張 輝特級(jí)教師 趙 濤

(北京市陳經(jīng)綸中學(xué))

數(shù)列的特點(diǎn)在于數(shù)字排列的有序性和規(guī)律性,數(shù)列問(wèn)題的研究是要找出數(shù)列背后本質(zhì)關(guān)系.數(shù)列是特殊的函數(shù),除了有自身的研究方法,從函數(shù)角度研究數(shù)列是高考重點(diǎn)考查的內(nèi)容之一,內(nèi)容多并且與其他知識(shí)關(guān)聯(lián)性強(qiáng).本文主要談數(shù)列復(fù)習(xí)中四個(gè)值得關(guān)注的問(wèn)題.

1 尋找項(xiàng)an 與項(xiàng)數(shù)n 的關(guān)系是探求數(shù)列特點(diǎn)的關(guān)鍵

1.1 歸納是尋找項(xiàng)an 與項(xiàng)數(shù)n 關(guān)系的根本方法

表1

圖1

表2

因?yàn)閍n＝n(n＋1),且44×45＝1980,所以運(yùn)動(dòng)了1980秒時(shí)到點(diǎn)A44(44,44),又由運(yùn)動(dòng)規(guī)律知,A1,A2,…,An中,奇數(shù)點(diǎn)處向下運(yùn)動(dòng),偶數(shù)點(diǎn)處向左運(yùn)動(dòng),到達(dá)A44(44,44)時(shí),再向左運(yùn)動(dòng)42秒到達(dá)點(diǎn)(2,44),即運(yùn)動(dòng)2022秒這個(gè)粒子所處位置為(2,44).

上面兩個(gè)例子都是通過(guò)歸納找出一般性規(guī)律,再去解決特殊問(wèn)題,歸納是發(fā)現(xiàn)數(shù)列一般規(guī)律的重要方法.例2中,觀察前后項(xiàng)關(guān)系由a1＝2,a2＝6,a3＝12,a4＝20,….a2－a1＝2×2,a3－a2＝2×3,a4－a3＝2×4,…,an－an－1＝2n(n≥2,n∈N*),將以上各式相加有an－a1＝2×(2＋3＋4＋…＋n),所以an＝n(n＋1).

1.2 遞推是尋找項(xiàng)an 與項(xiàng)數(shù)n 關(guān)系的常用方法

解決數(shù)列問(wèn)題時(shí),有時(shí)也可以找到前后項(xiàng)的關(guān)系,利用它們的關(guān)系求出數(shù)列的特殊項(xiàng),有時(shí)甚至能求出數(shù)列的通項(xiàng)公式.例2點(diǎn)評(píng)中就是利用遞推關(guān)系求數(shù)列通項(xiàng)公式的累加法.這種方法源于課本等差數(shù)列通項(xiàng)公式的推導(dǎo),課本中推導(dǎo)等比數(shù)列通項(xiàng)公式所采用的方法是累乘法.

例3 正整數(shù)按如圖2所示的形式排列,位于對(duì)角線位置的正整數(shù)1,3,7,13,…構(gòu)成數(shù)列{an},則a7＝_________,通項(xiàng)公式an＝_________.

圖2

2 運(yùn)用函數(shù)思想分析項(xiàng)an(前n 項(xiàng)和Sn)與項(xiàng)數(shù)n 的關(guān)系是解決數(shù)列問(wèn)題的有效路徑

數(shù)列是一種特殊的函數(shù),等差(比)數(shù)列的通項(xiàng)公式以及前n項(xiàng)和公式都可以看作是特殊的函數(shù),所以借助數(shù)列的復(fù)習(xí)可以再一次學(xué)習(xí)和體會(huì)函數(shù)思想在解題中的作用.

例5 數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝n2＋kn＋2,且滿(mǎn)足a1＜a2＜a3＜…＜an＜an＋1＜…,求實(shí)數(shù)k的取值范圍.

當(dāng)4n－34＝0時(shí),n＝8.5,即當(dāng)n≤8時(shí),an＜0;n＞8時(shí),an＞0,所以Sn的最小值為S8,即當(dāng)n＝8時(shí)Sn取得最小值.

3 明確Sn 與an 的關(guān)系,重視求和時(shí)的分類(lèi)與整合思想

數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an,其中S1＝a1,S2＝a1＋a2,S3＝a1＋a2＋a3,….任給一個(gè)n,都有唯一的Sn與之對(duì)應(yīng),所以Sn是n的函數(shù),{Sn}也是數(shù)列,其中a1＝S1,a2＝S2－S1,a3＝S3－S2,…,an＝Sn－Sn－1.所以,an＝Sn－Sn－1是在n≥2,n∈N*的條件下才能成立的.

例8 已知等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1＝1,公差d＞0,且第2 項(xiàng)、第5 項(xiàng)、第14 項(xiàng)分別為等比數(shù)列{bn}的第2項(xiàng)、第3項(xiàng)、第4項(xiàng).

(1)求數(shù)列{an}與{bn}的通項(xiàng)公式;

4 關(guān)注數(shù)列與函數(shù)、不等式等知識(shí)的交叉、滲透與整合

總之,數(shù)列在數(shù)學(xué)知識(shí)體系中發(fā)揮著橋梁的作用,一方面它連接了函數(shù)、不等式等內(nèi)容,另一方面它又為學(xué)習(xí)極限等高等數(shù)學(xué)知識(shí)奠定了基礎(chǔ).數(shù)列在現(xiàn)實(shí)生活中有著廣泛的應(yīng)用,復(fù)習(xí)過(guò)程中要抓住數(shù)列的本質(zhì)特征以及數(shù)列與其他知識(shí)的關(guān)聯(lián)性,淡化技巧性,將數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)與高中數(shù)列教學(xué)進(jìn)行融合,這樣才能達(dá)到良好的復(fù)習(xí)效果.

鏈接練習(xí)

1.用火柴棒按如圖3所示的方法搭三角形.

圖3

按圖示的規(guī)律搭下去,則所用火柴棒數(shù)an與所搭三角形的個(gè)數(shù)n之間的關(guān)系式可以是_________.

2.已知等差數(shù)列{an}的公差為d,前n項(xiàng)和為Sn,則“d＞0”是“S4＋S6＞2S5”的( ).

A.充分不必要條件 B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件