周童暉 柳銀萍

摘要： 同倫分析方法是求解強非線性問題解析近似解的有效方法 ， 已被廣泛應(yīng)用于解決科學(xué)研究和工程技術(shù)中的一些重要問題. 相對于其他已有的解析近似方法 ， 同倫分析方法通過引入若干個輔助參數(shù)和輔助函數(shù)來控制級數(shù)解的收斂區(qū)域和收斂速度.針對現(xiàn)有的同倫分析方法中收斂控制參數(shù)的選擇問題 ， 采用了一種根據(jù)機器學(xué)習(xí)的參數(shù)選擇算法 ， 首次將同倫分析方法和機器學(xué)習(xí)技術(shù)結(jié)合起來 ， 求解非線性數(shù)學(xué)物理方程收斂性更好的解析近似解. 通過將該算法應(yīng)用到具體的實例中 ， 可以看出 ， 所獲得的同倫分析解明顯優(yōu)于已有的同倫分析解 ， 同時 ， 該算法更具普適性和靈活性.

關(guān)鍵詞：同倫分析方法;? 輔助函數(shù);? 控制參數(shù);? 機器學(xué)習(xí)

中圖分類號： O175.14??? 文獻(xiàn)標(biāo)志碼： A??? DOI： 10.3969/j.issn.1000-5641.2022.02.005

Determination of convergence control parameters in homotopy analysis solutions based on machine learning technique

ZHOU Tonghui1 ，? LIU Yinping2，3

（1. School of Computer Science and Technology， East China Normal University， Shanghai? 200062， China;

2. School of Mathematical Sciences， East China Normal University， Shanghai 200241， China;

3. Shanghai Key Laboratory of PMMP， East China Normal University， Shanghai 200241， China）

Abstract： Homotopy? analysis? method? is? an? effective? method? for? constructing? approximate? analytical solutions to strongly nonlinear problems. The technique has been widely? applied to solve important problems in scientific research and engineering technology. Compared with other existing techniques， this method leverages auxiliary parameters and functions to adjust and control the convergence region and convergence speed of approximate analytical solutions. In this paper， we present a parameter selection algorithm based on machine learning techniques to determine the optimal values of convergence control parameters for homotopy analysis solutions. This marks the first time that homotopy analysis method and machine learning techniques have been combined to obtain approximate analytical method with better convergence for strongly nonlinear mathematical and physical equations. By applying the method to several examples， we show that the convergence of solutions using the proposed method is better than those obtained from existing homotopy analysis methods. In addition， our algorithm is both more universal and flexible.

Keywords： homotopy analysis method;? auxiliary function;? control parameter;? machine learning

0? 引言

微分方程是描述自然現(xiàn)象最常用的數(shù)學(xué)模型.因此 ， 微分方程的解法研究是數(shù)學(xué)物理領(lǐng)域的常青樹 .19世紀(jì)以后 ， 線性微分方程的求解方法已經(jīng)發(fā)展得較為成熟 ， 然而自然界中的絕大多數(shù)現(xiàn)象都是非線性的.相對于線性微分方程 ， 非線性微分方程的求解要困難得多.現(xiàn)代計算機技術(shù)的不斷發(fā)展和各種數(shù)學(xué)軟件的日益成熟為微分方程的求解提供了強有力的工具.微分方程的解法 ， 根據(jù)解的類型可分為：精確解法、數(shù)值解法和解析近似解法.由于許多非線性微分方程無法獲得其精確解， 因此數(shù)值解法是工程技術(shù)中常用的方法 ， 但數(shù)值解法無法給出解的具體表達(dá)形式.

攝動方法[1-3]是一種被廣泛使用的解析近似方法 ， 這種方法已被許多杰出的學(xué)者用來解決實際工程中的很多問題.但因為攝動法的使用需要系統(tǒng)中有物理小參數(shù) ， 這在很大程度上限制了其適用范圍[4-5]. 為了打破這個限制 ， Lyapunov 分解算法和 Adomian 分解法等相繼誕生[6-7] ， 這些方法雖然克服了對物理小參數(shù)的依賴 ， 但往往解的收斂性沒法得到保證. 為了從根本上解決解析近似方法的物理小參數(shù)依賴性強和收斂區(qū)間小的問題 ， 廖世俊[8]基于拓?fù)淅碚撝械耐瑐惛拍钐岢隽艘环N新的求解非線性微分方程的解析近似方法—同倫分析方法.該方法不依賴于物理小參數(shù) ， 且總能將非線性問題轉(zhuǎn)化為一系列的線性子問題 ， 通過自由選取線性算子和基函數(shù)列 ， 方便了線性子問題求解 ， 并且能通過輔助參數(shù)和輔助函數(shù)來控制級數(shù)解的收斂區(qū)域和收斂速度 ， 確保所獲得的解析近似解具有較高的精度.該方法引起了國內(nèi)外很多學(xué)者的關(guān)注 ， 這些學(xué)者的不斷探索和研究使得同倫分析方法的理論基礎(chǔ)更加牢固 ， 例如 ， Odibat[9]給出了同倫級數(shù)解收斂的一個充分條件 ， Yabushita 等[10]使用余量的平方度量近似解析解的準(zhǔn)確度.文獻(xiàn)[11-12]初步研究了輔助線性算子和收斂控制參數(shù)的選取.趙銀龍[13]通過定義逆算子進一步提高了高階形變方程的求解效率等.

本文將同倫分析方法和機器學(xué)習(xí)技術(shù)相結(jié)合 ， 首先 ， 應(yīng)用同倫分析方法求得非線性系統(tǒng)的m （m >0）階帶參數(shù)的解析近似解.然后 ， 將所獲得的解代入非線性微分方程中 ， 進一步將所獲得的余量作為目標(biāo)函數(shù) ， 采用機器學(xué)習(xí)技術(shù)中常用的小批量梯度下降法（Mini-Batch Gradient Descant）進行優(yōu)化[14] ， 獲得余量最優(yōu)的參數(shù)值. 最后 ， 獲得原方程精度很高的解析近似解.本文所提出的方法不僅可以通過訓(xùn)練集范圍來調(diào)節(jié)解析近似解在不同的自變量區(qū)間的逼近效果 ， 還可以同時對多個參數(shù)進行優(yōu)化.另外 ， 對于部分算例 ， 本文將輔助函數(shù)進行了二階加權(quán)展開 ， 以此來獲得更優(yōu)的輔助函數(shù)和收斂性更好的解析近似解.實驗表明， 對于大部分非線性方程， 本文所提出的方法可以獲得精度更高的解析近似解.

1? 算法原理

1.1? 同倫分析解的構(gòu)造思路簡述

考慮一個非線性微分方程

N[u（x）]= 0. （1）

式（1）中： N 為非線性微分算子; u（x）為所要求解的未知函數(shù). 該系統(tǒng)中可能還包含若干個未知的物理參數(shù) ， 如頻率、振幅等. 采用同倫分析方法求解式（1）， 首先要構(gòu)造所謂的零階形變方程

（1? q）L[Φ（x， q）? V0（x）]= qhH（x）N[Φ（x， q）].? （2）

式（2）中： L 為輔助線性算子; h 為輔助參數(shù); H（x）為輔助函數(shù);Φ（x， q）為 x， q 的函數(shù); V0（x）為初始猜測解; q ∈[0， 1]為嵌入?yún)?shù). 由式（2）可知 ， 由于 h? 0且 H（x）? 0 ， 當(dāng) q =0 時 ， 式（2）的解為Φ（x， q）= V0（x）;當(dāng) q =1 時 ， 式（2）的解變?yōu)棣担▁， 1）= u（x）. 由此可見 ， 當(dāng) q 從0 變化到1 時 ， Φ（x， q）從初始猜測解演化到u（x）. 根據(jù)泰勒展開定理 ， 將Φ（x， q）關(guān)于q 展開成如下冪級數(shù)

（3）

令

Vi（x）=? i！·???? ?qi?????? q=0 ， （4）

根據(jù)式（4）， 可將式（3）簡化為

Φ（x， q）= V0（x）+? Vm（x）qm .

利用Φ（x， 1）= u（x） ， 可得到解的級數(shù)展開式

u（x）= V0（x）+? Vm（x）.

對零階形變方程式（2）的兩邊關(guān)于q 求m 階導(dǎo)數(shù) ， 再令q =0 ， 得到m 階形變方程

式（5）中：

Rm（Vm ?1）= （m ?1）！·?????? ?qm ?1????????? q=0;

依次迭代求解高階形變方程（5）， 則可得到u（x）的m 階解析近似表達(dá)式

式（6）即為所求系統(tǒng)的 m 階解析近似解.需要說明的是 ， 所獲得的解中含有收斂控制參數(shù)和輔助函數(shù) ， 收斂控制參數(shù)可以調(diào)節(jié)和控制解的收斂區(qū)域和收斂速度 ， 輔助函數(shù)可以確保所獲得的解符合解表達(dá)法則. 另外 ， 式（6）的解中可能還包含有系統(tǒng)中未知的物理參數(shù) ， 如何確定式（6）的解表達(dá)式中的未知參數(shù)和未知函數(shù) ， 使所獲得的解收斂性更好呢？同倫分析方法本身提供了若干個法則來確定解中的未知物理參數(shù) ， 但是該思路并不具有普適性， 需要針對不同的系統(tǒng)進行分析.本文將機器學(xué)習(xí)技術(shù)應(yīng)用到同倫分析方法中 ， 應(yīng)用機器學(xué)習(xí)技術(shù)中的小批量梯度下降法來確定同倫分析解中的未知參數(shù) ， 以獲得收斂性較好的解及系統(tǒng)中未知的物理參數(shù)值.

1.2? 利用機器學(xué)習(xí)的收斂控制參數(shù)確定算法

在上述算法所獲得的同倫分析解中包含有未知的收斂控制參數(shù)和輔助函數(shù) ， 也可能包含未知的物理參數(shù). 如何確定這些未知參數(shù)和未知函數(shù)？本文應(yīng)用機器學(xué)習(xí)方法中的小批量梯度下降法對同倫分析解中的未知參數(shù)進行優(yōu)化.

令θ= {h， ω} ， h 為式（2）中出現(xiàn)的輔助參數(shù) ， ω表示線性輔助算子 L 、初始猜測解 V0（x）以及輔助函數(shù) H（x）中用以加速收斂與控制收斂范圍的其他控制參數(shù) ， 該集合中也可能會包含其他的未知參數(shù). N[V（x0， θ）]2作為余量的平方度量了以上解析近似解 V（x0， θ）趨于u（x0）的程度 ， 當(dāng) N[V（x0， θ）]2 →0 時 ， 有V（x0， θ）→ u（x0） ， 因此最小化r?N[V（x， θ）]2dx 得到的θ可以使解析近似解收斂得更快、更好.定義目標(biāo)函數(shù)

式（7）中x ∈? ， ?是訓(xùn)練集取值集合 ， 其為定義域的真子集.

繼而問題轉(zhuǎn)化為對式（7）中θ的優(yōu)化 ， 考慮到利用 ReLU （Rectified Linear Unit）函數(shù)進行梯度截斷來解決梯度爆炸問題會導(dǎo)致訓(xùn)練數(shù)據(jù)分布不均 ， 且函數(shù)需要的參數(shù)自適應(yīng)性能力弱 ， 本文使用 Adam 梯度下降法避免這一問題[15] ， 解決梯度爆炸問題的同時也加速了收斂 ， 如算法1 所示.

算法1 梯度下降法

輸入：訓(xùn)練集 X

輸出：迭代優(yōu)化后的參數(shù)θ

1：初始化學(xué)習(xí)參數(shù)ρ1 =0.9 ， ρ2 =0.999 ， δ= 10?8 ， 迭代參數(shù) k =1 ， s0 =0 ， r0 =0 ， 最高迭代次數(shù) K

2：生成隨機點數(shù)據(jù)集 X ??

3：設(shè)定學(xué)習(xí)率α ， 初始參數(shù)θ0

4： Repeat

5：隨機選取訓(xùn)練集的子集Xk = {x1， x2 ， ·· · ， xn} ， Xk ? X

6：計算梯度： g =? ?θk J （xi， θk）

7：計算一階矩和二階矩 sk+1 =ρ1sk + （1? ρ1）g， rk+1 =ρ2rk + （1? ρ2）g · g

8：修正一階矩和二階矩： s^=? ， r^=

9：以一階矩為梯度 ， 用二階矩調(diào)整學(xué)習(xí)速度 ， 更新參數(shù)：θk+1 =θk ?? s^

10：k = k +1

11： Until k ? K? or θ收斂

本文方法利用 Python 的流處理框架 Tensorflow， 方便進行算法策略的調(diào)整， 訓(xùn)練集根據(jù)非線性系統(tǒng)的定義域? ， 生成指定范圍內(nèi)的64位浮點數(shù).

2? 應(yīng)用實例

例1? 考慮無量綱化后的空氣中自由下落球體方程

根據(jù)式（8）定義非線性算子

N[Φ（t， q）]=?????????? +Φ2（t， q）? 1.

選擇解表達(dá)形式

選取線性算子 L， 輔助函數(shù) H 和初始猜測解 V0分別為

應(yīng)用同倫分析方法 ， 依次迭代求解高階形變方程 ， 獲得近似解的前 m 項：

從而得到帶參數(shù)的近似解

取 m =4所得的解析近似解表達(dá)式 ， 使用梯度下降的 Adam 算法優(yōu)化 ， 設(shè)初值h =1 ;單次迭代點集大小 n =50; 學(xué)習(xí)率 a =1.0× 10?3; 訓(xùn)練集范圍為（0， 1）. 經(jīng)過約4 ×105次迭代 ， h 收斂于 –0.764附近 ， 選取驗證集誤差最小的h =?0.7644 .表1給出了m =4 時 ， h 和余量的均方誤差 MSE （Mean Squared Error）隨著迭代次數(shù)增加而產(chǎn)生的變化 ， 表2將本文所獲得的解析近似解與文獻(xiàn)[4]中所獲得的解析近似解（h =? 1）及精確解的平均絕對誤差 MAE （Mean Absolute Error）進行比較.

從表 1可知， 隨著迭代次數(shù)的增加， h 的值趨于收斂 ， 且余量的均方誤差 MSE也隨之顯著下降.從表 2可知 ， 本文所獲得的解析近似解明顯優(yōu)于文獻(xiàn)[4]中的解析近似解 ， 并且本文所獲得的解析近似解的平均絕對誤差明顯小于文獻(xiàn)[4]中的解析近似解的平均絕對誤差.

例2? 考慮空間 Duffing 振子滿足的非線性方程

式（9）中 L 為邊界條件常量. 引入變換

在該變換下 ， 方程（9）轉(zhuǎn)換為

v′′（x）+ ε（v ? v3）= 0， v（0）= v（π）= 0.

假設(shè) A 為波的振幅 ， 令v（x）= Au（x） ， 則得到

式（10）中A = v（π/2）. 對非線性系統(tǒng)（10）應(yīng)用同倫分析方法求解 ， 定義非線性算子

N[Φ（x， q）， α（q）]=???????????? +ε（Φ（x， q）? α2（q）Φ3（x， q））.

對該系統(tǒng)構(gòu)造零階形變方程

當(dāng)q 從0 變化到1 時 ， α（q）從初值 A0演化到 A .根據(jù)非線性算子的性質(zhì) ， 選用以下解表達(dá)形式

u（x）=? bisin[（2i +1）x].（11）

根據(jù)解表達(dá)式（11）， 定義輔助線性算子 L 和選取初始猜測解 V0（x）為

L[Φ（x， q）]=???????????? +Φ（x， q），

式中線性算子具有性質(zhì) L（C1sin x + C2cos x）= 0 ， C1 ， C2為任意常數(shù). 對該非線性系統(tǒng) ， 文獻(xiàn)[4]給出了多個可行的輔助函數(shù)

H（x）= 1， H（x）= sin2x， H（x）= cos2x， H（x）= cos（2x）.? （12）

本文將式（12）中的可選 H（x）作基函數(shù)加權(quán)展開 ， 去除其中的線性相關(guān)項 ， 得到假設(shè)形式

例2 中除了要求u（x） ， 還要求出振幅 A .故除了對Φ（x， q）進行泰勒展開 ， 同樣地需要對α（q）進行泰勒展開

由此可得到高階形變方程

式（14）中

Rm（Vm ?1， Am ?1）= （m ?1）???? ?qm ?1? q=0.

由于h 總是以hH（x）形式出現(xiàn)在解分量中 ， 故令h =1 即可.當(dāng)C1 =0 時 ， 對C0進行訓(xùn)練等價于當(dāng) H（x）= 1時對h 進行訓(xùn)練.

根據(jù)解表達(dá)形式與同倫分析方法的解封閉原則[4] ， 式（14）的右端不應(yīng)含有 sin x 項 ， 在求解第 i 階形變方程之前 ， 通過令sin x 項的系數(shù)為零得到關(guān)于Ai ?1 的代數(shù)方程 ， 求解該方程即可確定 Ai–1 ， 然后根據(jù)高階形變方程（14）求解Vi（x） ， 這樣即可獲得該系統(tǒng)的解析近似解及振幅 A 的近似值.

令ε= 10 ， m =4 ， 求得4 階解析近似解后 ， 使用基于梯度下降的 Adam 算法進一步確定解表達(dá)式中的未知參數(shù). 構(gòu)造目標(biāo)函數(shù)并設(shè)置相關(guān)參數(shù)：單次迭代點集大小n =50; 學(xué)習(xí)率a =1.0× 10?4; 參數(shù)x ∈（0， 1） ， 訓(xùn)練集大小為106.

在式（13）中 ， 令 C1 =0得到一階輔助函數(shù) H（x）= C0 ， 選擇最優(yōu)誤差對應(yīng)的參數(shù) C0 =?0.439 ， 對于二階輔助函數(shù) ， C0和 C1分別收斂于?0.56035346和 ?0.41409920附近 ， 將所得結(jié)果代入所得的解析近似解中， 得到基于不同輔助函數(shù)的余量平方曲線（ 圖1）.

從圖 1可以看出梯度下降法在選擇控制參數(shù)的最優(yōu)值時更具優(yōu)越性 ， 特別地 ， 基于二階展開的輔助函數(shù)所獲得的近似解精度更高.

根據(jù)解表達(dá)式（11）可知 ， 近似解是周期 T =2π的奇函數(shù) ， 所以在（0， π）上進行參數(shù)訓(xùn)練即可獲得定義域上的最優(yōu)參數(shù)結(jié)果. 表3列出了本文根據(jù)不同訓(xùn)練集得到的參數(shù)結(jié)果 ， 比較了其對應(yīng)余量函數(shù)的定積分 ， 其中{C0， C1}（a，b）表示在訓(xùn)練集（a， b）上訓(xùn)練得到的最優(yōu)化參數(shù)值的集合.

從表3可知 ， 可通過選擇不同訓(xùn)練集區(qū)間 ， 調(diào)整收斂控制參數(shù) ， 從而獲得相應(yīng)區(qū)間內(nèi)的最優(yōu)近似解.

例2 驗證了本文所提出的二階加權(quán)展開的輔助函數(shù)對于近似解收斂性的進一步優(yōu)化 ， 并使用本文的方法進行參數(shù)選擇 ， 得到了比文獻(xiàn)[4]中的單一輔助參數(shù)選擇后的近似解更優(yōu)的結(jié)果. 通過對不同訓(xùn)練區(qū)間上的近似解結(jié)果進行余量積分的比較 ， 證明了本文算法的確可以根據(jù)不同訓(xùn)練區(qū)間來尋找相應(yīng)區(qū)間內(nèi)更優(yōu)的解析近似解.

例3? 考慮具有奇非線性保守系統(tǒng)的自由振動方程

式（15）中：ε 為人工小參數(shù); a 為振幅. 假設(shè) w 為頻率 ， 引入變換x = wt ， U（t）= u（x） ， 則非線性系統(tǒng)（15）轉(zhuǎn)換為

（16）

根據(jù)非線性算子的性質(zhì)選取解表達(dá)形式

u（x）=? bicos（ix）.（17）

式（17）中bi為待定系數(shù). 進一步選取輔助線性算子與初始猜測解

L[Φ（x， q）]= w [+ Φ（x， q）] ，???? （18）

V0（x）= acos x.?? （19）

式（18）中線性算子具有性質(zhì) L（C1sin x + C2cos x）= 0 ， C1 ， C2為任意常數(shù). 根據(jù)解表達(dá)形式可知輔助函數(shù)具有以下形式

H（x）= cos（2kx），? k =0， 1， 2， 3， ·· ·.

將 H（x）利用基函數(shù)列進行加權(quán)展開為

H（x）= C1+ C2cos（2x）.? （20）

與例2 的求解思路相同， 根據(jù)式（16）—（20）求出u（x）的m 階解析近似解.

令ε= 10 ， a =1 ， m =4 ， 設(shè)初值C0 =1 ， C1 =1 ;單次迭代點集大小n =50; 學(xué)習(xí)率a =1.0× 10?3; 訓(xùn)練集范圍為（0， 20）;訓(xùn)練集大小為106; 訓(xùn)練選取最小驗證集均方誤差對應(yīng)的結(jié)果C0 =?0.180577，C1 =?0.261701. 圖 2將本文結(jié)果與文獻(xiàn)[4]中的單一同倫分析解進行了比較.

從圖 2可知， 本文所獲得的解析近似解較文獻(xiàn)[4]中的同倫分析解具有更高的精度.該實例所獲得的結(jié)果進一步驗證了基于二階加權(quán)展開輔助函數(shù)所獲得的同倫分析解具有更好的收斂性.

例4 考慮 Thomas-Fermi 方程

根據(jù)漸進性質(zhì)分析[16-17] ， 引入變換

式中λ 為引入?yún)?shù). 則方程（21）轉(zhuǎn)換為

利用文獻(xiàn)[13]中引入的多個收斂控制參數(shù) ， 使用解表達(dá)式（23）， 初始猜測解式（24）， 輔助線性算子式 （25）和輔助函數(shù)式（26）， 其中輔助線性算子式（25）是文獻(xiàn)[13]中帶參數(shù)輔助線性算子優(yōu)化后的結(jié)果， 本文著重對引入的控制參數(shù)λ ， ε以及輔助參數(shù)h 進行優(yōu)化.

式中：輔助線性算子（25）具有性質(zhì) L（tj）= 0 ， j =15 ， ?3 ， ?4.

根據(jù)式（22）—（26）， 利用同倫分析方法可求出 g（t）的 m 階近似解 gm（t） ， 根據(jù)變換 um（x）= g （1+ λ） 得到u（x）的m 階近似解

文獻(xiàn)[13]利用約2 000個間隔點的誤差和構(gòu)造了關(guān)于控制參數(shù)的函數(shù) ， 并根據(jù) Mathematica 中的 Nminimize 命令獲得了最優(yōu)結(jié)果λ= 5/16 ， ε= ?86/17 ， h =? 11/8. 本文取m =6 的解析近似解表達(dá)式 ， 設(shè)初值 h =1 ， ε= ?1 ， λ= 1; 單次迭代點集大小n =10; 學(xué)習(xí)率a =1.0× 10? 1; 訓(xùn)練集范圍為 （0， 100）. 例4 使用負(fù)冪級數(shù)表示解 ， 為了使結(jié)果更精確 ， 例4 在訓(xùn)練時將梯度修改為x2g ， 通過這種等價于修改訓(xùn)練集概率密度的方式 ， 解決了x 較大時 N[u（x， θ）]對θ的導(dǎo)數(shù)過小而導(dǎo)致的均方誤差有效數(shù)字溢出問題. 在此調(diào)整的基礎(chǔ)上 ， 訓(xùn)練得到驗證集均方誤差最小時所對應(yīng)的參數(shù)λ= 0.33546 ， ε= ?4.4623677 ， h =? 1.360267. 表 4比較了選定點上數(shù)值解、文獻(xiàn)[13]近似解和本文近似解 ， 表 5比較了本文近似解與文獻(xiàn)[13]中近似解在選定點上的均方誤差， 表 6給出了本文近似解得到的導(dǎo)數(shù)值u′（0）與文獻(xiàn)[13]中相應(yīng)結(jié)果的比較 ， 注意由于例4 所使用的解表達(dá)是負(fù)冪級數(shù)的形式 ， 需要進行高精度計算， 表 4—6的結(jié)果都是在 Maple 2018高精度環(huán)境下計算得到.

從表 4—6 可知 ， 本文所獲得的同倫分析解要優(yōu)于文獻(xiàn)[13]中的同倫分析解.例 4基于文獻(xiàn)[13]中所引入的多個收斂控制參數(shù) ， 同時對同倫分析解中的多個參數(shù)進行優(yōu)化 ， 計算結(jié)果表明 ， 本文所提出的方法在確定參數(shù)的最優(yōu)值時較文獻(xiàn)[13]中所使用的方法更具普適性和靈活性.

3? 總結(jié)

同倫分析方法是構(gòu)造非線性微分方程解析近似解的有效方法 ， 該方法最大的優(yōu)點在于通過引入控制參數(shù)來調(diào)節(jié)和控制級數(shù)解的收斂區(qū)域和收斂速度 ， 但控制參數(shù)的選擇缺少系統(tǒng)的方法 ， 本文使用機器學(xué)習(xí)技術(shù)來確定控制參數(shù)的最優(yōu)值. 計算結(jié)果表明 ， 基于本文算法所得到的參數(shù)值在級數(shù)解的收斂速度上有更好的表現(xiàn) ， 這為同倫分析方法的參數(shù)確定開拓了一種新的途徑 ， 并且機器學(xué)習(xí)算法的發(fā)展非常迅速， 因此， 本文所提出的參數(shù)選擇算法具有較好的發(fā)展和應(yīng)用前景.

[參考文獻(xiàn)]

[1] VAN DYKE M. Perturbation Methods in Fluid Mechanics [M]. Stanford： Parabolic Press， 1975.

[2] NAYFEH A H. Introduction to Perturbation Techniques [M]. New York： John Wiley & Sons， 1981.

[3] NAYFEH A H. Perturbation Methods [M]. New York： John Wiley & Sons， 2008.

[4] LIAO S J. Beyond Perturbation： Introduction to the Homotopy Analysis Method [M]. Boca Raton， Florida： CRC Press， 2004.

[5] LIAO S J. Homotopy Analysis Method in Nonlinear Differential Equations [M]. Beijing： Higer Education Press， 2012.

[6] LYAPUNOV A M. The general problem of the stability of motion [J]. International Journal of Control， 1992， 55（3）：531-534.

[7] ADOMIAN G. Nonlinear Stochastic Operator Equations [M]. Orlando： Academic Press， 1986.

[8]廖世俊.求解非線性問題的同倫分析方法[D].上海：上海交通大學(xué)， 1992.

[9] ODIBAT Z M. A study on the convergence of homotopy analysis method [J]. Applied Mathematics and Computation， 2010， 217（2）：782-789.

[10] YABUSHITA K， YAMASHITA M， TSUBOI K. An analytic solution of projectile motion with the quadratic resistance law using thehomotopy analysis method [J]. Journal of Physics A： Mathematical and Theoretical， 2007， 40（29）：8403-8416.

[11] LIAO S J. Advances in the Homotopy Analysis Method [M]. Singapore： World Scientific， 2014.

[12] VAN GORDER R A， VAJRAVELU K. On the selection of auxiliary functions， operators， and convergence control parameters in theapplication of the homotopy analysis method to nonlinear differential equations： A general approach [J]. Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation， 2009， 14（12）：4078-4089.

[13] 趙銀龍.同倫分析方法之改進及其在非線性邊值問題之應(yīng)用[D].上海：上海交通大學(xué)， 2015.

[14] ROUX N L， SCHMIDT M， BACH F. A stochastic gradient method with an exponential convergence rate for finite training sets [EB/OL].（2013-03-11）[2020-07-26]. https：//arxiv.org/pdf/1202.6258.pdf.

[15] KINGMA D P， BA J L . Adam： A method for stochastic optimization [EB/OL].（2015-07-23）[2020-08-27]. https：//arxiv.org/pdf/1412.6980v8.pdf.

[16] FEYNMAN R P， METROPOLIS N， TELLER E. Equations of state of elements based on the generalized Fermi-Thomas theory [J].Physical Review， 1949， 75（10）：1561-1573.

[17] COULSON C A， MARCH N H. Momenta in atoms using the Thomas-Fermi method [J]. Proceedings of the Physical Society， 1950，63（4）：367-374.

[18] KOBAYASHI S， NAGAI S， UMEDA K. Accurate value of the initial slope of the ordinary TF function [J]. Journal of the PhysicalSociety of Japan， 1955， 10（9）：759-762.

[19] FERNáNDEZ F M. Rational approximation to the Thomas-Fermi equations [J]. Applied Mathematics and Computation， 2011，217（13）：6433-6436.

（責(zé)任編輯：陳麗貞）