張 普，薛惠鋒，高 山，左 軒

(西北工業(yè)大學 自動化學院， 陜西 西安 710129)

過去十幾年，多智能體系統(tǒng)的協同容錯問題吸引了大批學者的廣泛研究[1-6]。需要指出的是，隨著多智能體系統(tǒng)復雜程度的不斷加深以及控制規(guī)模的不斷擴大，其不可避免地具有更多的未知不確定性、多變量特性以及更頻繁的系統(tǒng)故障，從而嚴重影響編隊系統(tǒng)的高性能動態(tài)特性。例如，當多智能體系統(tǒng)的模型參數不準確時，會直接影響控制效果。同時，如果不能及時排除系統(tǒng)故障，尤其是執(zhí)行器故障，就可能使整個系統(tǒng)失效、癱瘓以及造成人員、財產的巨大損失，甚至導致災難性后果。盡管這些問題過去一段時間已有了很多研究成果，但這些難題依然是開放的。

為了補償系統(tǒng)中執(zhí)行器故障和解決未知控制方向的問題，已有多種基于現代控制理論的方法用于解決上述問題。目前，執(zhí)行器故障問題大多基于某種故障模型進行研究[7-15]。系統(tǒng)未知控制方向問題則采用Nussbaum函數法，用于解決未知控制增益符號問題[16]。文獻[17-24]采用傳統(tǒng)的Nussbaum函數方法解決了一種非線性系統(tǒng)的未知控制增益問題，但其均假設了系統(tǒng)中的所有控制增益均未知。文獻[25]采用分數階Nussbaum函數解決混沌系統(tǒng)的不同多未知控制增益問題。文獻[8，26]用一組Nussbaum函數方法解決了非線性系統(tǒng)的多個不同未知控制增益問題。文獻[9]將Nussbaum函數與濾波器相結合，利用濾波器解決Nussbaum函數缺少足夠反饋信號的問題。文獻[27-28]用分段Nussbaum函數方法解決部分控制增益未知的情況，但其假設未知部分的控制增益為正數。然而，上述方法仍存在問題，有些方法解決的是非線性系統(tǒng)僅存在同方向的部分控制增益未知問題，或者同方向的控制增益完全未知的問題，這兩種情況均不能反映實際系統(tǒng)所面臨的問題。在實際系統(tǒng)中，部分控制增益未知，部分控制增益已知。綜上可知，目前鮮有同時研究具有混合執(zhí)行器故障和部分不同未知控制增益問題的研究。

基于以上研究不足與現有研究的挑戰(zhàn)，本文針對一類有向通信拓撲下，具有混合執(zhí)行器故障和部分不同未知控制方向的非線性多智能體系統(tǒng)的“領航者-跟隨者”一致性問題，提出了一種新穎的魯棒自適應模糊協同容錯控制方案。

1 預備知識

1.1 圖論

假設3：領航者的狀態(tài)及其導數均為有界的。

1.2 Nussbaum函數

如果N(τ) ∶R→R具有如式(1)所示的性質，則稱N(τ)為Nussbaum函數。

(1)

同時，為了解決多未知控制方向問題，給出如式(2)所示的定義。

(2)

引理1[22]如果V(t)是定義在[0,ζ)的正定函數，且V(0)是有界的，有如式(3)所示不等式成立。

(3)

1.3 模糊邏輯系統(tǒng)

(4)

1.4 其他相關理論和引理

(5)

引理4[30]對于?x≥0,?y≥0,p∈R+，q∈R+, 同時滿足1/p+1/q=1：

(6)

引理5[25]引入一階滑模微分器的設計，如式(7)所示：

(7)

2 問題描述

2.1 系統(tǒng)模型

考慮同構智能體編隊系統(tǒng)每個子系統(tǒng)的模型可描述為：

(8)

2.2 故障模型

為了更好研究實際系統(tǒng)中含有的混合執(zhí)行器故障，將系統(tǒng)模型式(8)中的故障模型類型進行分類，如式(9)所示。

(9)

表1 執(zhí)行器故障類型

3 控制器設計

在本節(jié)中，針對具有混合執(zhí)行器故障式(8)和多未知控制方向式(2)的非線性多智能體系統(tǒng)，基于魯棒自適應模糊技術設計一種新穎的協同容錯控制器。

定義同步誤差：

(10)

其中：aij表示第i個智能體與第j個智能體之間通信的權重系數；bi表示領航者和跟隨者的節(jié)點增益；e1=[e1,1,e2,1,…,eN-1]T∈RN。

根據圖論，式(10)可進一步重寫為：

(11)

聯立式(8)和式(10)，采用反步技術，可得：

(12)

利用模糊邏輯系統(tǒng)對Fi,1(Zi,1)逼近，可得：

(13)

根據Young′s不等式，聯立式(12)和引理3，可進一步得出：

構建Lyapunov函數：

(15)

式中，Γi,1表示正定矩陣，ηi,1表示待估計參數。

對式(15)求導，結合式(12)，可得：

(16)

由式(16)可得虛擬控制律及對應的更新律。

(17)

(19)

將式(17)～(19)代入式(16)，可得：

在小組學習過程中，教師要懂得收放自如，對學生的學習要給予有力的指導和支持。在學習中，學生們難免會遇到各種困難，教師要真正給予學生有效的點撥，這樣當學生在小組合作學習中產生激烈的爭執(zhí)，或者找不到前進的方向時，教師就能夠從更高的層次給學生一定的提示和引導。在平時的教學工作中，教師也要注意思想方法的滲透，讓學生真正學會學習，而不是被動地跟著老師的思路按部就班地學習。

(20)

將式(18)代入式(20)，可得：

(21)

(22)

式(22)兩邊同乘以eci,1t，可得：

對式(23)兩邊同時積分，則有：

(24)

第k步(2≤k≤ni-1)：定義誤差，如式(25)所示。

(25)

(26)

(27)

(28)

將式(28)代入式(26)，可得：

(30)

構建Lyapunov函數：

(31)

對式(31)求導，結合式(29)和引理4可得：

(32)

由式(32)可得虛擬控制律和更新律，如式(33)～(35)所示。

ei,kβi,ktanh(λi,kei,k)

(34)

(35)

將式(33)～(35)代入式(32)，可得：

(36)

式(37)兩邊同乘以eci,kt，可得：

對式(38)兩邊同時積分，可得：

(39)

第N步：定義誤差，如式(40)所示。

ei,ni=xi,ni-αi,ni-1

(40)

對式(40)求導，結合式(8)，可得：

(41)

(42)

(43)

進而，式(41)可進一步重寫為：

(44)

(45)

根據Young′s不等式，結合引理4，則有：

此時，構建Lyapunov函數：

(47)

根據引理1，可得：

(48)

由式(48)可得控制律和更新律：

(49)

(50)

(51)

將式(49)～(51)代入式(48)，可得：

(52)

(53)

式(53)兩邊同乘以eci,nit，可得：

對式(54)兩邊同時積分，可得：

(55)

4 穩(wěn)定性分析

為了驗證所設計的協同容錯控制器的主要結果，現給出以下定理。

證明：構建多智能體編隊系統(tǒng)的Lyapunov函數，如式(54)所示。

(56)

對式(56)求導，整理化簡可得：

(57)

式(57)可進一步化簡為：

(59)

式中，Ξni/ci,ni為正常數。

根據式(18)～(19)、式(34)～(35)以及式(50)～(51)，結合式(57)可知，所有信號參數有界。虛擬控制律和實際控制律均為有界的。同時，聯立式(58)和式(59)，可知，跟蹤誤差ei,ni也為零，即多智能體的軌跡與參考軌跡重合。因此，不僅證明了多智能體系統(tǒng)狀態(tài)均有界，而且證明了在時間t多智能體的運動軌跡與參考軌跡重合。

□

5 數值仿真

為了驗證在執(zhí)行器故障和未知控制方向復合約束下的容錯控制方法，利用四組智能體編隊子系統(tǒng)進行有限時間容錯控制仿真實驗，其中每個編隊子系統(tǒng)含有4個智能體。為了解決復合約束情形下模型不確定性和反步法中的計算復雜性問題，采用魯棒自適應模糊技術和一階滑模積分器進行處理。

本節(jié)采用典型的含有執(zhí)行器故障類型中的偏執(zhí)故障和未知控制方向的二階非線性系統(tǒng)及實際工程應用中“領航者-跟隨者”無人機編隊系統(tǒng)進行實驗。

實例1針對實驗過程中的多智能體系統(tǒng)，考慮二階非線性系統(tǒng)模型，如式(60)所示。

(60)

(61)

(62)

除此之外，本節(jié)以單組智能體編隊作為被控對象，且單組之間的智能體為同構，具有相同的特性，其有向拓撲結構如圖1所示。

圖1 單組多智能體編隊網絡拓撲圖Fig.1 Single-group multi-agent formation network topology diagram

根據上述的初值設定和假設，其仿真結果如圖2～4所示。

由圖2可知，所提出的基于魯棒自適應模糊技術的協同容錯控制方法，使得智能體依舊按照預設的軌跡小誤差范圍運動，保持良好的穩(wěn)定特性。同時，通過引入一階滑模微分器，將追蹤誤差逐漸趨于零，提高受限情形下系統(tǒng)的容錯性能。

圖2 智能體位置跟蹤信號曲線Fig.2 Agent position tracking signal curve

由圖3和圖4可知，針對非線性多智能體中含有混合執(zhí)行器故障和多未知控制方向的問題，基于自適應模糊技術，提出的容錯控制方法能夠使多智能體系統(tǒng)模型參數最終趨于零。

圖3 多智能體系統(tǒng)跟蹤誤差性能曲線Fig.3 Multi-agent system tracking error performance curve

圖4 估計參數θi(i=1, 2, 3, 4)的曲線Fig.4 Estimated parameter θi (i=1, 2, 3, 4) curve

實例2為了進一步說明容錯控制方法的有效性和適用性，將1個組的編隊子系統(tǒng)擴展為4個組的編隊子系統(tǒng)以作為被控對象，即4個組構成的編隊系統(tǒng)以同時4個組也具有相同的特性，屬于同構智能體編隊。機器人編隊中領航者和跟隨者的動力學模型如式(63)和式(64)所示。

(63)

其中，l表示領航者。

(64)

其中，i=1,2,3，…,16，變量的含義與系統(tǒng)模型式(8)一致。仿真初值設定為：Mi=2 kg，vi(0)=0.5 m/s，xi,1(0)=0.5，xi,2(0)=-0.5。設置參考軌跡為：pix=10t,piy=10sin(0.5t),同時每個智能體的初始位置(pi0,pi0)和對應的指定位置(δix,δiy)的取值見表2。

表2 仿真實驗參數

其拓撲結構如圖5所示。根據初值設定和假設，其仿真實驗結果如圖6～8所示。

圖5 4組多智能體編隊系統(tǒng)網絡拓撲結構圖Fig.5 Network topology structure diagram of 4 groups of multi-agent formation system

圖6 4個編隊子系統(tǒng)的運動軌跡曲線Fig.6 Trajectory curves of 4 formation subsystems

圖7 4種情形下的Nussbaum函數曲線圖Fig.7 Nussbaum function curves in 4 situations

圖8 多智能體系統(tǒng)在執(zhí)行器故障下的容錯性能曲線Fig.8 Fault-tolerant performance curve of multi-agent system under actuator fault

由圖6可知，控制方法能夠提高在執(zhí)行器故障和未知控制方向共存情形下的容錯性能。圖7針對具有多未知控制方向的多智能體系統(tǒng)，采用分段Nussbaum函數進行處理，結合魯棒自適應模糊技術減小追蹤誤差，提高控制精度，進而改善在故障情形下的容錯性能。圖8、圖9解決了在混合執(zhí)行器故障和未知控制方向復合控制情形下的容錯控制問題，其位置跟蹤誤差變化小，而且補償效果良好。

圖9 多智能體系統(tǒng)在復合約束下的容錯性能曲線Fig.9 Fault-tolerant performance curve of multi-agent system under compound constraints

6 結論

本文針對一類典型的非線性多智能體系統(tǒng)中存在混合執(zhí)行器故障和多未知控制方向的復合約束問題提出了一種基于魯棒自適應模糊技術的新穎的協同容錯控制方法。該方法將分段Nussbaum函數和魯棒自適應技術結合起來，分別對多未知控制方向和混合執(zhí)行器故障進行處理，同時利用一階滑模積分器簡化容錯控制律的設計過程，將追蹤誤差限定在預設的允差范圍之類，提高了在不同編隊結構系統(tǒng)中追蹤誤差的控制精度和收斂速度。此外，將多智能體規(guī)模從由4個智能體組成的單組編隊系統(tǒng)擴展為由16個智能體組成的4組編隊系統(tǒng)，驗證了本文算法的有效性和合理性。主要的貢獻如下：

1)提出基于魯棒自適應模糊控制的協同容錯方案，以補償多種類型的執(zhí)行器故障損失，而無須任何故障檢測和隔離機制。本文控制方法可以補償多種類型的執(zhí)行器故障，并且使系統(tǒng)成功穩(wěn)定下來。此外，即使在執(zhí)行器出現故障的情況下，該方法也可以確保輸出的有界性。因此，可以實現有效、低成本和可靠的系統(tǒng)控制設計的目標。

2)首次研究了針對不確定多智能體系統(tǒng)具有混合執(zhí)行器故障和部分控制方向未知相結合的問題；基于分段Nussbaum 函數方法解決了，部分控制增益未知、部分控制增益已知的問題。本研究更具普遍性以及更高的實際應用價值。

3)區(qū)別于傳統(tǒng)反步技術以及傳統(tǒng)動態(tài)面反步方法，將一階滑模微分器技術與反步技術相結合，該方法不僅能夠有效地規(guī)避冗余的虛擬控制律求導中的“計算爆炸”問題，并且忽略有限時間收斂特性同時滿足分離原理，具有更好的控制性能，有利于在實際系統(tǒng)中的應用。

4)在系統(tǒng)設計虛擬控制律過程中，加入魯棒有界估計方法，利用雙曲正切函數的有界性，為參數估計值設定估計界，能夠有效地減小系統(tǒng)輸出和參考軌跡之間的誤差，不僅增強了系統(tǒng)的魯棒性，而且提高了系統(tǒng)的追蹤精度。該方法具有適用范圍廣、跟蹤精度高、容錯性能強等優(yōu)點。