彭興璇， 王 研， 宋九錫

(遼寧師范大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院，遼寧 大連 116029)

在計(jì)算機(jī)輔助幾何設(shè)計(jì)中,隨著曲線曲面設(shè)計(jì)的不斷發(fā)展和完善，人們對新型曲線的構(gòu)造產(chǎn)生了興趣，Delgado和Pea[1]提出了一類全新的DP-NTP曲線，這類曲線具有端點(diǎn)插值性、數(shù)值計(jì)算穩(wěn)定性、線性計(jì)算復(fù)雜度等性質(zhì),在一定程度上彌補(bǔ)了已有曲線的不足，在幾何設(shè)計(jì)中有著良好的應(yīng)用前景.陳杰等[2]給出一類帶形狀參數(shù)的DP-NTP曲線及其應(yīng)用；吳曉勤等[3]給出三角域上帶雙參數(shù)的四次DP基函數(shù)，是三角域上三次DP基函數(shù)的擴(kuò)展；陳福來等[4]給出廣義三次DP曲線及其形狀分析；彭興璇等[5]給出帶兩個(gè)形狀參數(shù)的三次DP基函數(shù)，并討論了關(guān)于形狀參數(shù)的曲線G1和G2連續(xù)條件；張迪等給出帶兩類形狀參數(shù)的三次λη-α-DP曲線[6]以及三次DP曲線定義區(qū)間的拓展及其形狀優(yōu)化方法[7].

三角多項(xiàng)式曲線具有多項(xiàng)式曲線的特點(diǎn)，此外它還有三角函數(shù)的優(yōu)點(diǎn)，無需有理形式即可精確地表示圓、橢圓、拋物線等二次曲線，方便實(shí)際應(yīng)用. 在這方面的工作如張紀(jì)文[8]以1,t,sint,cost為基函數(shù)構(gòu)造了C-Bézier曲線；韓旭里[9]先后構(gòu)造了帶一個(gè)形狀參數(shù)的二次、三次三角多項(xiàng)式曲線；韓西安等[10]提出一種類似三次Bézier曲線的帶兩個(gè)形狀參數(shù)的三次三角Bézier曲線；Uzma Bashir等[11]構(gòu)造了具有兩個(gè)形狀參數(shù)的有理二次三角Bézier曲線，利用G2和C2連續(xù)性給出了兩段曲線的拼接條件；彭興璇等[12]得到了切點(diǎn)可調(diào)的帶形狀參數(shù)的二階三角Bézier曲線.

受上述思想的啟發(fā)，本文基于DP曲線，將其推廣首次構(gòu)造了三角多項(xiàng)式DP曲線，該曲線具有三次多項(xiàng)式DP曲線的優(yōu)良性質(zhì)，而且還帶有兩個(gè)形狀參數(shù)，使得曲線具有更強(qiáng)的表現(xiàn)能力，也更適用于曲線設(shè)計(jì). 除此以外，在無需有理形式的情形下，該曲線能精確地表示圓、橢圓、拋物線等圓錐曲線.

1 預(yù)備知識(shí)

(1)

為帶兩個(gè)形狀參數(shù)μ,ν的TC-Bernstein基函數(shù)，簡稱μν-TC-B基函數(shù).

定義2[14](全正基)稱基函數(shù){u0,u1,…,un}為閉區(qū)間[a,b]上的全正基，若對任意的節(jié)點(diǎn)序列a≤t0

定義3[15](最優(yōu)規(guī)范全正基)對于一組規(guī)范的全正基B=(b0,…,bn),如果滿足：對任何一個(gè)(規(guī)范的)全正基U=(u0,…,un)都有U=BK,這里K是一個(gè)Stochastic全正矩陣，那么這組規(guī)范的全正基(b0,…,bn)就是最優(yōu)(規(guī)范的)全正基.

對于具有全正基的函數(shù)空間，最優(yōu)規(guī)范全正基是唯一的.最優(yōu)規(guī)范全正基乘以全正轉(zhuǎn)換矩陣，可以生成其余全正基.

Tμ,ν={1,sin2t,(1-sint)(1-μsint),(1-cost)(1-νcost)}

中的最優(yōu)規(guī)范全正基.

2 三次三角DP基函數(shù)的構(gòu)造及性質(zhì)

定義4[1]三次DP基函數(shù)定義為

(2)

其端點(diǎn)性質(zhì)如下：

在μν-TC-B基函數(shù)中取μ=ν=1，得

其端點(diǎn)性質(zhì)如下：

設(shè)三次三角DP基函數(shù)為

令三次三角DP基函數(shù)在端點(diǎn)處滿足：

(3)

將式(3)中的條件寫成矩陣形式：

得到

故

即

(4)

下面討論矩陣H的全正性.

其余二階子式都為0，Hij,kl表示H的第i,j行，第k,l列形成的子式.H的三階子式分別為

其余三階子式都為0，Hijk,lmn表示H的第i,j,k行，第l,m,n列形成的子式，從而得H為全正矩陣.

三次三角DP基函數(shù)具有如下性質(zhì)：

(3)端點(diǎn)性質(zhì)，即為式(3).

(7)對參數(shù)的單調(diào)性，即固定參數(shù)t，X0(t)和X3(t)分別是α,β的遞減函數(shù)，固定參數(shù)t和其中一個(gè)參數(shù)α或β，X1(t)和X2(t)是β或α的遞增函數(shù).

3 三次三角DP曲線

定義6給定4個(gè)控制頂點(diǎn)pi∈d(i=0,1,2,3,d=2,3)，則當(dāng)時(shí)，稱曲線

(5)

為三次三角DP曲線，其中,Xi(t)(i=0,1,2,3)為三次三角DP基函數(shù).

三次三角DP曲線具有如下性質(zhì)：

(1)端點(diǎn)性質(zhì)，即

(2)擬對稱性，即當(dāng)α=β時(shí)，由控制多邊形p0p1p2p3和p3p2p1p0生成的曲線形狀相同，方向相反.

(3)凸包性，由三次三角DP基函數(shù)的非負(fù)性、權(quán)性知，曲線落在控制頂點(diǎn)生成的凸包內(nèi).

(4)幾何不變性與仿射不變性，由三次三角DP基函數(shù)的規(guī)范性可得到.

(5)變差縮減性，由三次三角DP基函數(shù)是規(guī)范全正基可得到.

下面討論曲線形狀參數(shù)α,β對于曲線P(t)形狀的影響.

(1)固定β的值，當(dāng)α逐漸增大時(shí)，曲線靠近p0p1；固定α的值，當(dāng)β逐漸增大時(shí)，曲線靠近p2p3，如圖1所示.

圖1 固定其中一個(gè)參數(shù)時(shí)的曲線形狀變化

(2)當(dāng)α,β同時(shí)增大時(shí)，曲線靠近控制多邊形，α,β同時(shí)減小時(shí)，曲線靠近線段p0p3；當(dāng)α=β=0時(shí)，曲線退化成線段p0p3，如圖2所示.

圖2 兩個(gè)參數(shù)同時(shí)增大或減小時(shí)的曲線形狀變化

4 三次三角DP曲線的應(yīng)用

以p0(x0,y0),p1(x1,y1),p2(x2,y2),p3(x3,y3)為控制頂點(diǎn)，則帶參數(shù)的三次三角DP曲線為

P(t)=(x(t),y(t))=p0X0(t)+p1X1(t)+p2X2(t)+p3X3(t).

則有

(1)橢圓與圓的精確表示

圖時(shí)的橢圓弧

圖時(shí)的圓弧

圖時(shí)的拋物線弧

(2)拋物線的精確表示