薛紅利

(吉林省長春市第六中學(xué))

數(shù)列求和是高考中比較常見的考點,有時以解答題的形式出現(xiàn),有時以選擇題或填空題的壓軸題形式出現(xiàn).數(shù)列求和問題除了直接利用等差數(shù)列或等比數(shù)列的求和公式外,經(jīng)常還通過裂項相消法、錯位相減法、分組轉(zhuǎn)化法、并項求和法等方法來求解.

1 裂項相消法

破解策略 裂項相消法求和需過的“三關(guān)”:第一關(guān)是定通項,即會利用求通項公式的常用方法求出數(shù)列的通項公式;第二關(guān)是巧裂項,即能將數(shù)列的通項公式準(zhǔn)確裂項;第三關(guān)是消項求和,即把握消項的規(guī)律,準(zhǔn)確判斷剩余的項是哪幾項,從而順利求和.

2 錯位相減法

破解策略 應(yīng)用錯位相減法求和的關(guān)鍵:一是判斷模型,即判斷數(shù)列{an},{bn}是不是一個為等差數(shù)列、一個為等比數(shù)列;二是錯開位置,為兩式相減做準(zhǔn)備;三是相減,相減時一定要注意最后一項的符號,在解題時常在此處出錯,一定要小心.

3 分組轉(zhuǎn)化法

當(dāng)一個數(shù)列既不是等差數(shù)列,也不是等比數(shù)列時,可以將這個數(shù)列合理拆分,再重新組合,變成幾個可以利用特殊數(shù)列進(jìn)行求和的部分(經(jīng)常采用分組轉(zhuǎn)化法加以分別求和),然后再合并即可達(dá)到數(shù)列求和的目的.

破解策略 分組轉(zhuǎn)化法求和需過的“四關(guān)”:第一關(guān)是轉(zhuǎn)化,即將已知條件轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言;第二關(guān)是解方程,即利用方程(組)的思想求出等差數(shù)列或等比數(shù)列中的基本量;第三關(guān)是分組求和,即觀察數(shù)列通項公式的特征,若其是由若干個簡單數(shù)列(如等差數(shù)列、等比數(shù)列)的通項組成,則求和時可用分組求和法,把數(shù)列分成幾個可以直接求和的數(shù)列;第四關(guān)是用公式法求和,對分組后的各個數(shù)列求和,觀察各個數(shù)列的特點,利用等差數(shù)列、等比數(shù)列的前n項和公式求和.

4 并項求和法

在解決一些涉及三角函數(shù)或與絕對值有關(guān)的數(shù)列求和問題時,經(jīng)常根據(jù)相關(guān)數(shù)列的特征,先將數(shù)列的每兩項(或多次)合并到一起,再轉(zhuǎn)化為熟悉的等差數(shù)列或等比數(shù)列進(jìn)行求和處理.這種方法常適用于擺動數(shù)列的求和應(yīng)用問題.

破解策略 用并項求和法對數(shù)列進(jìn)行求和,關(guān)鍵是將一個數(shù)列分成若干段,然后分別利用等差數(shù)列或等比數(shù)列的求和公式或其他求和方法求解各分段數(shù)列.利用并項求和法求解數(shù)列問題的常見類型:一是數(shù)列的通項公式中含有絕對值符號;二是數(shù)列的通項公式中含有符號因子“(－1)n”等相關(guān)的形式.