華春紅

【摘? 要】分?jǐn)?shù)不同于一般的數(shù)，因?yàn)槠溆小傲俊焙汀奥省彪p重身份。但在教學(xué)時(shí)，教師對(duì)分?jǐn)?shù)的“身份”的理解和關(guān)注程度參差不一，難免會(huì)出現(xiàn)偏廢現(xiàn)象，使學(xué)生分?jǐn)?shù)學(xué)習(xí)出現(xiàn)一定的困難，使學(xué)生對(duì)分?jǐn)?shù)的特殊性難以理解，而無(wú)法透徹理解分?jǐn)?shù)的意義。對(duì)此，教師在進(jìn)行教學(xué)時(shí)，應(yīng)對(duì)分?jǐn)?shù)所代表的“量”和“率”之間的關(guān)系進(jìn)行深度剖析，在充分理解“量”和“率”的意義的基礎(chǔ)上，將“量”和“率”均衡發(fā)展、融合貫通，用“關(guān)系”建立關(guān)系，讓學(xué)生將分?jǐn)?shù)學(xué)通透。

【關(guān)鍵詞】“量”;“率”;分?jǐn)?shù);關(guān)系

“分?jǐn)?shù)”是“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域的核心內(nèi)容之一，同時(shí)也是難點(diǎn)內(nèi)容。關(guān)于分?jǐn)?shù)的教與學(xué)，可謂“百家爭(zhēng)鳴”，著名教育家葉圣陶先生說(shuō)的“教學(xué)有法、教無(wú)定法、貴在得法”，主要表達(dá)的是，對(duì)眾多的教學(xué)方法我們不能全盤照抄，只有適合的才是最好的，說(shuō)得通、理得順，能發(fā)展思維就是我們追求的目標(biāo)。對(duì)此，作為一線教育工作者，更應(yīng)注重“因材施教”，尊重學(xué)生的個(gè)性差異，考慮到其能力發(fā)展現(xiàn)狀，選擇適宜其進(jìn)行分?jǐn)?shù)學(xué)習(xí)的教學(xué)策略，以引導(dǎo)其同樣能找到適合自己的學(xué)習(xí)方法。除此以外，特級(jí)教師許衛(wèi)兵說(shuō)“數(shù)學(xué)是一門關(guān)系學(xué)”，我嘗試對(duì)這句話進(jìn)行思考和解讀，與之相關(guān)的問(wèn)題層出不窮地在我腦海里翻涌：分?jǐn)?shù)作為“率”就是一種關(guān)系，那么作為“量”呢？?jī)烧呤欠窨梢援愔星笸?？作為“量”又是如何產(chǎn)生的呢？……帶著這些問(wèn)題，抓住“關(guān)系”這一關(guān)鍵詞，我開啟了對(duì)分?jǐn)?shù)作為“率”和“量”時(shí)方方面面的研究之旅。

一、教材內(nèi)容分析

五下《分?jǐn)?shù)的意義和性質(zhì)》教材安排為兩個(gè)主體部分：一是分?jǐn)?shù)的意義，二是分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)。在此之前，學(xué)生在二年級(jí)學(xué)習(xí)過(guò)“平均分”可以用除法來(lái)計(jì)算;三年級(jí)初步認(rèn)識(shí)了分?jǐn)?shù)，知道把一個(gè)物體、一個(gè)圖形或者由幾個(gè)物體組成的整體平均分成幾份后，其中的一份或幾份可以用幾分之一或幾分之幾來(lái)表示。在此之后，學(xué)生還將繼續(xù)學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)的四則運(yùn)算、混合運(yùn)算以及簡(jiǎn)便運(yùn)算，學(xué)習(xí)依據(jù)分?jǐn)?shù)知識(shí)解決相關(guān)的實(shí)際問(wèn)題，理解百分?jǐn)?shù)的意義。就本冊(cè)教材來(lái)看，共116頁(yè)，與分?jǐn)?shù)學(xué)習(xí)有關(guān)的從第52頁(yè)開始到第84頁(yè)結(jié)束，占到總頁(yè)數(shù)的近三分之一，其重要性不言而喻;就整個(gè)小學(xué)階段學(xué)習(xí)來(lái)看，本單元的學(xué)習(xí)承上啟下，是學(xué)生建立分?jǐn)?shù)知識(shí)結(jié)構(gòu)的重要一環(huán)。通過(guò)這部分的學(xué)習(xí)，學(xué)生腦中的數(shù)系得到擴(kuò)張，由整數(shù)到小數(shù)再到分?jǐn)?shù)，這之間的聯(lián)系和區(qū)別需要厘清，同時(shí)要學(xué)會(huì)解決生活中的相關(guān)實(shí)際問(wèn)題，從而有效提升他們的抽象思維水平，更好地實(shí)現(xiàn)對(duì)現(xiàn)實(shí)生活中的數(shù)量關(guān)系的進(jìn)一步理解和運(yùn)用，提升其數(shù)學(xué)綜合素養(yǎng)。

二、教學(xué)現(xiàn)象解讀

分?jǐn)?shù)難，難在什么地方呢？究其原因則是分?jǐn)?shù)本身的特殊性，它既可以作為“率”又可以作為“量”，多重身份常常讓學(xué)生遇到分?jǐn)?shù)如墜云霧里，導(dǎo)致其在學(xué)習(xí)中，容易進(jìn)入被動(dòng)學(xué)習(xí)的狀態(tài)，從而難以實(shí)現(xiàn)思維的有效運(yùn)轉(zhuǎn)。在實(shí)際教學(xué)中，我們常常會(huì)出現(xiàn)以下一些現(xiàn)象：

（一）重“分?jǐn)?shù)定義”輕“分?jǐn)?shù)單位”

翻開各大版本的教材，給分?jǐn)?shù)的定義基本相同：“把單位1平均分成若干份，表示這樣的一份或幾份的數(shù)，叫作分?jǐn)?shù)”，然后接下來(lái)基本上會(huì)繼續(xù)要求學(xué)生認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)單位。教學(xué)時(shí)，教師會(huì)花相當(dāng)大的精力，讓學(xué)生描述一個(gè)分?jǐn)?shù)是如何得到的。與此同時(shí)，教師還會(huì)把三年級(jí)習(xí)慣描述的“取這樣的幾份”糾正為“表示這樣的幾份”，為學(xué)生后續(xù)的假分?jǐn)?shù)學(xué)習(xí)做準(zhǔn)備。而教師對(duì) “分?jǐn)?shù)單位”的認(rèn)識(shí)教學(xué)只是一帶而過(guò)，甚至可能就是直接告知，不給學(xué)生回顧、思考或是質(zhì)疑的機(jī)會(huì)。本來(lái)對(duì)于概念教學(xué)，在教師的教學(xué)認(rèn)知中，似乎就是讓學(xué)生知道一個(gè)已經(jīng)約定俗成的知識(shí)，沒有可以探索的空間，所以造就了重“分?jǐn)?shù)定義”輕“分?jǐn)?shù)單位”這種現(xiàn)象。這樣教學(xué)所產(chǎn)生的弊端在第一課時(shí)或者短期內(nèi)都不會(huì)輕易被發(fā)現(xiàn)，但當(dāng)遇到用分?jǐn)?shù)來(lái)計(jì)數(shù)、分?jǐn)?shù)加減法、解決分?jǐn)?shù)實(shí)際問(wèn)題等學(xué)習(xí)要點(diǎn)時(shí)，“分?jǐn)?shù)單位”的地位又瞬間提升，這時(shí)可能又要將“分?jǐn)?shù)單位”再?gòu)?qiáng)化。經(jīng)歷了這樣“被打斷”到“再回顧”的過(guò)程，大部分學(xué)生更容易產(chǎn)生混亂的學(xué)習(xí)思緒，從而使其在學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)時(shí)，形成一定的學(xué)習(xí)焦慮，導(dǎo)致其跟不上教師的“節(jié)奏”。分?jǐn)?shù)教學(xué)的“地基”都未打牢，卻妄想加蓋“一棟高樓”，這便是數(shù)學(xué)教學(xué)中的“大忌”，基于此，分?jǐn)?shù)教學(xué)“難于上青天”便被坐實(shí)了“罪名”。

（二）重“率”輕“量”

上文中已經(jīng)提及分?jǐn)?shù)的定義，從定義中我們很容易看出該定義刻畫的是“部分與整體”或者“部分與部分”的倍比關(guān)系，也就是作為“率”在學(xué)習(xí)?；仡櫲昙?jí)學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)時(shí)，學(xué)生就會(huì)比較同分母分?jǐn)?shù)以及分子是1的異分母分?jǐn)?shù)的大小，既然可以比較大小，那就表明確確實(shí)實(shí)代表的是一個(gè)“量”，但在實(shí)際教學(xué)時(shí)，我們又甚少涉及“量”的體現(xiàn)，我們有重“率”輕“量”的嫌疑。張奠宙教授也在《小學(xué)數(shù)學(xué)教材中的大道理》中提出“分?jǐn)?shù)是用來(lái)比較大小的，為什么要回避呢？”分?jǐn)?shù)的產(chǎn)生，實(shí)質(zhì)是數(shù)系的擴(kuò)展，也就是說(shuō)，分?jǐn)?shù)和整數(shù)一樣都具有數(shù)的本質(zhì)特征，都可以表示物體（數(shù)量）的大小，對(duì)于“量”和“率”，對(duì)此，反思我們一貫的教學(xué)走向，應(yīng)當(dāng)認(rèn)識(shí)到兩者是同等重要的，缺一不可。因而為了學(xué)生能夠?qū)崿F(xiàn)高效學(xué)習(xí)，我們更不能厚此薄彼。

三、教學(xué)策略構(gòu)建

直面以上問(wèn)題，思考分?jǐn)?shù)的教學(xué)顯得很有必要。我們常說(shuō)數(shù)學(xué)真奇妙，關(guān)系最重要。構(gòu)建分?jǐn)?shù)教學(xué)策略，筆者嘗試在整體建構(gòu)教學(xué)理念的指導(dǎo)下，把握關(guān)系建構(gòu)整體、借助整體明晰關(guān)系，并妥善引導(dǎo)作為學(xué)習(xí)主體的學(xué)生，在學(xué)分?jǐn)?shù)時(shí)能理順關(guān)系建立聯(lián)系、培養(yǎng)發(fā)展關(guān)系思維，這樣面對(duì)分?jǐn)?shù)時(shí)不再望而卻步，反而能增強(qiáng)其學(xué)習(xí)自主性。

（一）深入教材研讀，把準(zhǔn)概念教學(xué)，夯實(shí)“率”的認(rèn)識(shí)

分?jǐn)?shù)的認(rèn)識(shí)在小學(xué)階段一般都分成兩步走，第一次學(xué)習(xí)是在三年級(jí)時(shí)對(duì)分?jǐn)?shù)進(jìn)行初步認(rèn)識(shí)，那時(shí)的學(xué)習(xí)多是以分物體，如“分蛋糕”“分大餅”等開始的，借助生活中的直觀模型幫助學(xué)生理解分?jǐn)?shù)所呈現(xiàn)的部分與整體的關(guān)系，也就是“率”的認(rèn)識(shí)，這時(shí)可謂“知其然”。而到了第二個(gè)分?jǐn)?shù)學(xué)習(xí)階段，學(xué)生的理解能力和思維能力的發(fā)展，均已呈現(xiàn)上升的趨勢(shì)，因而安排五年級(jí)學(xué)生學(xué)習(xí)的是分?jǐn)?shù)的意義，在第一階段的基礎(chǔ)上，進(jìn)行了內(nèi)容和知識(shí)應(yīng)用等方面的“升級(jí)”，要求學(xué)生將前一階段所學(xué)知識(shí)與這一階段需要學(xué)習(xí)的內(nèi)容聯(lián)結(jié)起來(lái)，從而實(shí)現(xiàn)其對(duì)“分?jǐn)?shù)”學(xué)習(xí)基礎(chǔ)的加固，促進(jìn)其提升對(duì)新知識(shí)的學(xué)習(xí)把握度，這應(yīng)謂之“知其所以然”。這時(shí)的一個(gè)物體、一些物體、一個(gè)圖形、一條線段等都可以看成是一個(gè)整體，即生成“單位1”，誰(shuí)作為“單位1”，這既是認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)的核心，也是認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)的難點(diǎn)。

實(shí)際教學(xué)時(shí)，要做好教材前后內(nèi)容的銜接，既要做到不重復(fù)簡(jiǎn)單、基本的知識(shí)點(diǎn)的講解，也要保證新知與舊知之間不斷層。比如利用直觀圖形認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)是三年級(jí)的學(xué)習(xí)內(nèi)容，可以畫但沒有必要反復(fù)畫，避免造成課堂時(shí)間不必要的浪費(fèi)。而五年級(jí)的學(xué)習(xí)追求的是從具體走向概括，從具體的實(shí)物走向概括的定義，這于學(xué)生而言，在知識(shí)認(rèn)知上將會(huì)產(chǎn)生“質(zhì)”的飛躍。對(duì)此，教師應(yīng)當(dāng)設(shè)計(jì)好兩者相關(guān)的問(wèn)題，將學(xué)生的數(shù)學(xué)思維從表層帶入深層?！巴瑢W(xué)們所畫出的圖形都可以用3/4來(lái)表示（圖1、圖2），我們都會(huì)描述3/4，你能用一句話把所有的分?jǐn)?shù)都概括出來(lái)嗎？”在教師問(wèn)題的引導(dǎo)下，很多同學(xué)想到我們學(xué)過(guò)用字母表示數(shù)，“把單位1平均分成m份，表示這樣的n份，就用分?jǐn)?shù)n/m來(lái)表示。”經(jīng)歷這樣的問(wèn)題探討，學(xué)生的思維就進(jìn)行了一次跨越，從具體走向抽象，建立起前后知識(shí)間的聯(lián)系與生長(zhǎng)，準(zhǔn)確把握分?jǐn)?shù)的定義，同時(shí)提升了語(yǔ)言表達(dá)能力。

（二）利用認(rèn)數(shù)經(jīng)驗(yàn)，體驗(yàn)數(shù)系擴(kuò)展，建立“量”的地位

華羅庚曾說(shuō)過(guò)，數(shù)起源于數(shù)，量起源于量。華應(yīng)龍又說(shuō)過(guò)，分?jǐn)?shù)就是先分后數(shù)的數(shù)?；诿舜蠹覍?duì)分?jǐn)?shù)的理論分析，筆者不由得陷入深思：分什么？數(shù)什么？分?jǐn)?shù)從屬于“數(shù)”的范圍我們不可且無(wú)法回避，比大小、分?jǐn)?shù)計(jì)算中的分?jǐn)?shù)都是被作為“量”來(lái)看待的。我們?cè)趯?duì)分?jǐn)?shù)作為“量”時(shí)進(jìn)行深度認(rèn)識(shí)之時(shí)，可以通過(guò)將其置身于學(xué)生已有的認(rèn)數(shù)體系中，要求和引導(dǎo)學(xué)生從組成、讀寫、大小、應(yīng)用等方面進(jìn)行學(xué)習(xí)，利用前后知識(shí)間的結(jié)構(gòu)、已經(jīng)形成的認(rèn)數(shù)經(jīng)驗(yàn)對(duì)分?jǐn)?shù)進(jìn)行掌握、理解與應(yīng)用。

提及計(jì)數(shù)，就需要計(jì)數(shù)單位，分?jǐn)?shù)的計(jì)數(shù)單位和之前學(xué)生所接觸的計(jì)數(shù)單位有所不同，這又是一次跨越。以前不管是整數(shù)還是小數(shù)，我們多用“十進(jìn)制”來(lái)計(jì)數(shù)，而分?jǐn)?shù)需要?jiǎng)?chuàng)造分?jǐn)?shù)單位，分?jǐn)?shù)單位之間沒有固定的進(jìn)率，大小相同的分?jǐn)?shù)也可以用不同的形式呈現(xiàn)，分?jǐn)?shù)單位都是不同的，個(gè)數(shù)是無(wú)限的，這也是造成學(xué)生不習(xí)慣分?jǐn)?shù)是“數(shù)”的原因。由此，我們也可以看出“分?jǐn)?shù)單位”的重要地位。“分?jǐn)?shù)是先分后數(shù)的數(shù)”，分的是“單位1”，根據(jù)現(xiàn)實(shí)情境確定將“單位1”平均分成若干份，也就產(chǎn)生了合適的分?jǐn)?shù)單位，再數(shù)有多少個(gè)分?jǐn)?shù)單位，這樣我們就可以很好地將分?jǐn)?shù)理解為分?jǐn)?shù)單位的累加。如圖3所示：圖中的分?jǐn)?shù)3/4用來(lái)表示，計(jì)數(shù)單位是1/4，也就是3個(gè)1/4的累加。至于分?jǐn)?shù)的讀寫、大小以及應(yīng)用，我們都可以借助于頭腦中已經(jīng)形成的認(rèn)數(shù)經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行遷移。

（三）“量”“率”整合，分?jǐn)?shù)就是一種“關(guān)系”

關(guān)系的正常表現(xiàn)是兩個(gè)或者是幾個(gè)元素之間的，當(dāng)分?jǐn)?shù)作為“率”時(shí)，我們很容易看出是“部分和整體”或者“部分與部分”這兩個(gè)元素之間的，而當(dāng)分?jǐn)?shù)作為“量”時(shí)，我們是否能從中也能找到關(guān)系的存在？異中求同，將兩者統(tǒng)一起來(lái)更深入地理解分?jǐn)?shù)呢？

分?jǐn)?shù)和除法都是以“平均分”為出發(fā)點(diǎn)的，在學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系時(shí)：把3塊餅平均分給4個(gè)小朋友，每人分得3/4塊餅，這里的3/4塊我們既可以理解為把1塊餅平均分成4份，表示這樣的3份，也就是1塊餅的3/4（圖4）;也可以理解為把3塊餅平均分成4份，表示這樣的1份，就是3塊餅的1/4（圖5）。這樣的理解不帶量綱，實(shí)質(zhì)又回歸到了部分與整體的關(guān)系，也就正如許衛(wèi)兵所說(shuō)的“量”的表現(xiàn)歸根也是一種關(guān)系，帶著這樣的學(xué)習(xí)深度，對(duì)于分?jǐn)?shù)的認(rèn)識(shí)應(yīng)該會(huì)通透。

綜上所述，“量”的意義與“率”的意義是分?jǐn)?shù)意義的兩個(gè)方面，不可偏向于任一方面，要能做到均衡發(fā)展。而“量”和“率”在根本上又有著共通之處，借用“關(guān)系”聯(lián)結(jié)起分?jǐn)?shù)知識(shí)間嚴(yán)密的邏輯體系，用舊知遷移新知，發(fā)展數(shù)系結(jié)構(gòu)，實(shí)現(xiàn)學(xué)生的思維“自能化”，能夠讓分?jǐn)?shù)學(xué)習(xí)更有趣，讓學(xué)生與分?jǐn)?shù)更親近。

【參考文獻(xiàn)】

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