉(zhuǎn)速范圍內(nèi)，相較于單軸旋翼，對(duì)于共軸雙旋翼左、右旋翼在相同轉(zhuǎn)速下均出現(xiàn)推力損失，并且由于左旋翼位于右旋翼尾跡之中，造成的推力損失更大.所提出的模型可以較好的反應(yīng)出這種規(guī)律，并且趨勢(shì)與測(cè)試值大致相同.和單軸旋翼類似，隨著轉(zhuǎn)速的提高，推力測(cè)試值越高于計(jì)算值.同樣地，通過(guò)數(shù)據(jù)擬合，可以分別得到左、右旋翼的轉(zhuǎn)速與推力特性關(guān)系式，如下式所示：

(18)

(19)

對(duì)于測(cè)試數(shù)據(jù)，右旋翼擬合的SSE為 0.021 75， 左旋翼擬合的SSE為 0.152 2.對(duì)于計(jì)算數(shù)據(jù)，右旋翼擬合的SSE為1.354×10-7，左旋翼擬合的SSE為6.538×10-8.

3 結(jié)語(yǔ)

本文研究了基于有限狀態(tài)模型的共軸雙旋翼動(dòng)力學(xué)建模方法，利用伴隨理論推導(dǎo)了上旋翼尾跡誘導(dǎo)速度表達(dá)式，拓展了傳統(tǒng)的單軸旋翼有限狀態(tài)模型.上旋翼動(dòng)力學(xué)模型中的入流矩陣包含了上旋翼的平均自誘導(dǎo)速度信息和下旋翼的平均互誘導(dǎo)速度信息，下旋翼動(dòng)力學(xué)模型中的入流矩陣包含了下旋翼的平均自誘導(dǎo)速度信息和上旋翼的平均互誘導(dǎo)速度信息，其中上旋翼的平均互誘導(dǎo)速度需要利用上旋翼尾跡誘導(dǎo)速度計(jì)算式來(lái)求取.動(dòng)力學(xué)模型的載荷輸入表達(dá)式也包含了誘導(dǎo)速度信息，由此可見(jiàn)，該動(dòng)力學(xué)模型是入流和載荷、上旋翼和下旋翼耦合的強(qiáng)非線性動(dòng)力學(xué)模型.跟一般的經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ筒煌?，此模型需要輸入共軸雙旋翼槳葉幾何信息、氣動(dòng)參數(shù)、軸向間距、轉(zhuǎn)速等實(shí)際物理信息，因此更具有普適性，能夠適應(yīng)更多的應(yīng)用環(huán)境.通過(guò)試驗(yàn)數(shù)據(jù)驗(yàn)證，此模型具有一定的計(jì)算準(zhǔn)確度，可用于共軸雙旋翼的設(shè)計(jì)初步計(jì)算、控制器設(shè)計(jì)與實(shí)時(shí)仿真，有一定的工程應(yīng)用價(jià)值.