朱凱林，米彩盈

西南交通大學 機械工程學院，四川 成都 610031

0 前言

工程上構件疲勞失效的主要原因是構件危險部位裂紋的萌生及擴展，目前機械結構疲勞裂紋剩余擴展壽命計算都是基于Paris公式，計算出裂紋尖端的應力分布情況和應力強度因子（stress intensity factor，SIF）大小，結合相應工程判據(jù)計算出裂紋尖端扭轉角度和材料斷裂韌性來確定裂紋擴展速率及其擴展壽命［1］。

利用裂紋尖端應力計算SIF需要裂紋尖端具有非常細密的網格，而常用的有限元分析軟件如ANSYS、Abaqus和Nastran等難以對局部網格進行理想的細化。FRANC3D是FAC公司開發(fā)的新一代裂紋分析軟件，不僅可以對局部裂紋尖端進行網格細化，還可以在裂紋尖端生成三圈環(huán)狀奇異單元，提高計算精度，并且提供了ANSYS、Abaqus和Nastran等軟件接口［2］。

目前有關動態(tài)裂紋的研究最經典的案例是利用拉格朗日有限差分法分析階躍載荷作用下中心裂紋板的動態(tài)應力強度因子。彭英［3］應用相互作用積分法計算動態(tài)應力強度因子，考慮了裂紋面接觸作用、沖擊載荷形式、裂紋長度、裂紋角度及裂紋位置等參數(shù)的影響；姜偉［4］采用將動態(tài)有限元分析過程和相互作用積分相結合的方法，在有限元分析軟件ANSYS中求解動態(tài)應力強度因子。盡管動態(tài)求解方法更趨近于實際，但其計算過程極其復雜，不適用于復雜模型，故常用的疲勞裂紋擴展分析方法是通過設置不同的靜態(tài)裂紋分析步進行迭代，在相鄰兩分析步中，很重要的一個參數(shù)是裂紋擴展增量。擴展增量越大，裂紋擴展分析步較少，計算時間短；增量越小，裂紋擴展分析步較多，計算精度高，但計算時間較長。故裂紋擴展增量的確定對裂紋擴展仿真分析有重要意義。而在實際的裂紋擴展仿真分析中，諸多研究學者往往根據(jù)結果精度的需求來確定裂紋擴展增量的大小，忽略了擴展增量對裂紋擴展穩(wěn)定性的影響，為探究這一問題，本文結合FRANC3D軟件，分析了在不同擴展增量下緊湊拉伸（CT）試樣的裂紋擴展穩(wěn)定性情況，并根據(jù)貫穿裂紋SIF的分布特點分析了裂紋凸凹擴展的原因及裂紋擴展增量的確定方法，為裂紋擴展剩余壽命計算問題提供參考依據(jù)。

1 疲勞裂紋擴展分析方法

對結構進行疲勞裂紋擴展分析首先是建立模型，本文采用HyperMesh對模型進行網格劃分并將其導入Abaqus定義材料屬性、載荷以及約束，并提交分析。然后導入FRANC3D中在裂紋擴展區(qū)域引入裂紋并重新劃分網格，得到新的完整有限元模型后再提交到Abaqus中進行應力分析，計算出裂紋尖端的SIF值，根據(jù)SIF大小計算出裂紋尖端節(jié)點的局部扭轉角度，結合給定的裂紋擴展距離或載荷循環(huán)次數(shù)確定裂紋擴展幾何并再次重新劃分裂紋網格，如此反復，便可得到裂紋每一步擴展的應力、SIF以及擴展壽命的詳細數(shù)據(jù)。具體的疲勞裂紋擴展仿真模擬流程如圖1所示。

圖1 疲勞裂紋擴展分析的具體流程Fig.1 Specific flow of fatigue crack propagation analysis

2 疲勞裂紋擴展過程

對裂紋進行疲勞裂紋擴展分析時需要確定三個重要參數(shù)，分別為局部裂紋扭轉角度、局部裂紋擴展增量以及擴展后裂紋尖端的擬合外伸，如圖2所示。

圖2 裂紋擴展示意Fig.2 Schematic diagram of crack propagation

2.1 計算裂紋尖端局部扭轉角度

通過Abaqus應力分析后，根據(jù)式（1）計算出裂紋尖端的SIF大小。

式中m取Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ，分別表示三種裂紋類型；a為裂紋尺寸；F為與裂紋尺寸相關的系數(shù)。結合工程判據(jù)計算出裂紋尖端各個節(jié)點的偏轉角度（見圖2中的θ角）。其工程判據(jù)有最大張應力準則、局部對稱原則、最大能量釋放率準則以及最小應變能密度準則等，這些判據(jù)本質上相差不大，都是傾向于最小化Ⅱ型裂紋應力強度因子的準則，均可得到準確且相似的結果，本文采用最大張應力準則［5］，如圖3所示，其裂紋偏轉角θ計算公式見式（2）。

圖3 最大張應力準則示意Fig.3 Schematic diagram of maximum tensile stress criterion

最大張應力準則的基本假設如下：

綜上，通過此次PDCA循環(huán)法優(yōu)化改進工作，我院住院藥房藥品調劑流程更加規(guī)范化，有效減少了領藥次數(shù)和領藥時間，提高了工作效率，形成了科學的管理制度和規(guī)范，最終形成長效機制，實現(xiàn)了對藥品調劑流程的優(yōu)化并且達到了持續(xù)改進的目的。

（1）裂紋沿最大周向應力σθmax的方向開裂；

（2）當此方向的周向應力到達臨界值時，裂紋失穩(wěn)擴展。

2.2 計算裂紋尖端局部擴展距離

得到裂紋尖端的扭轉角后，還需確定裂紋尖端節(jié)點的擴展距離（見圖2中的Δa），從而確定擴展后裂紋尖端的位置。但裂紋尖端各個節(jié)點的SIF大小不一致，裂紋擴展時各個節(jié)點的擴展距離也不一致，且裂紋尖端局部擴展距離是針對一個節(jié)點而言，為了確定所有節(jié)點的擴展距離，需要指定一個節(jié)點的擴展距離，其余節(jié)點擴展距離根據(jù)其SIF值與指定節(jié)點SIF的比值大小來確定。由于裂紋兩端接近表面，局部不再保持平面應變條件［6］，計算出的SIF精度較差，為了減小誤差，通常指定的節(jié)點都選取為裂紋中部且SIF值接近于平均應力強度因子的節(jié)點，其擴展距離為 Δamid，其余節(jié)點Δa由式（1）確定。

2.3 擴展后裂紋的擬合及外伸

擴展后的裂紋尖端由各節(jié)點擴展后的位置連接確定，但直接相連接會形成鋸齒形裂紋尖端（如圖2中的藍虛線所示），形成數(shù)值“噪音”，這種非光順的裂紋在下一步裂紋擴展計算出的SIF曲線也是鋸齒形的，導致后續(xù)裂紋擴展極其不穩(wěn)定。為了消除數(shù)值“噪音”的影響，需要對每一步擴展后的裂紋尖端進行光順化處理（如圖2中紅實線所示）。

3 裂紋擴展增量對裂紋擴展穩(wěn)定性的影響

在指定裂紋尖端局部擴展距離時，有以下兩種確定方法。

（1）指定載荷循環(huán)次數(shù)來推算。

根據(jù)指定的載荷循環(huán)次數(shù)來推算出裂紋擴展距離，但指定的載荷循環(huán)次數(shù)在裂紋擴展初期可能偏小，導致擴展距離步過小，計算時間加長，效率低。而對于裂紋擴展后期而言又可能過大，裂紋擴展過快導致失穩(wěn)斷裂。

（2）指定擴展增量計算。

指定的擴展增量若過小，裂紋擴展過程會較為緩慢，計算時間雖然加長，但裂紋前緣相對比較穩(wěn)定。若裂紋擴展增量過大，由于裂紋兩端的SIF值精度較低，會加劇裂紋兩端與中間部分擴展增量的差值，造成裂紋的不穩(wěn)定擴展。

圖4 CT試樣外形尺寸參數(shù)Fig.4 Contour dimension parameter diagram of CT sample

在Hypermesh中構建有限元網格模型如圖5所示，隨后導入Abaqus中定義載荷及約束條件，分別將上、下加載孔心與其孔表面耦合在一起，對上加載孔心施加6 kN向上的拉力，對下加載孔孔心的XYZ位移及其轉動全部約束住。

圖5 CT試樣有限元網格模型Fig.5 Finite element mesh model of CT samples

材料選取為低碳鋼Q235，參考董達善［8］和趙章焰［9］等用三點彎曲試驗測定的Q235鋼材料的疲勞裂紋擴展性能參數(shù)，得到材料斷裂參數(shù)C、m、應力強度因子閥值ΔKth以及斷裂韌性KC如表1所示。

表1 低碳鋼Q235材料參數(shù)Table 1 Material parameters of low carbon steel Q235

在Abaqus中提交應力分析后導入FRANC3D軟件中，在CT試樣缺口處預設一條長8 mm的貫穿裂紋并重新繪制局部裂紋網格，得到如圖6所示的初始裂紋尖端應力分布。

圖6 CT試樣初始裂紋尖端應力分布Fig.6 Stress distribution at the initial crack tip of the CT sample

根據(jù)GB/T 6398-2017標準規(guī)定，設置其應力比R=0.1，分別在0.2 mm、0.5 mm、1.0 mm、1.5 mm以及2.0 mm的裂紋擴展增量（Δa）情況下對裂紋進行擴展分析，得到每種情況下的裂紋擴展如圖7所示。

圖7 不同裂紋擴展增量的裂紋擴展示意Fig.7 Schematic diagram of crack growth at different crack growth increments

為了比較在不同Δa情況下的裂紋擴展狀況的好壞，將裂紋擴展過程中裂紋尖端中部SIF值的穩(wěn)定性作為評估標準，GB/T 6398-2017標準中給出了CT試樣SIF值的計算公式［10］如式（2）所示，將其計算結果作為理論參考值。

需要注意的是，標準中公式計算出的理論SIF值代表整個裂紋尖端的值，即認為CT試樣貫穿裂紋的裂紋尖端SIF值處處相等。而在實際仿真計算中，貫穿裂紋兩端為自由表面，靠近兩端的裂紋尖端逐漸趨向于平面應力狀態(tài)，中間內部裂紋處于平面應變狀態(tài)，使得實際仿真計算出的CT試樣貫穿裂紋SIF值會出現(xiàn)兩端小、中間大的情況，長8 mm的預制裂紋尖端SIF值及在Δa=2.0 mm時后續(xù)4步裂紋擴展過程與理論參考值的比較如圖8所示。

圖8 CT試樣長8 mm預制裂紋尖端SIF值及其理論參考值Fig.8 SIF value and its theoretical reference value of 8 mm prefabricated crack tip of CT sample

由圖7可知，Δa=0.2 mm、Δa=0.5 mm以及Δa=1.0 mm時，每一步擴展擬合后的裂紋尖端形狀都比較平穩(wěn)，裂紋擴展過程穩(wěn)定；Δa=1.5 mm以及Δa=2.0 mm時，裂紋擴展尖端明顯趨向凸凹狀，擴展極其不穩(wěn)定，甚至在擴展后期由于裂紋尖端形狀異常導致重新引入裂紋網格的困難，無法進行下一步擴展分析，需要修正裂紋尖端的擬合形狀。由圖8可知，貫穿豎直裂紋尖端中部SIF大、兩端SIF小，導致在擴展時中部擴展距離長、兩端短，形成凸狀裂紋尖端。而凸狀裂紋尖端兩端SIF大、中間SIF小，導致在擴展時兩端距離長、中間短，若擴展增量合適，裂紋尖端會重新形成豎直貫穿裂紋（見圖7中Δa=1.0 mm）；若擴展增量較大，則會形成凹狀裂紋尖端（見圖7中Δa=2.0 mm）。

為弱化裂紋兩端SIF值的影響，選取裂紋尖端中部計算結果為評估值，其與理論計算結果的誤差為7.59%，主要來源于標準給出的理論計算公式中假定了CT試樣為剛性體，未考慮外加載荷和邊界條件帶來的影響［11-12］。而仿真計算時為了提高計算精度，在裂紋尖端還設置了三圈奇異單元環(huán)，使得理論計算結果要小一些，與實際結果存在一定偏差。將不同擴展增量下每一擴展步的SIF結果與理論計算結果進行比較，如圖9所示。

圖9 不同擴展增量下每一擴展步的SIF結果與理論計算結果Fig.9 SIF results and theoretical calculation results of each expansion step under different expansion increments

由圖9可知，在小的裂紋擴展增量情況下，裂紋中部尖端SIF值與理論參考值接近重合，存在一定可接受范圍內的誤差，隨著擴展增量的加大，尤其是在Δa=1.5 mm和Δa=2.0 mm時，裂紋擴展變得逐漸不穩(wěn)定，呈現(xiàn)凸凹狀，且SIF值也在理論參考值附近波動；在Δa=0.2 mm和Δa=0.5 mm時，裂紋擴展平穩(wěn)，計算結果與理論值也相差不大；Δa=1.0 mm的裂紋擴展后期逐漸出現(xiàn)不穩(wěn)定擴展趨勢。為了在保證計算精度的前提下需盡可能減少計算時間，根據(jù)本文數(shù)據(jù)可知，裂紋擴展增量Δa=0.5 mm時裂紋擴展穩(wěn)定、計算時間短并且計算精度高。本文模型的裂紋尖端單元特征尺寸為2 mm，結合管建東［12］的網格參數(shù)對FRANC3D軟件計算SIF精度的影響研究，裂紋擴展增量選取為當前裂紋尖端單元特征尺寸的15%～30%比較合適。

4 結論與展望

本文通過利用FRANC3D和Abaqus軟件聯(lián)合仿真分析了Q235鋼CT試樣在不同裂紋擴展增量情況下的裂紋擴展穩(wěn)定性，得出了以下結論：

（1）在實際仿真計算中，貫穿裂紋兩端為自由表面，由于靠近兩端的裂紋尖端逐漸趨向于平面應力狀態(tài)，中間內部裂紋處于平面應變狀態(tài)，導致應力強度因子SIF呈現(xiàn)中間大、兩端小的對稱分布，進而使得裂紋擴展時中間部分裂紋尖端擴展距離長，形成凸狀裂紋尖端。凸狀裂紋尖端中間SIF小、兩端大，在大的裂紋擴展增量情況下裂紋形成凹狀裂紋尖端，凸凹交替的裂紋擴展極其不穩(wěn)定，甚至會影響下一擴展步的網格劃分。

（2）在進行裂紋擴展分析時，為保證計算精度和節(jié)約計算時間，并且保證裂紋擴展的穩(wěn)定性，裂紋擴展增量選取為當前裂紋尖端單元特征尺寸的15%～30%比較合適。

本文研究的對象是標準拉伸試樣，裂紋為貫穿裂紋，屬于Ⅰ型裂紋擴展，而裂紋擴展增量對復合型裂紋擴展結構的影響未曾分析，還有待研究。