朱 瓊

(甘肅省酒泉衛(wèi)星發(fā)射中心東風中學)

高中數(shù)學不等式知識是高等數(shù)學數(shù)學分析和實變函數(shù)等學科的基礎(chǔ),是高中數(shù)學主干知識之一,也是高考重點考查的內(nèi)容.因此,在平時的學習中,學生有必要對經(jīng)典的不等式試題進行多解探究,以期提升數(shù)學學科核心素養(yǎng).本文對一道不等式問題進行多解探究.

畫出g(x)的圖像,如圖1所示.

令g(x)＝10,得x＝－2或2.結(jié)合圖像可得不等式f(x)＋|x－1|≤10的解集為{x|－2≤x≤2}.

以下著重對這道試題的第(2)問進行多解探究.

(2)方法1

圖1

本解法運用了三角換元法,由待求式子聯(lián)想到三角函數(shù)的平方關(guān)系式,再分離出r.最后結(jié)合三角函數(shù)的最值和已知條件求出r的最小值,從而求出a2＋b2的最小值.

本解法用b表示a后,代入a2＋b2＝t,整理后將其看成以b為主元的二次方程,根據(jù)方程有實根,則判別式大于或等于0,得出t的最小值,從而得出a2＋b2的最小值.

由已知條件聯(lián)想到直線方程,由a2＋b2聯(lián)想到直線上的點與坐標原點的距離的平方,再由點到直線的距離公式可以求出d的最小值,從而求出a2＋b2的最小值.

本題先用b表示a,再代入a2＋b2,最后利用二次函數(shù)的最值求出函數(shù)f(b)的最小值.

本文利用高中數(shù)學中學習過的柯西不等式、三角函數(shù)、向量、一元二次不等式以及距離公式等對例題進行多解探究,體現(xiàn)了數(shù)學知識的綜合性,創(chuàng)新了試題的解法.多解探究可以引發(fā)學生學習興趣,培養(yǎng)數(shù)學運算和邏輯推理的數(shù)學素養(yǎng).下面給出3道練習題供讀者參考.