戚緒堯，王 濤，陳良舟

(1.中國(guó)礦業(yè)大學(xué) 煤礦瓦斯與火災(zāi)防治教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，江蘇 徐州 221116；2.中國(guó)礦業(yè)大學(xué) 安全工程學(xué)院，江蘇 徐州 221116)

煤炭在相當(dāng)長(zhǎng)時(shí)間內(nèi)仍是我國(guó)能源結(jié)構(gòu)的主要部分。深部煤炭資源開采及老舊采區(qū)復(fù)采是拓展煤炭資源、保障煤炭供應(yīng)的有效途徑。隨著大規(guī)模高強(qiáng)度的回采和深部開采活動(dòng)的進(jìn)行，巷道頂板或再生頂板中頂部煤巖體在采動(dòng)應(yīng)力或沖擊地壓下易破裂產(chǎn)生裂隙，隨著裂隙的進(jìn)一步擴(kuò)展，易發(fā)生裂隙漏風(fēng)及頂板失穩(wěn)等風(fēng)險(xiǎn)，從而引發(fā)諸如頂板或再生頂板垮落、再生頂板遺煤自燃、高冒區(qū)遺煤自燃等重大安全問題。

鉆孔注漿是封堵裂隙和加固煤巖體的主要手段之一，漿液在裂隙通道內(nèi)的流動(dòng)特性是注漿施工設(shè)計(jì)的重要參考指標(biāo)。由于裂隙注漿屬于強(qiáng)隱蔽性的過程，煤礦井下難以實(shí)時(shí)監(jiān)測(cè)漿液的流體力學(xué)參數(shù)，現(xiàn)場(chǎng)注漿設(shè)計(jì)一般依據(jù)注漿理論。但注漿理論的發(fā)展滯后于現(xiàn)場(chǎng)需求，特別是針對(duì)上覆煤巖裂隙的高位注漿，由于應(yīng)力消失后煤巖裂隙的擴(kuò)散逐步停止，此時(shí)的煤巖裂隙屬于有界的裂隙空間?，F(xiàn)有注漿理論難以適用于有限裂隙空間內(nèi)的高位注漿，導(dǎo)致現(xiàn)場(chǎng)注漿設(shè)計(jì)大多憑經(jīng)驗(yàn)設(shè)計(jì)，具有較大的盲目性，因此開展煤巖裂隙高位注漿模型研究具有重要的工程意義。

國(guó)內(nèi)外學(xué)者主要從理論模型、模型實(shí)驗(yàn)和數(shù)值模擬方面對(duì)裂隙巖體內(nèi)注漿漿液流動(dòng)規(guī)律進(jìn)行了大量研究。在理論模型方面，由于裂隙網(wǎng)絡(luò)分布的復(fù)雜性，解析解主要集中于單裂隙的通道流和徑向流中。基于潤(rùn)滑近似的假設(shè)，部分學(xué)者推導(dǎo)了不同流變特性流體在單裂隙中的流動(dòng)解析解，如LI等推導(dǎo)了變密度聚合物漿液在平面裂縫中的徑向瞬態(tài)流動(dòng)的解析式；MAJIDI等推導(dǎo)了屈服冪律流體在平板裂隙間的徑向流動(dòng)理論解，并通過數(shù)學(xué)簡(jiǎn)化，給出了近似解析式；ZOU等分析了Bingham流體徑向流動(dòng)解析式，并從力平衡的角度推導(dǎo)了塞流區(qū)合理的表達(dá)式；MOHAMED等系統(tǒng)地推導(dǎo)了非線性牛頓流體在恒壓、恒流量和恒能量3種工況下的平板裂隙通道流和徑向流的解析式；王東亮等基于不同流體的本構(gòu)方程及運(yùn)動(dòng)方程，推導(dǎo)了不同流型漿液的擴(kuò)散方程。HU等建立了冪律流體在傾斜管狀裂隙中擴(kuò)散的解析式，并分析了裂隙傾角等因素對(duì)漿液擴(kuò)散距離的影響；裴啟濤等建立了恒速率注漿條件下反映漿液黏度時(shí)空變化的傾斜裂隙注漿擴(kuò)散模型。李術(shù)才等建立了單一平板優(yōu)勢(shì)劈裂注漿擴(kuò)散模型，推導(dǎo)了考慮漿液流變特征的優(yōu)勢(shì)劈裂注漿擴(kuò)散控制方程。上述研究成果在一定程度上推動(dòng)了注漿理論發(fā)展，但未考慮有限裂隙空間中裂隙邊界對(duì)漿液流動(dòng)狀態(tài)的影響，限制了在煤巖體裂隙高位注漿施工設(shè)計(jì)中的應(yīng)用。

模型試驗(yàn)和數(shù)值模擬廣泛應(yīng)用于理論模型驗(yàn)證以及探究復(fù)雜流動(dòng)。模型實(shí)驗(yàn)中數(shù)據(jù)的獲取依賴于傳感器的鋪設(shè)，對(duì)復(fù)雜裂隙流動(dòng)模型實(shí)驗(yàn)難以獲取全局的流體力學(xué)參數(shù)。與模型實(shí)驗(yàn)的局限性相比，數(shù)值模擬只需給出合理的本構(gòu)模型、邊界條件和計(jì)算參數(shù)便可得到更精確的全局解，因此數(shù)值模擬逐漸成為探究裂隙注漿規(guī)律的重要手段。

綜上，現(xiàn)有裂隙注漿研究主要側(cè)重于無限延伸單裂隙內(nèi)流動(dòng)的解析解和裂隙網(wǎng)絡(luò)中的數(shù)值解，對(duì)高位注漿和裂隙側(cè)壁對(duì)漿液流動(dòng)影響研究較少。筆者在分析高位注漿工藝和漿液流變特性的基礎(chǔ)上，建立了任意傾角下有限邊界裂隙注漿擴(kuò)散數(shù)學(xué)模型，然后通過對(duì)數(shù)學(xué)模型進(jìn)行數(shù)值計(jì)算探究了不同裂隙傾角和注漿速率下裂隙高位注漿中漿液的擴(kuò)散形態(tài)、流量及壓力場(chǎng)變化規(guī)律?；跀?shù)值計(jì)算結(jié)果，建立了漿液高位流動(dòng)數(shù)學(xué)模型，給出了恒定注漿速率工況下的解析解，并對(duì)解析解的合理性進(jìn)行了驗(yàn)證，以期為煤礦井下煤巖裂隙災(zāi)害治理過程中高位注漿工藝設(shè)計(jì)提供一定的理論參考。

1 煤巖裂隙高位注漿理論

1.1 注漿工藝

裂隙注漿工藝主要包括恒定流量注漿、恒定壓力注漿及恒定能量注漿，不同的注漿工藝對(duì)漿液在裂隙流動(dòng)過程中流動(dòng)規(guī)律影響顯著。井下通過注漿管將漿液泵送至裂隙煤巖體內(nèi)部對(duì)裂隙空間進(jìn)行填充，而頂部的煤巖裂隙體屬于易碎結(jié)構(gòu)，在承受較大鉆孔壓力和注漿壓力時(shí)易發(fā)生垮塌。為避免過大的初始注漿壓力破壞煤巖裂隙結(jié)構(gòu)，針對(duì)高位注漿時(shí)宜采用恒定流量注漿工藝。在恒定流量注漿工藝下，注漿壓力將會(huì)隨著漿液的擴(kuò)散距離逐步增加，直至達(dá)到高位煤巖所能承受的最大壓力。因此，本文的模型推導(dǎo)和數(shù)值建模均采用恒定的注漿速率邊界條件。

1.2 漿液流變方程

井下煤巖裂隙的注漿介質(zhì)以非牛頓流體為主，包括凝膠、泡沫、黃泥漿、水泥等及其幾種介質(zhì)的混合物。由于非牛頓流體的流變性能在裂隙滲流過程中的變化是非線性的，為有效控制注漿介質(zhì)的流動(dòng)范圍，通常在注漿設(shè)計(jì)時(shí)通過改變注漿介質(zhì)內(nèi)材料的配比來調(diào)整介質(zhì)的整體流變特性。本文以滿足Bingham流變模型的漿液作為研究對(duì)象，其流變模型可描述為

(1)

式中，為剪切應(yīng)力，Pa；為屈服應(yīng)力，Pa；為黏度，Pa·s；為流速，m/s；為垂直流體流動(dòng)方向。

1.3 漿液流動(dòng)方程

基于Bingham流體流變特性，以傾斜有限邊界的光滑平板裂隙為研究對(duì)象，則漿液在裂隙中流動(dòng)的物理系統(tǒng)如圖1所示(其中，為裂隙開度，m；為塞流區(qū)高度的一半，m；為注漿孔半徑，m；為注漿孔出口壓力，Pa；為裂隙傾角，(°))。

圖1 漿液在傾斜裂隙內(nèi)流動(dòng)示意Fig.1 Illustration of slurry flow in inclined fracture

由圖1可知，漿液自注漿管流出進(jìn)入裂隙空間后沿裂隙擴(kuò)展方向徑向流動(dòng)，由于裂隙存在傾角，漿液流動(dòng)方向可分為克服重力方向沿裂隙壁面向上的高位流動(dòng)和趨于重力方向沿裂隙壁面向下的低位流動(dòng)。為描述上述物理系統(tǒng)，在建立數(shù)學(xué)模型前，做出以下基本假設(shè)：① 裂隙形態(tài)不隨注漿過程變化；② 漿液在裂隙壁面上滿足無滑移條件；③ 漿液視為各向同性的均質(zhì)不可壓縮流體，滿足連續(xù)介質(zhì)假設(shè)描述；④ 漿液的流動(dòng)只發(fā)生在裂隙空間內(nèi)。

滿足連續(xù)介質(zhì)假設(shè)的流體在流動(dòng)過程中可由連續(xù)性方程和動(dòng)量方程描述?；跐?rùn)滑近似，考慮漿液自注漿管流出后沿裂隙通道徑向流動(dòng)，在柱坐標(biāo)系下裂隙空間內(nèi)漿液所滿足的控制方程可簡(jiǎn)化為

(2)

式中，為壓力，Pa；為剪切應(yīng)力，Pa；為高位流動(dòng)擴(kuò)散距離，m；為低位流動(dòng)擴(kuò)散距離，m；為重力加速度，m/s；為流動(dòng)密度。

控制方程的邊界條件有

(3)

(4)

(=)=,(=)=

(5)

式中，為軸方向上的流速，m/s；為漿液最終擴(kuò)散距離，m；為漿液擴(kuò)散鋒面前端壓力，Pa。

基于平板單裂隙注漿擴(kuò)散常規(guī)解法，結(jié)合塞流區(qū)高度的半經(jīng)驗(yàn)公式，分別對(duì)式(2)中高位流動(dòng)和低位流動(dòng)表達(dá)式進(jìn)行多次積分，可得高位流動(dòng)和低位流動(dòng)流量為

(6)

式中，為高位流動(dòng)流量，m/s；為漿液高位流動(dòng)擴(kuò)散鋒面弧長(zhǎng)；為低位流動(dòng)流量，m/s；為漿液低位流動(dòng)擴(kuò)散鋒面弧長(zhǎng)。

漿液擴(kuò)散過程中注漿總流量為

=+

(7)

其中，為注漿總流量，m/s。由此可分別得出高位流動(dòng)和低位流動(dòng)過程的壓降為

(8)

2 裂隙高位注漿數(shù)值模擬

2.1 數(shù)值模型建立

由式(8)可知，漿液流動(dòng)方程中包含漿液不同流動(dòng)方向上的壓降和擴(kuò)散鋒面弧長(zhǎng)2類未知項(xiàng)，因此難以得出基于上述基本假設(shè)下的解析解。為探究漿液在高位裂隙空間內(nèi)的流動(dòng)規(guī)律，采用數(shù)值模擬對(duì)上文中的控制方程進(jìn)行數(shù)值求解。在上述基本假設(shè)前提下，建立有限邊界裂隙高位注漿數(shù)值模型，其幾何模型及局部網(wǎng)格如圖2所示。

圖2 幾何模型及局部網(wǎng)格Fig.2 Geometric model and local grid

由圖2可知，數(shù)值模型中注漿孔為入流口，設(shè)置為速度入口邊界，注漿速率設(shè)定為0.05，0.10，0.20 m/s三種工況。高位出流口為出口，設(shè)置為壓力出口邊界，出口壓力為0。其余面均設(shè)置為壁面，且滿足壁面無滑移條件。漿液的物性參數(shù)設(shè)置需介于井下常用注漿介質(zhì)物性參數(shù)的合理范圍內(nèi)，為不失一般性，數(shù)值模型中漿液的密度設(shè)為1 300 kg/m，塑性黏度設(shè)為5 Pa·s，屈服應(yīng)力設(shè)為5 Pa。通過改變數(shù)值模型中不同坐標(biāo)方向的重力加速度分量實(shí)現(xiàn)不同傾斜角度下的流動(dòng)模擬，分別設(shè)置15°，30°，45°，60°，75°五個(gè)傾斜角度的計(jì)算工況。同時(shí)，為定量對(duì)比流域內(nèi)關(guān)鍵位置流體力學(xué)參數(shù)變化規(guī)律，在模型中設(shè)有監(jiān)測(cè)線。注漿是漿液對(duì)裂隙空間內(nèi)原生介質(zhì)(空氣、水等)驅(qū)替的過程，本模型中的原生介質(zhì)為空氣，初始時(shí)刻裂隙內(nèi)空氣體積分?jǐn)?shù)為1。為捕捉漿液在裂隙中擴(kuò)散鋒面的變化規(guī)律，使用VOF模型計(jì)算氣液交界面。使用ANSYS FLIENT 15.0軟件進(jìn)行數(shù)值計(jì)算，壓力-速度耦合項(xiàng)使用PISO算法，空間離散化中壓力項(xiàng)采用PRESTO!算法，動(dòng)量項(xiàng)采用二階迎風(fēng)格式，體積分?jǐn)?shù)項(xiàng)采用CICSAM算法，時(shí)間步長(zhǎng)設(shè)置為0.01 s。數(shù)值模型采用多面體網(wǎng)格進(jìn)行離散，為避免網(wǎng)格數(shù)量對(duì)結(jié)果造成的誤差，進(jìn)行了網(wǎng)格無關(guān)性驗(yàn)證。以傾角30°、注漿速率0.10 m/s計(jì)算工況下注漿50 s和100 s時(shí)的壓差作為檢驗(yàn)指標(biāo)，通過改變面網(wǎng)格尺寸及裂隙開度方向上的網(wǎng)格層數(shù)設(shè)置5組計(jì)算網(wǎng)格，計(jì)算結(jié)果如圖3所示。由圖3可知，當(dāng)網(wǎng)格數(shù)量超過30萬后，壓力值的增速放緩，且隨著網(wǎng)格數(shù)量的增加相對(duì)誤差大幅下降。綜合考慮計(jì)算效率和誤差，選取第3組網(wǎng)格進(jìn)行數(shù)值計(jì)算，該套網(wǎng)格的網(wǎng)格數(shù)量為305 188。

圖3 網(wǎng)格無關(guān)性驗(yàn)證Fig.3 Grid independence verification

2.2 模擬結(jié)果及分析

2.2.1 擴(kuò)散形態(tài)分析

分別以注漿速率為0.1 m/s和傾角為30°的計(jì)算工況為例，分析傾角和注漿速率對(duì)漿液在裂隙空間內(nèi)擴(kuò)散規(guī)律的影響。取裂隙開度中心(=0.003 m)的計(jì)算結(jié)果作為參考結(jié)果，數(shù)值模擬注漿過程中漿液的擴(kuò)散形態(tài)如圖4所示。

圖4 數(shù)值模擬注漿擴(kuò)散形態(tài)Fig.4 Numerical simulation of grouting diffusion pattern

由圖4可知，以與注漿口中心水平對(duì)齊的黃色虛線為界，虛線上方的流動(dòng)為高位流動(dòng)，虛線下方的流動(dòng)為低位流動(dòng)。根據(jù)高位流動(dòng)和低位流動(dòng)擴(kuò)散鋒面的變化規(guī)律，可將漿液在裂隙內(nèi)的流動(dòng)過程劃分為3個(gè)階段：自由擴(kuò)散階段、過渡階段和受限堆積階段。在自由擴(kuò)散階段，漿液整體擴(kuò)散形態(tài)呈圓形，受重力作用影響，低位流動(dòng)趨勢(shì)大于高位流動(dòng)，整體擴(kuò)散形態(tài)的圓心隨流動(dòng)時(shí)間的延長(zhǎng)逐漸下移轉(zhuǎn)變?yōu)闄E圓形，直至低位流動(dòng)的擴(kuò)散鋒面前端與裂隙底部接觸時(shí)停止。在過渡階段，受裂隙底部壁面支撐作用，漿液整體擴(kuò)散形態(tài)逐漸由橢圓形轉(zhuǎn)變?yōu)椤皀”形。該階段內(nèi)低位流動(dòng)在底部壁面的支撐作用下向兩側(cè)壁面擴(kuò)散，同時(shí)高位流動(dòng)鋒面逐漸延展，弧度逐漸變大，形狀由半圓形向矩形過渡。在受限堆積階段，底部空間均被填充，低位流動(dòng)已經(jīng)結(jié)束，在底部和兩側(cè)壁面的限制下，漿液流動(dòng)以高位流動(dòng)為主，整體擴(kuò)散形態(tài)由“n”形轉(zhuǎn)變?yōu)轭惥匦?。在此過程中，高位流動(dòng)的擴(kuò)散鋒面已經(jīng)穩(wěn)定不再隨擴(kuò)散的距離而改變。

由圖4(a)可知，在任意傾角下，漿液的擴(kuò)散形態(tài)演變規(guī)律相同，傾角大小對(duì)自由擴(kuò)散階段和過渡階段影響較大，對(duì)受限堆積階段影響較小。傾角越大，漿液完成自由擴(kuò)散階段和過渡階段的時(shí)間越短。這是因?yàn)樵酱蟮牧严秲A角使?jié){液在低位流動(dòng)時(shí)所分配的重力分量越大，漿液的擴(kuò)散以低位流動(dòng)為主，漿液率先完成底部區(qū)域充填。在底部區(qū)域填充完畢后，漿液以高位流動(dòng)為主，該階段內(nèi)漿液流動(dòng)趨于穩(wěn)定，鋒面與形態(tài)不再發(fā)生變化。圖4(a)中相同注漿時(shí)間下漿液在傾角60°和75°時(shí)的擴(kuò)散形態(tài)基本一致，這是因?yàn)閮A角增大到一定程度后，重力分量的增幅開始減緩，低位流動(dòng)趨勢(shì)逐漸達(dá)到閾值，對(duì)高位流動(dòng)的影響也逐漸減小。由此可得出，裂隙傾角對(duì)漿液擴(kuò)散形態(tài)的影響程度隨著裂隙傾角的增大先增強(qiáng)后減弱。

由圖4(b)可知，注漿速率對(duì)漿液流動(dòng)階段的轉(zhuǎn)變速度具有顯著影響，注漿速率越大，完成流動(dòng)階段轉(zhuǎn)變的時(shí)間間隔越小。在注漿初期，不同注漿速率下的漿液均處于自由擴(kuò)散階段。但隨著注漿時(shí)間的延長(zhǎng)，注漿速率大的漿液率先完成過渡階段并進(jìn)入受限堆積階段。由此可得出，注漿速率對(duì)漿液擴(kuò)散形態(tài)的影響程度隨著注漿時(shí)間的延長(zhǎng)逐步加強(qiáng)。

取漿液體積分?jǐn)?shù)大于0.5的區(qū)域作為漿液擴(kuò)散區(qū)域，以漿液擴(kuò)散鋒面最前沿處的距離作為漿液的擴(kuò)散距離，監(jiān)測(cè)線上不同工況下高位流動(dòng)的擴(kuò)散距離隨時(shí)間變化曲線如圖5所示。

圖5 高位流動(dòng)擴(kuò)散距離變化曲線Fig.5 Variation curves of high-position flow diffusion distance

由圖5可知，整體上漿液高位擴(kuò)散距離隨著注漿時(shí)間的延長(zhǎng)逐步增加，在不同傾角和注漿速率下，漿液高位擴(kuò)散距離的增速不同。注漿速率0.05 m/s時(shí)，注漿64 s后漿液在15°，30°，45°，60°，75°裂隙中高位擴(kuò)散平均流速分別為0.003 00，0.002 26，0.001 73，0.001 42，0.001 27 m/s；注漿128 s后，漿液在15°，30°，45°，60°，75°裂隙中高位擴(kuò)散平均流速分別為0.000 959，0.000 587，0.004 33，0.000 371，0.000 309 m/s；注漿192 s后，漿液在15°，30°，45°，60°，75°裂隙中高位擴(kuò)散平均流速分別為0.000 80，0.000 77，0.000 99 ，0.001 14，0.001 27 m/s。表明在相同流動(dòng)階段內(nèi)，隨著裂隙傾角的增大，漿液高位流動(dòng)擴(kuò)散增速逐漸降低，但增速下降幅度隨著傾角的增大逐漸減小，尤其是在受限堆積階段，裂隙傾角的差異對(duì)高位擴(kuò)散距離增速的影響程度顯著低于自由擴(kuò)散階段和過渡階段，這與擴(kuò)散鋒面受重力分量變化影響的規(guī)律一致。由此可得，裂隙傾角對(duì)高位擴(kuò)散距離的影響程度隨著流動(dòng)階段的演化逐漸減小。

裂隙傾角30°時(shí)，在0.05，0.10，0.20 m/s工況下，注漿32 s后漿液平均流速分別為0.003 6 ，0.004 7，0.008 8 m/s；注漿64 s后分別為0.000 55，0.002 20，0.003 50 m/s；注漿96 s后分別為0.000 93，0.001 40，0.009 90 m/s。表明在相同注漿時(shí)刻注漿速率對(duì)高位擴(kuò)散增速的影響隨著注漿速率的增大而增加。在不同注漿時(shí)刻注漿速率對(duì)高位擴(kuò)散距離增速的影響程度，隨著注漿時(shí)間的延長(zhǎng)先增加后減小，但當(dāng)漿液進(jìn)入受限堆積階段后，注漿速率變化對(duì)高位擴(kuò)散距離增速開始逐步增大。由此可得，注漿流速對(duì)高位擴(kuò)散距離的影響程度隨著流動(dòng)階段的演化逐漸增大。

2.2.2 流量分析

根據(jù)數(shù)值模型中注漿口的幾何特征，在恒定注漿速率下，理論上一定時(shí)間內(nèi)從注漿口流入裂隙空間內(nèi)的總體積等于在該注漿時(shí)間段內(nèi)漿液在裂隙空間內(nèi)填充體積，即

==2π=+

(9)

式中，為從注漿口注入裂隙空間總體積，m；為注漿時(shí)間，s；為高位流動(dòng)的體積，m；為低位流動(dòng)的體積，m；為注漿速率。

為定量分析高位流動(dòng)和低位流動(dòng)在不同流動(dòng)階段的流量分配規(guī)律，定義高位流動(dòng)的分流系數(shù)為

(10)

分流系數(shù)表征在任意時(shí)刻注入裂隙空間的漿液中高位流動(dòng)流量占比，不同工況下分流系數(shù)隨流動(dòng)時(shí)間的變化曲線如圖6所示。

由圖6可知，漿液整體分流系數(shù)隨注漿時(shí)間的延長(zhǎng)迅速減小，當(dāng)減小到最低點(diǎn)后開始迅速增大直至分流系數(shù)達(dá)到1后保持不變。結(jié)合漿液不同的流動(dòng)階段分析可知，在自由擴(kuò)散階段，漿液受重力分量影響高低位不均衡擴(kuò)散，此階段內(nèi)低位流動(dòng)占據(jù)優(yōu)勢(shì)，漿液率先充填底部空間，表現(xiàn)為分流系數(shù)逐漸減小。當(dāng)?shù)臀粩U(kuò)散距離到達(dá)裂隙底部時(shí)，低位擴(kuò)散趨勢(shì)達(dá)到最大值，對(duì)應(yīng)分流系數(shù)達(dá)到最小值，此后低位流動(dòng)開始向四周蔓延進(jìn)入過渡階段，此階段開始低位流動(dòng)逐漸消失，表現(xiàn)為分流系數(shù)開始逐步增大，表明該階段高位流動(dòng)趨勢(shì)開始增強(qiáng)。當(dāng)?shù)臀豢臻g被填充完畢后，漿液進(jìn)人入高位堆積階段，此時(shí)低位流動(dòng)已結(jié)束，表現(xiàn)為分流系數(shù)迅速增大直至達(dá)到峰值1，并保持峰值不變，表明在高位堆積階段只存在高位流動(dòng)，此階段內(nèi)注漿管所注入的漿液體積均為高位流動(dòng)增加的體積。

圖6 分流系數(shù)變化曲線Fig.6 Variation curves of shunt coefficient

0.10 m/s工況時(shí)，在傾角15°裂隙內(nèi)，分流系數(shù)在注漿88 s后達(dá)到最小值0.337，176 s后達(dá)到最大值1；在傾角30°的裂隙內(nèi)，分流系數(shù)在注漿64 s后達(dá)到最小值0.219，136 s后達(dá)到最大值1；在傾角45°裂隙內(nèi)，分流系數(shù)在注漿56 s后達(dá)到最小值0.144，128 s后達(dá)到最大值1；在傾角60°裂隙內(nèi)，分流系數(shù)在注漿48 s后達(dá)到最小值0.101，120 s后達(dá)到最大值1；在傾角75°裂隙內(nèi)，分流系數(shù)在注漿46 s后達(dá)到最小值0.083，118 s后達(dá)到最大值1?？芍严秲A角越大，分流系數(shù)的最小值越小，達(dá)到最小值和最大值的時(shí)間越短，表明過大的裂隙傾角加大了高位流量的損耗，并加快了流動(dòng)階段的轉(zhuǎn)變。

裂隙傾角30°工況下，0.05 m/s注漿速率時(shí)，分流系數(shù)在注漿96 s后到達(dá)最小值0.123，256 s后達(dá)到最大值1；0.20 m/s注漿速率時(shí)，分流系數(shù)在注漿40 s后到達(dá)最小值0.312，88 s后達(dá)到最大值1。 由此可知，注漿速率越大，分流系數(shù)的最小值越大，達(dá)到最小值和最大值的時(shí)間越短，表明過大的注漿速率減緩了高位流量的損耗，并加快了流動(dòng)階段的轉(zhuǎn)變。

..壓力場(chǎng)分析

以監(jiān)測(cè)線上壓力值時(shí)空變化結(jié)果作為漿液流動(dòng)方向上壓力場(chǎng)變化的參考結(jié)果，傾角15°，75°工況下監(jiān)測(cè)線處壓力場(chǎng)分布如圖7所示。

圖7 監(jiān)測(cè)線處壓力場(chǎng)分布曲面Fig.7 Pressure field distribution surface at monitoring line

由圖7可知，整體上監(jiān)測(cè)線處壓力值隨著流動(dòng)時(shí)間的延長(zhǎng)而逐漸增大，在監(jiān)測(cè)線不同距離處壓力的增幅有所差異。注漿口處壓力值最大，并隨著注漿時(shí)間的延長(zhǎng)向四周衰減，由于出口邊界設(shè)置為零壓出口，因此在漿液未覆蓋區(qū)域相對(duì)壓力始終為0。而低位擴(kuò)散區(qū)域受底部支撐作用導(dǎo)致漿液堆積，因此低位區(qū)域壓力值隨注漿時(shí)間延長(zhǎng)逐漸增大。分析圖7中不同傾角的工況可知，裂隙傾角的增加加大了擴(kuò)散相同距離所需的注漿壓力，注漿壓力隨傾角的增長(zhǎng)呈非線性變化，在初期自由擴(kuò)散階段注漿壓力隨裂隙傾角的變化不明顯，而在高位堆積階段的增幅產(chǎn)生較大差異。同時(shí)，過大的裂隙傾角也加大了裂隙底部區(qū)域的壓力值，裂隙傾角越大，底部區(qū)域壓力值增幅越大。分析圖7中不同注漿速率工況可知，注漿速率顯著改變了曲面幅度，即注漿速率越大，相同擴(kuò)散距離處的壓力值也越大。

將注漿口處壓力視為注漿壓力，不同工況下注漿壓力隨時(shí)間變化規(guī)律如圖8所示。

圖8 注漿壓力變化曲線Fig.8 Variation curves of grouting pressure

由圖8可知，整體上注漿壓力隨注漿時(shí)間的延長(zhǎng)而緩慢增加，但不同流動(dòng)階段的變化趨勢(shì)不同。在自由擴(kuò)散階段和過渡階段的注漿壓力增幅較小，整體波動(dòng)不大。當(dāng)漿液進(jìn)入受限堆積階段后，注漿壓力開始發(fā)生突變，壓力值迅速增大。同時(shí)，不同裂隙傾角和注漿速率對(duì)不同階段的注漿壓力影響不同，注漿速率和裂隙傾角的增大均會(huì)導(dǎo)致注漿壓力增加，但傾角大小在自由擴(kuò)散階段和過渡階段對(duì)注漿壓力的影響程度較小，在漿液進(jìn)入受限堆積階段后產(chǎn)生明顯差異，這與傾角對(duì)高位擴(kuò)散距離的影響規(guī)律不同。注漿速率對(duì)初始注漿壓力影響較大，且同樣在漿液進(jìn)入受限堆積階段后發(fā)生突變。

3 漿液高位流動(dòng)數(shù)學(xué)模型

3.1 模型求解

通過數(shù)值模擬，可得出漿液在傾斜裂隙空間內(nèi)漿液擴(kuò)散鋒面的變化規(guī)律，以及流動(dòng)方向上的壓力場(chǎng)和流量分配規(guī)律，但數(shù)值模型建模過程復(fù)雜，計(jì)算結(jié)果難以反映物理量之間的量化關(guān)系。由煤巖裂隙結(jié)構(gòu)性質(zhì)和高位注漿工藝可知，注漿管難以向上伸入高位裂隙深部區(qū)域，因此漿液在傾斜裂隙內(nèi)的低位流動(dòng)空間有限。為此，以高位流動(dòng)為研究對(duì)象，建立注漿漿液高位流動(dòng)數(shù)學(xué)模型，探究漿液向高位裂隙深部流動(dòng)過程中各流體力學(xué)參數(shù)變化規(guī)律對(duì)高位注漿施工設(shè)計(jì)具有重要意義。由圖4可知，漿液在不同流動(dòng)階段中高位流動(dòng)的擴(kuò)散形態(tài)不同，其轉(zhuǎn)變規(guī)律如圖9所示(紅色區(qū)域表示高位流動(dòng)擴(kuò)散區(qū)域，其中，為等效圓半徑；′為高位流動(dòng)擴(kuò)散距離；為裂隙兩側(cè)壁面寬度，m；，，分別為擴(kuò)散階段、臨界階段、堆積階段等效圓心與擴(kuò)散鋒面對(duì)應(yīng)的等效圓心角)。

由圖9可知，裂隙傾角為0時(shí)，漿液的理想擴(kuò)散形態(tài)為以注漿口為圓心的圓形；而裂隙傾角不為0時(shí)，漿液擴(kuò)散形態(tài)在重力影響下發(fā)生改變，但高位流動(dòng)擴(kuò)散封面始終保持為弧形。在自由擴(kuò)散階段(圖9(a))，低位流動(dòng)趨勢(shì)大于高位流動(dòng)，該階段的高位流動(dòng)擴(kuò)散鋒面為圓弧，圓弧所對(duì)應(yīng)的等效圓心為，則其擴(kuò)散形態(tài)可視為以為圓心的圓弧和弦圍成的弓形。漿液進(jìn)入受限堆積階段(圖9(c))后低位流動(dòng)消失，漿液的擴(kuò)散受兩側(cè)壁面的限制向上堆積，該階段的高位流動(dòng)擴(kuò)散鋒面為圓弧，圓弧所對(duì)應(yīng)的等效圓心為，則其擴(kuò)散形態(tài)可視為以為圓心的圓形與兩側(cè)壁面以及與注漿口中心平齊的圍成的區(qū)域。

在漿液流動(dòng)階段的轉(zhuǎn)變中，等效圓的半徑受側(cè)壁的影響在過渡階段內(nèi)存在臨界狀態(tài)(圖9(b))，此時(shí)等效圓心與注漿口距離為0，即注漿口()與受限堆積階段的等效圓心重合，此時(shí)等效圓半徑與高位流動(dòng)擴(kuò)散距離′相等，該臨界狀態(tài)可視為高位流動(dòng)擴(kuò)散形態(tài)開始受側(cè)壁面間距離影響的最初狀態(tài)。為此，以臨界狀態(tài)為界將高位流動(dòng)過程劃分為臨界狀態(tài)之前的擴(kuò)散階段和臨界狀態(tài)后的堆積階段。

圖9 不同流動(dòng)階段高位流動(dòng)擴(kuò)散形態(tài)轉(zhuǎn)變規(guī)律Fig.9 Transition law of high-position flow diffusion form in different flow stages

根據(jù)三角形的構(gòu)成條件，臨界狀態(tài)下滿足

(11)

可將高位流動(dòng)距離小于側(cè)壁距離一半的高位流動(dòng)劃分為擴(kuò)散階段，大于側(cè)壁距離一半的高位流動(dòng)劃分為堆積階段?；诖硕x，在擴(kuò)散階段內(nèi)漿液高位流動(dòng)擴(kuò)散面積(m)為

(12)

等效圓心與注漿口距離為

(13)

根據(jù)半角公式，有

(14)

聯(lián)立式(12)～(14)可得

(15)

求解式(15)，取其正根可得

(16)

則高位流動(dòng)擴(kuò)散階段擴(kuò)散鋒面弧長(zhǎng)為

(17)

在高位流動(dòng)的堆積階段，漿液受兩側(cè)壁面限制，其擴(kuò)散面積(m)為

(18)

等效圓心與注漿口距離為

(19)

根據(jù)半角公式，有

(20)

聯(lián)立式(18)～(20)可得

(21)

高位流動(dòng)堆積階段擴(kuò)散鋒面弧長(zhǎng)為

(22)

根據(jù)質(zhì)量守恒定律，任意時(shí)間內(nèi)高位流動(dòng)的注入量等于該時(shí)間內(nèi)高位擴(kuò)散覆蓋的總體積，即

=

(23)

式中，為高位流動(dòng)面積，m。

聯(lián)立式(6)與式(21)，(23)可分別得出高位流動(dòng)擴(kuò)散階段和堆積階段的流量為

(24)

結(jié)合擴(kuò)散鋒面弧長(zhǎng)表達(dá)式可知，決定高位流量與擴(kuò)散鋒面弧長(zhǎng)中的等效圓心角為未知變量，其影響因素與流動(dòng)狀態(tài)轉(zhuǎn)變的影響因素有關(guān)。為此，針對(duì)本文建立的物理模型，選取注漿速率、注漿時(shí)間、裂隙傾角作為反演變量，結(jié)合數(shù)值模型中高位擴(kuò)散面積計(jì)算結(jié)果，對(duì)式(24)中擴(kuò)散階段和堆積階段的等效圓心角進(jìn)行反演，反演結(jié)果為

(25)

高位擴(kuò)散階段、高位堆積階段的等效圓心角反演相關(guān)系數(shù)分別為0.984，0.992，說明等效圓心角的變化與注漿速率、裂隙傾角和注漿時(shí)間具有良好的相關(guān)關(guān)系，精度能夠滿足模型計(jì)算需求。由此，聯(lián)立式(8)，(17)，(25)并進(jìn)行分離變量積分，代入式(5)可得漿液高位流動(dòng)擴(kuò)散階段注漿壓差Δ為

(26)

聯(lián)立式(8),(22),(25)并進(jìn)行分離變量積分，代入式(5)可得漿液高位流動(dòng)堆積階段注漿壓差Δ為

(27)

3.2 模型驗(yàn)證

為驗(yàn)證漿液高位流動(dòng)擴(kuò)散階段和堆積階段數(shù)學(xué)模型的有效性，取不同計(jì)算工況下375個(gè)樣本，以注漿壓力作為對(duì)比指標(biāo)，將數(shù)學(xué)模型與數(shù)值模型計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對(duì)比。擴(kuò)散階段與堆積階段數(shù)值模型與數(shù)學(xué)模型計(jì)算結(jié)果相對(duì)誤差如圖10所示。

圖10 數(shù)值模擬與數(shù)學(xué)模型相對(duì)誤差Fig.10 Relative error between numerical simulation and mathematical model

由圖10(a)可知，擴(kuò)散階段數(shù)學(xué)模型與數(shù)值模型計(jì)算結(jié)果的最小誤差為0.14%，最大誤差為25.07%，最小誤差出現(xiàn)在注漿速率0.20 m/s、傾角75°計(jì)算工況的過渡階段，最大誤差出現(xiàn)在注漿速率0.05 m/s、傾角75°計(jì)算工況的自由擴(kuò)散階段。注漿速率0.05，0.10，0.20 m/s時(shí)，相對(duì)誤差分別為0.30%～25.07%，0.18 %～19.63%，0.14%～13.28%。注漿速率0.10， 0.2 m/s工況時(shí)數(shù)學(xué)模型與數(shù)值模型相對(duì)誤差在所有流動(dòng)階段內(nèi)均低于20%，而注漿速率0.05 m/s工況僅在自由擴(kuò)散中期誤差超過20%，表明擴(kuò)散階段數(shù)學(xué)模型在工程誤差允許范圍內(nèi)具有一定合理性。

由圖10(b)可知，堆積階段數(shù)學(xué)模型與數(shù)值模型計(jì)算結(jié)果的最小誤差為0.071%，出現(xiàn)在注漿速率0.10 m/s、傾角60°計(jì)算工況的自由擴(kuò)散階段；最大誤差為6.62%，出現(xiàn)在注漿速率0.20 m/s、傾角15°計(jì)算工況的自由擴(kuò)散階段。注漿速率0.05，0.10，0.20 m/s工況內(nèi)，相對(duì)誤差分別為0.18%～2.49%，0.071%～2.26%，0.24%～6.62%。堆積階段所有工況數(shù)學(xué)模型與數(shù)值模型相對(duì)誤差均低于20%，表明堆積階段數(shù)學(xué)模型在工程誤差允許范圍內(nèi)具有一定的合理性。

綜上，經(jīng)過與數(shù)值模型計(jì)算結(jié)果對(duì)比得出，高位流動(dòng)數(shù)學(xué)模型中相對(duì)誤差低于20%樣本占比為97%，相對(duì)誤差低于10%樣本占比為78.4%，誤差總體在工程應(yīng)用允許范圍內(nèi)，表明高位流動(dòng)數(shù)學(xué)模型具有一定合理性。

3.3 工程意義

(1)根據(jù)高位注漿的擴(kuò)散形態(tài)的轉(zhuǎn)變規(guī)律可知，漿液在不同時(shí)間段高位裂隙深部擴(kuò)散范圍受裂隙邊界影響，僅當(dāng)?shù)撞苛严犊臻g被填充完畢后，漿液才會(huì)在裂隙邊界支撐下快速向深部堆積，因此在現(xiàn)場(chǎng)高位注漿設(shè)計(jì)時(shí)應(yīng)先探明裂隙區(qū)域的邊界范圍。

(2)注漿速率對(duì)高位擴(kuò)散距離的影響程度隨流動(dòng)階段的演化逐漸增大，且過大的注漿速率會(huì)減緩高位流量的損耗并加快流動(dòng)階段的轉(zhuǎn)變，因此在實(shí)際工程中若僅針對(duì)上覆煤巖表層區(qū)域范圍的裂隙封堵可采用較低的注漿速率，以延長(zhǎng)自由擴(kuò)散階段的時(shí)長(zhǎng)，有利于漿液低位流動(dòng)快速填充底部裂隙空間。

(3)傾角在自由擴(kuò)散階段和過渡階段對(duì)注漿壓力的影響較小，而注漿速率對(duì)初始注漿壓力的影響較大，因此在實(shí)際工程中，若對(duì)煤巖裂隙深部區(qū)域進(jìn)行注漿充填時(shí)，可先使用較高的注漿速率，待漿液進(jìn)入受限堆積階段后降低注漿速率，使注漿壓力控制在安全可控的范圍內(nèi)。

(4)注漿壓力在漿液進(jìn)入受限堆積階段后將發(fā)生突變，因此在實(shí)際工程中可通過壓力表變化來反映漿液的流動(dòng)狀態(tài)，以此推測(cè)裂隙的封堵情況。

4 結(jié) 論

(1)高位注漿中漿液流動(dòng)過程可劃分為自由擴(kuò)散階段、過渡階段、受限堆積階段3個(gè)階段。自由擴(kuò)散階段，漿液初期擴(kuò)散形態(tài)呈圓形，隨著流動(dòng)時(shí)間增加逐漸變?yōu)闄E圓形；過渡階段，漿液整體擴(kuò)散形態(tài)逐漸由橢圓形轉(zhuǎn)變?yōu)椤皀”形；受限堆積階段，整體擴(kuò)散形態(tài)由“n”形轉(zhuǎn)變?yōu)轭惥匦巍?/p>

(2)漿液進(jìn)入受限堆積階段后分流系數(shù)達(dá)到峰值，此時(shí)注漿管注入的漿液體積均為高位流動(dòng)所增加的體積。不同工況下分流系數(shù)變化規(guī)律表明，過大的裂隙傾角加大了高位流量的損耗并加快了流動(dòng)階段的轉(zhuǎn)變，過大的注漿速率減緩了高位流量的損耗并加快了流動(dòng)階段的轉(zhuǎn)變。

(3)裂隙傾角和注漿速率的增加提高了擴(kuò)散相同距離所需的注漿壓力，注漿壓力隨傾角的增長(zhǎng)呈非線性變化，在初期自由擴(kuò)散階段注漿壓力隨裂隙傾角變化不明顯，而在高位堆積階段的增幅產(chǎn)生較大差異。同時(shí)，過大的裂隙傾角也加大了裂隙底部區(qū)域壓力，裂隙傾角越大，底部區(qū)域壓力值增幅越大。

(4)基于高位流動(dòng)擴(kuò)散鋒面變化規(guī)律，將高位流動(dòng)劃分為擴(kuò)散階段與堆積階段，并通過反演證實(shí)等效圓心角與注漿速率、裂隙傾角和注漿時(shí)間相關(guān)性較好。漿液高位流動(dòng)數(shù)學(xué)模型與數(shù)值模型的最小誤差為0.07%，最大誤差為25.08%，且97%樣本相對(duì)誤差在20%以內(nèi)，78.4%樣本相對(duì)誤差在10%以內(nèi)，表明高位流動(dòng)數(shù)學(xué)模型在工程誤差允許范圍內(nèi)具有一定合理性。