姚競(jìng)豪，穆成昱，高宇涵，孫 維

(沈陽航空航天大學(xué)，沈陽 110135)

供暖系統(tǒng)解決了居民的采暖問題，但有時(shí)流量過小，沒能使室溫達(dá)到人體的舒適溫度，有時(shí)流量過大使室內(nèi)燥熱難耐，多余的熱量導(dǎo)致資源浪費(fèi)。針對(duì)這些問題，以一間50 m2的房間為例，對(duì)其室內(nèi)溫度調(diào)控進(jìn)行了分析并提出以下問題：

問題1：當(dāng)室外溫度為0℃、進(jìn)水口流量為0.5 m3/h時(shí)，求房間的空間溫度分布。

問題2：當(dāng)室外溫度為0℃、進(jìn)水口流量在0.1～1變化時(shí)，求房間的動(dòng)態(tài)溫度分布。

1 問題分析

問題1：假設(shè)室外溫度恒定，且暖氣進(jìn)水溫度/流量都恒定，暖氣內(nèi)部水速恒定，房間溫度分布將趨于穩(wěn)定，不再隨時(shí)間發(fā)生變化。采用穩(wěn)態(tài)傳熱法進(jìn)行研究，建立了房間溫度分布模型，討論房間南北方向上的溫度分布。利用導(dǎo)熱微分方程討論房間中任意單位空間的溫度傳導(dǎo)情況，根據(jù)第二類邊界條件及能量守恒定律中單位時(shí)間水的散熱等于單位時(shí)間窗戶、玻璃及冷風(fēng)滲透散熱之和，據(jù)此對(duì)微分方程進(jìn)行求解，得到溫度關(guān)于空間的一維分布函數(shù)。

問題2：不同流量時(shí)房間溫度的動(dòng)態(tài)分布。在問題1的基礎(chǔ)上引入了一個(gè)新的維度-流量。建立了房間溫度隨空間與暖氣流量的二維模型T(x，V)，以此模型來研究不同流量下房間溫度的動(dòng)態(tài)分布。

2 模型假設(shè)

對(duì)房間的空間布局與設(shè)計(jì)進(jìn)行了假設(shè)。房間大小為50 m2，房間高為2.8 m。房間南北為外墻，與室外接觸，長(zhǎng)為5 m，每面墻上有一扇窗戶，規(guī)格為2 m×1.5 m；東西為內(nèi)墻，不與室外接觸，長(zhǎng)為10 m。房間采用暖氣片供熱方式，共兩扇，南北墻窗戶正下方各一扇，每扇暖氣片長(zhǎng)2 m，高1 m。假設(shè)房間進(jìn)水口每小時(shí)流量介于0.1～1 m3。建設(shè)入水口進(jìn)水溫度為40℃；假設(shè)水和暖氣片之間不發(fā)生對(duì)流換熱；假設(shè)窗戶為鋼窗厚度為3 cm；假設(shè)墻為一磚實(shí)心墻，厚度為24 cm；假設(shè)不發(fā)生輻射傳熱；假設(shè)題目所給房間和隔壁房間不發(fā)生傳熱。

對(duì)問題1追加假設(shè)：假設(shè)室外溫度恒定為零度；假設(shè)水流速固定，為0.5 m3/h；假設(shè)暖氣中水溫在房間內(nèi)處處相同，等于進(jìn)水溫度；假設(shè)外墻溫度和窗戶外側(cè)溫度等于外界溫度；假設(shè)暖氣外壁溫度與相鄰的空氣溫度相同；假設(shè)暖氣回水溫度為緊貼暖氣側(cè)的空氣溫度。

3 模型的建立與求解

3.1 溫度分布模型的建立

3.1.1 基于對(duì)稱分布的模型簡(jiǎn)化

由模型假設(shè)，暖氣水溫在房間內(nèi)處處相等，且房間南北兩側(cè)傳熱過程同時(shí)進(jìn)行，因此溫度呈對(duì)稱分布。以房間北側(cè)作為研究對(duì)象，建立溫度分布模型。

3.1.2 穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱微分方程

題設(shè)中外界溫度和暖氣流量及暖氣入水溫度恒定，因此將達(dá)到一個(gè)穩(wěn)態(tài)。定義了一個(gè)微元控制體積，確認(rèn)相關(guān)的能量傳輸過程，并引入能量傳輸速率方程所得，結(jié)果是一個(gè)微分方程，在邊界條件給定的情況下，其解是給出介質(zhì)的溫度分布。

圖1 體積元能量守恒演示圖Fig.1 Energy conservation demonstration diagram of volume element

利用CAD繪制體積元能量守恒演示圖，藍(lán)色代表x，y，z方向熱量輸入，黃色代表x，y，z方向熱量輸出，紅色為體積元中的內(nèi)熱元，本題沒有內(nèi)熱元，選取x方向進(jìn)行討論。

根據(jù)能量守恒定律，溫度達(dá)到平衡時(shí)，暖氣產(chǎn)熱等于房間散熱和使房間內(nèi)空氣溫度升高的熱量之和?；诖舜_立的一維穩(wěn)態(tài)傳熱微分方程模型如下：

T″(x)=0

3.1.3 邊界條件的設(shè)立

僅用該模型求解T(0)，實(shí)際暖氣水溫仍然為進(jìn)水溫度(40℃)。

A.暖氣片理想散熱模型。

假想暖氣片為以隔熱面與墻壁緊密接觸，房間不再直接與墻壁進(jìn)行換熱，而是通過暖氣片與墻壁進(jìn)行間接散熱。由于暖氣管道內(nèi)壁和水密切接觸，為了簡(jiǎn)化模型，假設(shè)暖氣管道內(nèi)壁的溫度等于入水溫度。隨著t(時(shí)間)的增加，房間的溫度分布趨于恒定，并且在熱傳導(dǎo)中，溫度分布處處連續(xù)，不會(huì)發(fā)生突變，所以將水散失熱量后趨于穩(wěn)定的溫度視為房間T(x=0)的實(shí)際溫度，即T(0)=Tw。

B.能量守恒模型。

由能量守恒定律可知：

Q產(chǎn)=Q散

其中，

Q產(chǎn)=Qw=cm(Two-Tw)

Tw0為入水溫度，Tw為水散失后的溫度。

Q散=Qm+Qc

其中，Qm是房間通過墻壁和窗戶散失的熱量，Qc是通過冷風(fēng)滲透散失的熱量。

C.熱流密度。

在沒有內(nèi)熱源和物性為常數(shù)的一維傳熱情況下，熱擴(kuò)散和電荷擴(kuò)散之間存在著類比關(guān)系，如導(dǎo)電與電阻之間的關(guān)系一樣，導(dǎo)熱與熱阻也存在同樣的關(guān)系，熱阻可以定義為驅(qū)動(dòng)，是相應(yīng)的傳輸比率，且同樣存在串并聯(lián)的關(guān)系。

查找了玻璃與墻壁的導(dǎo)熱系數(shù)k1與k3，分別計(jì)算了墻壁與玻璃的熱阻：

R1=h1/(S1*k1)

R3=h3/(S3*k3)

其中，h為厚度，S為面積。

由于墻與窗戶為并聯(lián)體系，所以平均熱阻為：

Rm=(R1×R3)/(R1+R3)

墻與窗戶平均熱流密度為：

qm=(Tw-Tout)/(Rm*Sm)

Sm=S1+S3

總面積=墻壁面積+窗戶面積。

基于查找資料，得到暖氣片材質(zhì)的k2(暖氣片材質(zhì)導(dǎo)熱系數(shù))。

q2=((Tw0-Tw)*k2)/h2

D.熱量計(jì)算。

根據(jù)比熱容計(jì)算水的產(chǎn)熱：

Qw=cm(Tw0-Tw)

m=ρV

根據(jù)平均熱流密度qm計(jì)算墻與玻璃散熱：

Qm=qmSt

考慮冷風(fēng)滲透[1]，查閱文獻(xiàn)[2]得知鋼窗的冷風(fēng)滲透量，計(jì)算了其散熱：

Qc=0.278Vaρa(bǔ)(Tw-Tout)

E.方程求解。

將Qw,Qm,Qc代入方程解出：

Tw= 34.564℃

所以，

T(0)=Tw=34.564℃

3.1.4 一階初值條件的求解

將暖氣片假想成一張位于x=0處的隔熱面，但實(shí)際并非將暖氣片進(jìn)行拉伸，假設(shè)原來暖氣片分解為了無窮多點(diǎn)，讓這些點(diǎn)均勻分布在x=0(墻壁面上)，這些點(diǎn)面積之和不變，仍為原來暖氣片面積，計(jì)算其熱流密度，作為暖氣片假想面的平均熱流密度，根據(jù)第二類邊界條件進(jìn)行了求解。

根據(jù)暖氣片的熱流密度，由第二類邊界條件列出一階初值條件：

T″(0)=-k(Two-T(0))

3.1.5 溫度場(chǎng)的描繪

根據(jù)微分方程及其初值條件，利用MATLAB對(duì)方程進(jìn)行了求解，溫度分布方程如下：

T=34.56-1.174x

繪制了房間溫度和到北側(cè)暖氣距離的函數(shù)圖像，如圖2。

圖2 0℃時(shí)房間溫度變化圖Fig.2 Room temperature change at 0℃

由圖2可以看出，隨著x的增大，房間溫度單調(diào)遞減，圖形為線性，即單位距離下降的溫度恒定，房間溫度隨離暖氣的距離增加而線性減少。由于房間溫度對(duì)稱分布，在x=5到x=10，房間溫度線性增加。

3.2 基于空間和入水流量的溫度動(dòng)態(tài)分布模型

3.2.1 房間溫度動(dòng)態(tài)溫度模型的建立

在問題1中，基于流量為0.5 m3/h，建立了溫度的空間分布模型。在問題2中，將流量作為變量，對(duì)模型進(jìn)行重建。

3.2.2 能量守恒模型重建

Qw=cwVw(Tw0-Tw)

Qm=qmSmt

Qc=0.278Vaρa(bǔ)(Tw-Tout)

于是有：

Qw=Qm+Qc

解得：

Tw=(1.68×108V)/(4.2×106V+3.303×105)

3.2.3 溫度分布模型重建

T″(x) =0

q2=((Tw0-Tw)k2)/h2

T(0)=Tw

將Tw代入微分方程組：

T(x,V)=x((3.629×107V)/(4.2×106V+3.303×105)-8.64)+(1.68×108V)/(4.2×106V+3.303×105)

利用MATLAB繪制圖像如圖3：

圖3 室外溫度0℃時(shí)房間溫度隨流量V，距離x變化圖Fig.3 Change of room temperature on flow V and distance x at 0℃ outdoor

由圖3可以看出，隨著x的增大或V的減少，房間溫度均呈單調(diào)遞減，但它們對(duì)溫度的影響程度不同，V越小，房間溫度隨x的下降速度越快(斜率越大)。由溫度的對(duì)稱分布可知，x=5到x=10處溫度變化情況相同[3]。

4 模型評(píng)價(jià)

利用外圍護(hù)結(jié)構(gòu)散熱、能量守恒和暖氣產(chǎn)熱的能量守恒及第二類邊界條件和一維穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱微分方程描繪室內(nèi)溫度場(chǎng)的變化，考慮了流量對(duì)室內(nèi)溫度的影響，保證了模型的嚴(yán)謹(jǐn)性和準(zhǔn)確性。本模型可以求解單個(gè)典型房間的溫度場(chǎng)變化，適用范圍廣，可操作性強(qiáng)，精確度高。