劉 偉 劉宏昭 胡旭宇

(1.西安理工大學(xué)機(jī)械與精密儀器工程學(xué)院， 西安 710048; 2.西安工程大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院， 西安 710048)

0 引言

多模式并聯(lián)機(jī)構(gòu)和多模式混聯(lián)機(jī)構(gòu)中含具有多模式的單環(huán)結(jié)構(gòu)。一些并聯(lián)機(jī)構(gòu)中含有的多模式單環(huán)結(jié)構(gòu)使得并聯(lián)機(jī)構(gòu)具有多種運(yùn)動(dòng)模式。將機(jī)構(gòu)的結(jié)構(gòu)參數(shù)看作變量，對單環(huán)機(jī)構(gòu)[1]運(yùn)動(dòng)模式進(jìn)行分析時(shí)，現(xiàn)有的運(yùn)動(dòng)模式分析方法將遇到較大的挑戰(zhàn)[2]。多模式單環(huán)機(jī)構(gòu)是多模式多環(huán)機(jī)構(gòu)的基礎(chǔ)，對多模式單環(huán)機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)模式分析時(shí)，將機(jī)構(gòu)的結(jié)構(gòu)參數(shù)作為變量，研究結(jié)構(gòu)參數(shù)對多模式機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)模式的影響，是多模式機(jī)構(gòu)創(chuàng)新設(shè)計(jì)需要解決的重要問題之一。

多模式機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)模式分析方法基本可分為6類：基于旋量理論、基于數(shù)值計(jì)算方法、基于高階運(yùn)動(dòng)學(xué)分析、基于幾何圖像方法、基于位移流形理論、基于代數(shù)幾何方法。①基于旋量理論方法。在機(jī)構(gòu)多運(yùn)動(dòng)模式分析時(shí)，需要對機(jī)構(gòu)的每種運(yùn)動(dòng)模式的運(yùn)動(dòng)旋量進(jìn)行求解[3]。結(jié)合給定結(jié)構(gòu)參數(shù)，使用旋量理論對其進(jìn)行運(yùn)動(dòng)模式分析比較簡便有效，使用該理論研究結(jié)構(gòu)參數(shù)對機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)模式影響的文獻(xiàn)較為少見。②基于數(shù)值計(jì)算方法。過約束機(jī)構(gòu)在折疊結(jié)構(gòu)中應(yīng)用廣泛[4-5]，設(shè)計(jì)時(shí)往往需要對機(jī)構(gòu)在折疊過程中是否發(fā)生運(yùn)動(dòng)模式變換進(jìn)行判斷。數(shù)值計(jì)算方法在過約束機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)方程不具有解析解時(shí)，給定結(jié)構(gòu)參數(shù)后，對其運(yùn)動(dòng)模式的研究可得到理想的結(jié)果。當(dāng)機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)參數(shù)作為變量時(shí)，需要進(jìn)行大量的計(jì)算，不易全面分析結(jié)構(gòu)參數(shù)對機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)模式的影響。③基于高階運(yùn)動(dòng)學(xué)方法?；诟唠A運(yùn)動(dòng)學(xué)對機(jī)構(gòu)的多種運(yùn)動(dòng)模式進(jìn)行研究[6-8]，可得一些具有新型運(yùn)動(dòng)特征的機(jī)構(gòu)，該方法主要對具有結(jié)構(gòu)參數(shù)確定的機(jī)構(gòu)分析其高階運(yùn)動(dòng)特征，主要是通過高階運(yùn)動(dòng)學(xué)分析機(jī)構(gòu)的奇異位形運(yùn)動(dòng)特性。④基于幾何圖像方法。根據(jù)連桿輸出點(diǎn)的空間位置，通過幾何圖像法對多模式機(jī)構(gòu)模式進(jìn)行分析[9-10]。通過幾何圖像分析時(shí)，需要先確定機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)參數(shù)，目前多使用該方法在分析具有多種移動(dòng)運(yùn)動(dòng)模式機(jī)構(gòu)所具有的運(yùn)動(dòng)模式。然而，機(jī)構(gòu)空間運(yùn)動(dòng)較移動(dòng)運(yùn)動(dòng)更為復(fù)雜，并且機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)參數(shù)變換時(shí)，不容易使用該方法全面研究結(jié)構(gòu)參數(shù)對機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)模式的影響。⑤基于位移流形理論方法。位移流形理論在對機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)模式分析時(shí)的能力較為有限[11-12]，主要是通過機(jī)構(gòu)不同位形下，運(yùn)動(dòng)副之間的幾何關(guān)系，結(jié)合機(jī)構(gòu)奇異位形對機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)模式進(jìn)行分析。位移流形理論下運(yùn)動(dòng)鏈的表達(dá)式中不含有機(jī)構(gòu)的結(jié)構(gòu)參數(shù)信息，因此目前這方面的相關(guān)研究較少。⑥基于代數(shù)幾何方法。使用代數(shù)幾何方法對機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)模式進(jìn)行分析，主要是將機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程轉(zhuǎn)換為代數(shù)方程后，對其對應(yīng)的仿射簇進(jìn)行相應(yīng)的準(zhǔn)素分解。文獻(xiàn)[13]使用輸入變量與輸出變量的代數(shù)方程系數(shù)對平面4R機(jī)構(gòu)進(jìn)行了分類，將其結(jié)構(gòu)參數(shù)與八面體空間中的點(diǎn)建立一個(gè)映射關(guān)系。文獻(xiàn)[14]使用對偶四元數(shù)描述機(jī)構(gòu)的約束方程，克服了使用萬能代換求解時(shí)，需要對關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角為180°時(shí)，單獨(dú)進(jìn)行分析的繁瑣計(jì)算過程。文獻(xiàn)[15]分析一般面對稱6R機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程，得到其具有多種運(yùn)動(dòng)模式時(shí)，機(jī)構(gòu)參數(shù)所滿足的條件，對這類6R機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)特性進(jìn)行了全面分析。該方法研究了機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)參數(shù)對一類6R機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)模式的影響，文中指出存在一部分具有多種運(yùn)動(dòng)模式的該類6R機(jī)構(gòu)，并不符合其提出的多運(yùn)動(dòng)模式判斷依據(jù)。文獻(xiàn)[16]使用代數(shù)計(jì)算軟件，針對具有不同結(jié)構(gòu)參數(shù)的3RER具有的運(yùn)動(dòng)模式進(jìn)行全面分析。代數(shù)幾何方法在機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)模式分析時(shí)，一般能取得比較理想的結(jié)果。然而，由于機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)方程和機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)參數(shù)數(shù)目的增多，使得機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)模式分析困難。一方面，變量數(shù)目一定程度上決定了運(yùn)動(dòng)模式分析的復(fù)雜程度；另一方面，復(fù)雜的運(yùn)動(dòng)模式分析對軟件計(jì)算[17]的依賴程度較高，文獻(xiàn)[18]研究表明，通過軟件計(jì)算分析機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)模式時(shí)，需要對計(jì)算結(jié)果進(jìn)行特殊的分析處理才能得到正確結(jié)果，而這個(gè)過程較繁瑣。

綜上所述，基于旋量理論、數(shù)值計(jì)算、高階運(yùn)動(dòng)學(xué)分析、位移流形理論，尚不能全面分析機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)參數(shù)對其運(yùn)動(dòng)模式的影響。雖然現(xiàn)有文獻(xiàn)中基于代數(shù)幾何方法可以全面分析機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)參數(shù)對機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)模式的影響，但是該方法尚不能對機(jī)構(gòu)實(shí)際具有的運(yùn)動(dòng)模式結(jié)果進(jìn)行全面解釋。使用軟件分析結(jié)構(gòu)參數(shù)對機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)模式的影響計(jì)算量太大，且有時(shí)需要對計(jì)算結(jié)果進(jìn)行分析才能得到正確結(jié)果。

本文使用代數(shù)幾何理論，基于多項(xiàng)式可因式分解的條件，結(jié)合機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)模式，提出一種分析結(jié)構(gòu)參數(shù)對球面4R機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)模式影響的方法。

1 確定具有多種運(yùn)動(dòng)模式球面4R機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)參數(shù)的方法

一般情況下，將機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)方程轉(zhuǎn)換為代數(shù)方程后，當(dāng)機(jī)構(gòu)構(gòu)型一定時(shí)，機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)方程的形式和結(jié)構(gòu)基本確定，即運(yùn)動(dòng)學(xué)代數(shù)方程關(guān)于關(guān)節(jié)變量的各個(gè)多項(xiàng)式組成即可確定。不同的機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)參數(shù)代入機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)方程，從而使得關(guān)節(jié)變量多項(xiàng)式系數(shù)發(fā)生改變。如果機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)代數(shù)方程可以在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)進(jìn)行準(zhǔn)素分解[19]，則該機(jī)構(gòu)具有多種運(yùn)動(dòng)模式。那么可以根據(jù)機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)代數(shù)方程分析得到可準(zhǔn)素分解的條件，求解代數(shù)方程中與機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)參數(shù)有關(guān)的系數(shù)，從而設(shè)計(jì)具有多種運(yùn)動(dòng)模式的機(jī)構(gòu)。文獻(xiàn)[20]指出，對于一個(gè)代數(shù)方程而言，對該代數(shù)方程對應(yīng)的多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解，即是一種特殊的準(zhǔn)素分解。文獻(xiàn)[19]給出了判斷代數(shù)方程是否可以進(jìn)行因式分解的依據(jù)，即該代數(shù)方程可寫成有理分式的參數(shù)方程時(shí)，該代數(shù)方程可因式分解。

綜上所述，可對球面4R機(jī)構(gòu)對應(yīng)的代數(shù)方程判斷其是否可轉(zhuǎn)換為有理分式表達(dá)的參數(shù)方程，對其運(yùn)動(dòng)模式進(jìn)行分析。

使用因式分解方法對多運(yùn)動(dòng)模式球面4R機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)參數(shù)對其運(yùn)動(dòng)模式影響的分析步驟為：

(1)根據(jù)球面4R機(jī)構(gòu)的4個(gè)連桿的機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)參數(shù)建立運(yùn)動(dòng)學(xué)方程

f(θi,θj)=0

(1)

(2)使用萬能代換替換球面4R機(jī)構(gòu)轉(zhuǎn)動(dòng)副關(guān)節(jié)變量θi、θj的三角函數(shù)，化簡得到關(guān)于關(guān)節(jié)變量θi、θj的代數(shù)方程為

ft(ti,tj)=0

其中

ti=tan(θi/2)tj=tan(θj/2)

(3)將球面4R機(jī)構(gòu)代數(shù)運(yùn)動(dòng)學(xué)方程中各多項(xiàng)式系數(shù)，分別置零后組合，得到結(jié)構(gòu)參數(shù)滿足的公式。

(4)將步驟(3)得到結(jié)構(gòu)參數(shù)滿足的關(guān)系，代入步驟(1)中球面4R機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程，分析任意關(guān)節(jié)變量θi=π時(shí)的任意組合下機(jī)構(gòu)具有的運(yùn)動(dòng)模式。

(5)將步驟(3)得到的不同結(jié)構(gòu)參數(shù)滿足的公式，代入步驟(2)中球面4R機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)學(xué)代數(shù)方程，判斷該方程是否可進(jìn)行因式分解，從而分析機(jī)構(gòu)具有的運(yùn)動(dòng)模式。

(6)結(jié)合步驟(4)、(5)的結(jié)果，得到球面4R機(jī)構(gòu)具有不同運(yùn)動(dòng)模式時(shí)，結(jié)構(gòu)參數(shù)滿足的關(guān)系。

2 球面4R機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)方程與多模式結(jié)構(gòu)參數(shù)的關(guān)系

2.1 球面4R機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)方程

如圖1所示球面4R機(jī)構(gòu)，4個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)副R1、R2、R3、R4軸線相交于點(diǎn)o，αij為轉(zhuǎn)動(dòng)副Ri轉(zhuǎn)動(dòng)軸線zi繞軸線y′i轉(zhuǎn)動(dòng)到與軸線zi+1重合時(shí)的角度。θi為軸線xi繞軸線zi轉(zhuǎn)動(dòng)到與軸線x′i重合時(shí)的角度?？蛇x取轉(zhuǎn)動(dòng)副R1、R4的關(guān)節(jié)變量轉(zhuǎn)角θ1、θ4建立運(yùn)動(dòng)學(xué)方程。文獻(xiàn)[21]給出的球面4R機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)學(xué)計(jì)算公式為

圖1 球面4R機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)參數(shù)Fig.1 Structural parameters of spherical 4R mechanism

-s12s41c34c1-s12c41s34c1c4+s12s34s1s4-c12s41s34c4+
c12c41c34-c23=0

(2)

式(2)中sij、cij表示αij的正弦和余弦，si、ci表示轉(zhuǎn)角θi的正弦和余弦。式(2)為第1節(jié)中步驟(1)中f(θi,θj)=0，i=1，j=4。即式(2)是關(guān)于關(guān)節(jié)變量θ1、θ4的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程。

2.2 球面4R機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)方程轉(zhuǎn)變?yōu)榇鷶?shù)方程

使用萬能代換，t1=tan(θ1/2),t4=tan(θ4/2)，將球面4R運(yùn)動(dòng)學(xué)方程式(2)整理得到

(3)

其中

A=s12s41c34-s12c41s34+c12s41s34+c12c41c34-c23=
c34cos(α12-α41)-s34cos(α12-α41)-c23=
cos(α12-α41+α34)-c23
B=-s12s41c34+s12c41s34+c12s41s34+c12c41c34-c23=
s12sin(α34-α41)+c12cos(α34-α41)-c23=
cos(α12+α41-α34)-c23
C=s12s41c34+s12c41s34-c12s41s34+c12c41c34-c23=
s12sin(α34+α41)+c12cos(α34+α41)-c23=
cos(α12-α41-α34)-c23
D=4s12s34
E=-s12s41c34-s12c41s34-c12s41s34+c12c41c34-c23=
-s12sin(α34+α41)+c12cos(α34+α41)-c23=
cos(α12+α41+α34)-c23

式(3)為第1節(jié)步驟(2)中的ft(ti,tj)=0。

2.3 代數(shù)方程多項(xiàng)式系數(shù)分別置零進(jìn)行組合

不考慮轉(zhuǎn)動(dòng)副R1和R2以及R3和R4軸線重合，機(jī)構(gòu)中存在局部轉(zhuǎn)動(dòng)自由度的情況，因而式(3)中D≠0。

當(dāng)a12-a41+a34+a23=2kπ(k=0,±1,±2,…,±n)時(shí)，式(3)中A為零，該機(jī)構(gòu)自由度為零，這種情況舍去不做分析。同理，可根據(jù)式(3)，當(dāng)A=0,B=0,C=0,E=0時(shí)分別可得到

(4)

球面4R機(jī)構(gòu)處于約束奇異位形時(shí)，4個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)副軸線共面。關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角θ1、θ4只存在4種情況(θ1=0°，θ4=0°；θ1=0°，θ4=180°；θ1=180°，θ4=0°；θ1=180°，θ4=180°)時(shí)，球面4R機(jī)構(gòu)處于約束奇異位形，此時(shí)機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)模式將具有改變的可能性。將上述4組數(shù)值，代入式(2)，變換為式(3)的代數(shù)方程，分別得到E=0，B=0，C=0，A=0。即當(dāng)該方程系數(shù)A、B、C、E分別為零時(shí)，球面4R機(jī)構(gòu)具有4個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)軸線在同一平面的機(jī)構(gòu)奇異位形。

由于轉(zhuǎn)動(dòng)副R1、R4均連接機(jī)架，可將分別滿足條件B=0和條件C=0的機(jī)構(gòu)看作一種機(jī)構(gòu)。同理，⑤和⑥、⑨和、和同為一類機(jī)構(gòu)。因而總共可分為11種情況。

3 不同結(jié)構(gòu)參數(shù)球面4R機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)模式分析

根據(jù)文獻(xiàn)[19]可知，當(dāng)一個(gè)代數(shù)方程轉(zhuǎn)變?yōu)閰?shù)方程后，參數(shù)方程均為有理代數(shù)分式時(shí)，則該代數(shù)方程不能被因式分解。從而可對球面4R機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)代數(shù)方程是否可以進(jìn)行因式分解進(jìn)行判斷，進(jìn)而得到球面4R機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)模式。

3.1 球面4R機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)模式(1號(hào)A=0)

當(dāng)a12-a41+a34-a23=2kπ(k=0，±1,±2,…，±n)，且θ1=±π或θ4=±π時(shí)，根據(jù)式(2)得到，θ4或θ1為定值，此時(shí)機(jī)構(gòu)不具有固定軸線轉(zhuǎn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)模式。

當(dāng)a12-a41+a34-a23=2kπ(k=0，±1,±2,…，±n)，且θ1≠±π且θ4≠±π時(shí)，此時(shí)式(3)中的系數(shù)A為零，且B、C、D、E均不為零時(shí)，將方程式(3)看作t4的一元二次方程，得到

(5)

其中

D2-4BC=16s12s34s41s23

式(5)可以分解時(shí)，需要t4的表達(dá)式可以寫成有理分式的形式，需滿足D2-4BC>0、BE=0，或D2-4BC=0、BE<0，可得

此時(shí)機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程可因式分解。

然而，當(dāng)球面4R機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)參數(shù)僅使得式(3)中A為零，則BE、D2-4BC不為零。因而，此時(shí)式(3)不能寫成兩個(gè)有理分式相乘的形式，可知此時(shí)式(3)不能分解因式，當(dāng)球面4R機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)參數(shù)僅滿足A為零，當(dāng)θ1≠±π且θ4≠±π時(shí)，機(jī)構(gòu)只具有一種變軸線轉(zhuǎn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)模式。

現(xiàn)以結(jié)構(gòu)參數(shù)使得式(3)中A為零的球面4R機(jī)構(gòu)為例，對其運(yùn)動(dòng)模式進(jìn)行分析。機(jī)構(gòu)的結(jié)構(gòu)參數(shù)α41=90°、α12=60°、α23=30°、α34=60°，該結(jié)構(gòu)參數(shù)滿足a12-a41+a34-a23=2kπ，且該機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)參數(shù)不滿足式(4)中的其他幾個(gè)關(guān)系式，如圖2球面4R機(jī)構(gòu)3維模型所示。由圖2d可知，當(dāng)機(jī)構(gòu)處于約束奇異位形時(shí)，其存在運(yùn)動(dòng)分岔的可能性，但當(dāng)使得θ4隨θ1變化的斜率不發(fā)生突變時(shí)，機(jī)構(gòu)將通過該約束奇異位形且保持運(yùn)動(dòng)不發(fā)生分岔。

圖2 球面1號(hào)4R機(jī)構(gòu)位形Fig.2 Configuration of No.1 spherical 4R mechanism

當(dāng)機(jī)構(gòu)從圖2d中點(diǎn)1機(jī)構(gòu)位形，保持θ4隨θ1變化的速率與點(diǎn)1、2、3所在曲線斜率相同時(shí)，該機(jī)構(gòu)能動(dòng)態(tài)通過點(diǎn)2對應(yīng)的機(jī)構(gòu)約束奇異位形，到達(dá)點(diǎn)3所對應(yīng)的機(jī)構(gòu)位形，即該機(jī)構(gòu)可以通過點(diǎn)2處約束奇異位形而不發(fā)生運(yùn)動(dòng)分岔。實(shí)際上當(dāng)機(jī)構(gòu)速度不為零，從圖2d點(diǎn)1對應(yīng)位形運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)2對應(yīng)位形時(shí)，θ4隨θ1變化的速率與點(diǎn)1、2所在曲線斜率相同。則當(dāng)機(jī)構(gòu)從點(diǎn)1所在機(jī)構(gòu)位形運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)2對應(yīng)位形時(shí)，速度不為零時(shí)，即可通過點(diǎn)2所示約束奇異位形，且不發(fā)生運(yùn)動(dòng)分岔現(xiàn)象。同理，當(dāng)機(jī)構(gòu)從點(diǎn)3所示位形，運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)4所示機(jī)構(gòu)死點(diǎn)位形時(shí)，使得θ1的速度不為零時(shí)，機(jī)構(gòu)可通過該死點(diǎn)位置?？梢园l(fā)現(xiàn)，在機(jī)構(gòu)的點(diǎn)2對應(yīng)的約束奇異位形和點(diǎn)4對應(yīng)的死點(diǎn)位形下，機(jī)構(gòu)均可動(dòng)態(tài)通過，最終可到達(dá)所有的機(jī)構(gòu)位形。

同理可知當(dāng)式(3)中的系數(shù)B=0，或C=0，或E=0時(shí)，球面4R機(jī)構(gòu)只具有1種變軸線轉(zhuǎn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)模式，且結(jié)構(gòu)參數(shù)滿足這些條件的球面機(jī)構(gòu)均與圖2所示機(jī)構(gòu)類似，機(jī)構(gòu)可動(dòng)態(tài)通過約束奇異位形，可運(yùn)動(dòng)到機(jī)構(gòu)所有的位形。

3.2 球面4R機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)模式(5號(hào)A=B=0)

當(dāng)a12-a41+a34-a23=2kπ,a12+a41-a34-a23=2kπ，θ1=±π時(shí)，將機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)參數(shù)代入式(2)，θ4為定值，此時(shí)機(jī)構(gòu)不具有定軸轉(zhuǎn)動(dòng)模式。θ4=±π時(shí)，將機(jī)構(gòu)的結(jié)構(gòu)參數(shù)代入式(2)，整理得到恒等方程0=0?？芍?可任意取值，機(jī)構(gòu)具有一種以轉(zhuǎn)動(dòng)副R1為軸線的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)模式。

當(dāng)θ1≠±π,θ4≠±π時(shí)，A、B為零，C、D、E均不為零，整理式(3)得到的方程為二元二次方程。將該方程看作t1的一元二次方程，得到

(6)

其中

然而，當(dāng)球面4R機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)參數(shù)僅滿足A、B為零時(shí)，CE、D均不為零，因而式(6)不能分解因式。從而，根據(jù)運(yùn)動(dòng)模式的定義可知，當(dāng)球面4R機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)參數(shù)僅滿足A、B為零，當(dāng)θ1≠±π,θ2≠±π時(shí)，連桿的瞬時(shí)軸線在隨t1、t4不斷變化，因而此時(shí)機(jī)構(gòu)只具有一種變軸線運(yùn)動(dòng)模式。

現(xiàn)以結(jié)構(gòu)參數(shù)使得式(3)中A、B為零的球面4R機(jī)構(gòu)為例，對其運(yùn)動(dòng)模式進(jìn)行分析。如圖3球面4R機(jī)構(gòu)的3維模型所示，機(jī)構(gòu)的結(jié)構(gòu)參數(shù)α41=90°，α12=45°，α23=45°，α34=90°，該結(jié)構(gòu)參數(shù)滿足式(4)中的關(guān)系式a12-a41+a34-a23=2kπ,a12+a41-a34-a23=2kπ。從圖3d可知，當(dāng)機(jī)構(gòu)處于約束奇異位形時(shí)，其存在運(yùn)動(dòng)分岔的可能性，但當(dāng)使得θ4隨θ1變化的斜率不發(fā)生突變時(shí)，機(jī)構(gòu)將通過該約束奇異位形且保持運(yùn)動(dòng)模式不發(fā)生改變。

當(dāng)機(jī)構(gòu)從圖3d中點(diǎn)1機(jī)構(gòu)位形(圖3b)，保持θ4隨θ1變化的變化率與點(diǎn)1、2所在曲線斜率相同時(shí)，該機(jī)構(gòu)能動(dòng)態(tài)通過點(diǎn)2對應(yīng)的機(jī)構(gòu)約束奇異位形(圖3a)，但無法到達(dá)點(diǎn)3所對應(yīng)的機(jī)構(gòu)位形(圖3c)，即該機(jī)構(gòu)可以通過點(diǎn)2處約束奇異位形而不產(chǎn)生運(yùn)動(dòng)分岔。同理，當(dāng)機(jī)構(gòu)從圖3d中點(diǎn)3機(jī)構(gòu)位形，保持θ4隨θ1變化的變化率與點(diǎn)2、3所在曲線斜率相同時(shí)，該機(jī)構(gòu)能動(dòng)態(tài)通過點(diǎn)2對應(yīng)的機(jī)構(gòu)約束奇異位形，但無法到達(dá)點(diǎn)1所對應(yīng)的機(jī)構(gòu)位形，即該機(jī)構(gòu)可以動(dòng)態(tài)通過點(diǎn)2處約束奇異位形而不發(fā)生運(yùn)動(dòng)模式改變。

圖3 球面5號(hào)4R機(jī)構(gòu)位形Fig.3 Configuration of No.5 spherical 4R mechanism

從圖3d可知，點(diǎn)1所對應(yīng)的機(jī)構(gòu)位形變換到點(diǎn)3所示機(jī)構(gòu)位形時(shí)，通過在圖3d點(diǎn)2所示位形時(shí)，θ4隨θ1變化的變化率需要發(fā)生突變，從而實(shí)現(xiàn)機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)模式的改變。一般情況下，使機(jī)構(gòu)在運(yùn)動(dòng)中實(shí)現(xiàn)圖3d所示兩種運(yùn)動(dòng)模式的變換，十分的困難?？梢允箼C(jī)構(gòu)處于點(diǎn)2所示奇異位形時(shí)，保持機(jī)構(gòu)靜止不動(dòng)，使得轉(zhuǎn)動(dòng)副R4和R1的轉(zhuǎn)角速度為零，然后控制轉(zhuǎn)動(dòng)副R4與轉(zhuǎn)動(dòng)副R1轉(zhuǎn)動(dòng)實(shí)現(xiàn)機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)模式的變換。

同理可知，當(dāng)式(3)中的系數(shù)A=B=0，或A=C=0，或B=E=0，或C=E=0時(shí)，球面4R機(jī)構(gòu)只具有1種定軸轉(zhuǎn)動(dòng)和1種變軸線轉(zhuǎn)動(dòng)共2種運(yùn)動(dòng)模式。

3.3 球面4R機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)模式(8號(hào)B=C=0)

當(dāng)a12+a41-a34-a23=2kπ,a12-a41-a34+a23=2kπ且θ1=±π或θ4=±π時(shí)，根據(jù)式(2)得到，θ4或θ1為定值，此時(shí)機(jī)構(gòu)不具有固定軸線轉(zhuǎn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)模式。

當(dāng)θ1≠±π,θ4≠±π時(shí)，將8號(hào)球面機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)參數(shù)代入式(3)整理得到B、C為零，A、D、E均不為零，得到的方程為二元四次方程，即

A(t1t4)2+Dt1t4+E=0

(7)

其中

如圖4球面4R機(jī)構(gòu)的3維模型所示，機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)參數(shù)α41=90°、α12=45°、α23=90°、α34=45°。該結(jié)構(gòu)參數(shù)滿足式(4)中的關(guān)系式a12+a41-a34-a23=2kπ,a12-a41-a34+a23=2kπ，如圖4e所示，當(dāng)機(jī)構(gòu)處于約束奇異位形時(shí)，其存在運(yùn)動(dòng)分岔的可能性，但當(dāng)使得θ4隨θ1變化的斜率不發(fā)生突變時(shí)，機(jī)構(gòu)將通過該約束奇異位形且保持運(yùn)動(dòng)不發(fā)生分岔。點(diǎn)3與點(diǎn)6所對應(yīng)的機(jī)構(gòu)位形相同，點(diǎn)1與點(diǎn)5所對應(yīng)的機(jī)構(gòu)位形相同。從圖4e所示點(diǎn)1位形通過點(diǎn)2到達(dá)點(diǎn)3，通過點(diǎn)6到達(dá)點(diǎn)5機(jī)構(gòu)位形，這整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程屬于第1種運(yùn)動(dòng)模式；從圖4e所示點(diǎn)1位形通過點(diǎn)7到達(dá)點(diǎn)6，通過點(diǎn)3、4到達(dá)點(diǎn)5機(jī)構(gòu)位形，這整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程屬于第2種運(yùn)動(dòng)模式。上述兩種運(yùn)動(dòng)模式下，連桿的瞬時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)軸線均隨轉(zhuǎn)角θ1和θ4不斷發(fā)生變化，即8號(hào)球面機(jī)構(gòu)只具有兩種變軸線轉(zhuǎn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)模式。使機(jī)構(gòu)處于奇異位形時(shí)，保持機(jī)構(gòu)靜止不動(dòng)，使得轉(zhuǎn)動(dòng)副R4和R1的轉(zhuǎn)角速度為零，然后控制轉(zhuǎn)動(dòng)副R4與轉(zhuǎn)動(dòng)副R1轉(zhuǎn)動(dòng)實(shí)現(xiàn)機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)模式的變換。

圖4 球面8號(hào)4R機(jī)構(gòu)位形Fig.4 Configuration of No.8 spherical 4R mechanism

同理可知，當(dāng)式(3)中的系數(shù)B=C=0時(shí)，球面4R機(jī)構(gòu)只具有2種變軸線轉(zhuǎn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)模式。

3.4 球面4R機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)模式(14號(hào)B=C=E=0)

當(dāng)a12+a41-a34-a23=2kπ,a12-a41-a34+a23=2kπ,a12+a41+a34+a23=2kπ，且θ1=±π或θ4=±π時(shí)，根據(jù)式(2)得到，θ4或θ1為定值，此時(shí)機(jī)構(gòu)不具有固定軸線轉(zhuǎn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)模式。

當(dāng)θ1≠±π,θ4≠±π時(shí)，將14號(hào)球面機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)參數(shù)代入式(3)整理得到B、C、E為零，A、D均不為零，得到的方程為二元四次方程

t1t4(At1t4+D)=0

(8)

當(dāng)球面4R機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)參數(shù)僅滿足B、C、E為零，A、D均不為零，該式可以分解因式。從而，根據(jù)運(yùn)動(dòng)模式的定義可知，當(dāng)球面4R機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)參數(shù)僅滿足B、C、E為零，球面4R機(jī)構(gòu)恒具有3種運(yùn)動(dòng)模式。兩種為定軸轉(zhuǎn)動(dòng)模式，一種為變轉(zhuǎn)動(dòng)軸線轉(zhuǎn)動(dòng)模式。

如圖5所示，球面4R機(jī)構(gòu)的3維模型機(jī)構(gòu)的結(jié)構(gòu)參數(shù)α41=120°、α12=60°、α23=120°、α34=60°。該結(jié)構(gòu)參數(shù)滿足式(4)中的關(guān)系式，a12-a41+a34-a23=2kπ，a12-a41-a34+a23=2kπ,a12+a41+a34+a23=2kπ。

圖5 球面14號(hào)4R機(jī)構(gòu)位形Fig.5 Configuration of No.14 spherical 4R mechanism

如圖5f所示，當(dāng)機(jī)構(gòu)處于約束奇異位形時(shí)，其存在運(yùn)動(dòng)分岔的可能性，但當(dāng)使得θ4隨θ1變化的斜率不發(fā)生突變時(shí)，機(jī)構(gòu)將通過該約束奇異位形且保持運(yùn)動(dòng)模式不發(fā)生改變。使機(jī)構(gòu)處于奇異位形時(shí)，保持機(jī)構(gòu)靜止不動(dòng)，使得轉(zhuǎn)動(dòng)副R4和R1的轉(zhuǎn)角速度為零，然后控制轉(zhuǎn)動(dòng)副R4與轉(zhuǎn)動(dòng)副R1轉(zhuǎn)動(dòng)實(shí)現(xiàn)機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)模式的變換。

同理可知，當(dāng)式(3)中的系數(shù)A=B=C=0,或A=B=E=0,或A=C=E時(shí)，球面4R機(jī)構(gòu)只具有2種定軸線轉(zhuǎn)動(dòng)和1種變軸線轉(zhuǎn)動(dòng)共3種運(yùn)動(dòng)模式。

3.5 球面4R機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)模式(15號(hào)A=B=C=E=0)

將15號(hào)球面4R機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)參數(shù)代入式(2)，當(dāng)θ1=±π時(shí)，得到0=0，即該式恒成立。即轉(zhuǎn)動(dòng)副R1的轉(zhuǎn)角θ1為±π時(shí)，轉(zhuǎn)動(dòng)副R4的轉(zhuǎn)角θ4可自由轉(zhuǎn)動(dòng)，此時(shí)對應(yīng)球面4R機(jī)構(gòu)連桿可以繞轉(zhuǎn)動(dòng)副R4的軸線做定軸轉(zhuǎn)動(dòng)。當(dāng)θ4=±π時(shí)，將該式整理得到0=0，即該式恒成立。即轉(zhuǎn)動(dòng)副R4的轉(zhuǎn)角θ4為±π時(shí)，轉(zhuǎn)動(dòng)副R1的轉(zhuǎn)角θ1可自由轉(zhuǎn)動(dòng)，此時(shí)對應(yīng)球面4R機(jī)構(gòu)連桿可以繞轉(zhuǎn)動(dòng)副R1的軸線做定軸轉(zhuǎn)動(dòng)。

當(dāng)θ1≠±π,θ4≠±π時(shí)，將15號(hào)球面機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)參數(shù)代入式(3)整理得到A、B、C、E為零，D不為零，得到二元二次方程

t1t4=0

(9)

當(dāng)球面4R機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)參數(shù)僅滿足A、B、C、E為零，D不為零，該式可以分解因式。即t1=0對應(yīng)轉(zhuǎn)動(dòng)副R1的轉(zhuǎn)角θ1為0時(shí)，轉(zhuǎn)動(dòng)副R4的轉(zhuǎn)角θ4可自由轉(zhuǎn)動(dòng)，此時(shí)對應(yīng)球面4R機(jī)構(gòu)連桿可以繞轉(zhuǎn)動(dòng)副R4的軸線做定軸轉(zhuǎn)動(dòng)。t4=0對應(yīng)轉(zhuǎn)動(dòng)副R4的轉(zhuǎn)角θ4為0時(shí)，轉(zhuǎn)動(dòng)副R1的轉(zhuǎn)角θ1可自由轉(zhuǎn)動(dòng)，此時(shí)對應(yīng)球面4R機(jī)構(gòu)連桿可以繞轉(zhuǎn)動(dòng)副R1的軸線做定軸轉(zhuǎn)動(dòng)。

從而可知，當(dāng)球面4R機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)參數(shù)僅滿足A、B、C、E為零，球面4R機(jī)構(gòu)恒具有4種定軸轉(zhuǎn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)模式。

如圖6球面4R機(jī)構(gòu)的3維模型所示，機(jī)構(gòu)的結(jié)構(gòu)參數(shù)α41=90°、α12=90°、α23=90°、α34=90°，其結(jié)構(gòu)參數(shù)滿足式(4)。從圖6g可知，當(dāng)機(jī)構(gòu)處于約束奇異位形時(shí)，其存在運(yùn)動(dòng)分岔的可能性，但當(dāng)使得θ4隨θ1變化的斜率不發(fā)生突變時(shí)，機(jī)構(gòu)將通過該約束奇異位形且保持運(yùn)動(dòng)模式不發(fā)生改變。使機(jī)構(gòu)處于奇異位形時(shí)，保持機(jī)構(gòu)靜止不動(dòng)，使得轉(zhuǎn)動(dòng)副R4和R1的角速度為零，然后控制轉(zhuǎn)動(dòng)副R4與轉(zhuǎn)動(dòng)副R1轉(zhuǎn)動(dòng)實(shí)現(xiàn)機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)模式的變換。

圖6 球面15號(hào)4R機(jī)構(gòu)位形Fig.6 Configuration of No.15 spherical 4R mechanism

綜上所述，可將式(3)的多項(xiàng)式系數(shù)A、B、C、E分別置零，進(jìn)行組合后，得到的結(jié)構(gòu)參數(shù)關(guān)系式，可設(shè)計(jì)具有不同運(yùn)動(dòng)模式特征的球面4R機(jī)構(gòu)。這類球面4R機(jī)構(gòu)所具有的運(yùn)動(dòng)模式如表1所示。表1中Sm為機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)模式數(shù)目，Sf為球面4R機(jī)構(gòu)固定軸線轉(zhuǎn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)模式數(shù)目，Sv為球面4R機(jī)構(gòu)變軸線運(yùn)動(dòng)模式數(shù)目。

表1 具有約束奇異位形的球面4R機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)模式數(shù)目Tab.1 Motion mode of spherical 4R mechanism with constrained singular configuration

根據(jù)表1可知，1～4號(hào)機(jī)構(gòu)只具有1種變軸線轉(zhuǎn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)模式；5、6、9、10號(hào)機(jī)構(gòu)只具有1種定軸線和1種變軸線共2種轉(zhuǎn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)模式；7、8號(hào)機(jī)構(gòu)具有2種變軸線共2種轉(zhuǎn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)模式，11～14號(hào)機(jī)構(gòu)具有1種變軸線、2種定軸線3種轉(zhuǎn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)模式；15號(hào)機(jī)構(gòu)具有4種定軸線轉(zhuǎn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)模式。

4 球面4R機(jī)構(gòu)約束奇異位形瞬時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)軸線

建立如圖7所示的球面4R機(jī)構(gòu)坐標(biāo)系，當(dāng)機(jī)構(gòu)的4個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)副軸線在XOY平面內(nèi)，相交于點(diǎn)O。轉(zhuǎn)動(dòng)副R4的軸線與向量OA重合，轉(zhuǎn)動(dòng)副R1的軸線與向量OB重合。轉(zhuǎn)動(dòng)副R1、R2軸線所在平面Σ12與轉(zhuǎn)動(dòng)副R4、R3軸線所在平面Σ43的交線與OC重合，轉(zhuǎn)動(dòng)副R4繞向量OA轉(zhuǎn)動(dòng)有限角度θ4后，轉(zhuǎn)動(dòng)副R1轉(zhuǎn)動(dòng)有限角度θ1，轉(zhuǎn)動(dòng)副R4、R3軸線所在平面OAC的法線沿Z軸方向，繞轉(zhuǎn)軸R4轉(zhuǎn)動(dòng)π-θ4；轉(zhuǎn)動(dòng)副R1、R2軸線所在平面OBC的法線沿Z軸方向，繞轉(zhuǎn)軸R1轉(zhuǎn)動(dòng)θ1。

圖7 球面4R機(jī)構(gòu)連桿瞬時(shí)軸線幾何關(guān)系Fig.7 Geometric relationship of instantaneous axis of connecting rod of spherical 4R mechanism

平面OAC的法線在OXYZ坐標(biāo)系中為

(10)

平面OBC的法線在OXYZ坐標(biāo)系中為

(11)

平面OAC、OBC法線的共垂線平行于向量

(12)

式(12)可寫成形式

(13)

式(12)為球面4R機(jī)構(gòu)連桿的瞬時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)軸線的方向向量。當(dāng)球面4R機(jī)構(gòu)趨近于奇異位形時(shí)，式(12)的極限值即為球面4R機(jī)構(gòu)趨近于奇異位形時(shí)連桿的瞬時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)軸線。當(dāng)球面4R機(jī)構(gòu)趨近于奇異位形時(shí)c1/c4=±1。因而，約束奇異位形下連桿瞬時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)軸線方向向量式(13)的極限值為

(14)

式(14)可通過幾何方法進(jìn)行驗(yàn)證。如圖7所示OA與轉(zhuǎn)動(dòng)副R4的軸線重合，OB與轉(zhuǎn)動(dòng)副R1的軸線重合。CA為轉(zhuǎn)動(dòng)副R4、R3所在平面Σ43的直線，CB為轉(zhuǎn)動(dòng)副R1、R2所在平面Σ12的直線。OC即為上述兩平面的交線，即球面4R機(jī)構(gòu)連桿的瞬時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)軸線。點(diǎn)A、B均在平面OXY上，點(diǎn)C在平面OXY上的投影為點(diǎn)D，DA垂直于OA，BD垂直于OB。由于CD垂直于AD、CD垂直于OA，且AD垂直于OA，因而根據(jù)轉(zhuǎn)動(dòng)副R4的轉(zhuǎn)角θ4得出∠CAD為π-θ4。同理，根據(jù)轉(zhuǎn)動(dòng)副R1的轉(zhuǎn)角θ1得出∠CBD為π-θ1。

根據(jù)圖7的幾何關(guān)系，可得到

(15)

(16)

(17)

根據(jù)式(15)～(17)可得到

(18)

球面4R機(jī)構(gòu)在運(yùn)動(dòng)分岔時(shí)分3種情況，第1種，兩分岔軌跡均為變軸線運(yùn)動(dòng)模式。第2種，兩分岔軌跡均為定軸線運(yùn)動(dòng)模式。第3種，兩分岔軌跡中一個(gè)為定軸線運(yùn)動(dòng)模式，另外一個(gè)為變軸線運(yùn)動(dòng)模式；計(jì)算分岔運(yùn)動(dòng)軌跡在機(jī)構(gòu)位形趨近于約束奇異位形時(shí)s4/s1的值。結(jié)合上述3種情況由式(14)可知，表1中球面4R機(jī)構(gòu)在趨近于約束奇異位形時(shí)，不同分岔運(yùn)動(dòng)軌跡連桿的瞬時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)軸線均不重合。

5 結(jié)論

(1)提出一種研究球面4R機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)代數(shù)方程可分解因式的條件的方法，全面分析了結(jié)構(gòu)參數(shù)對其運(yùn)動(dòng)模式的影響。

(2)發(fā)現(xiàn)了5類具有約束奇異位形的球面4R機(jī)構(gòu)，其中多模式球面4R機(jī)構(gòu)可分為4類。即具有1種定軸線和1種變軸線共2種轉(zhuǎn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)模式，具有2種變軸線共2種轉(zhuǎn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)模式，具有1種變軸線、2種定軸線3種轉(zhuǎn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)模式和具有4種定軸線轉(zhuǎn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)模式，總共4類多模式球面4R機(jī)構(gòu)。

(3)具有約束奇異位形的球面4R機(jī)構(gòu)處于約束奇異位形時(shí)，雖然其運(yùn)動(dòng)可能產(chǎn)生分岔，但其運(yùn)動(dòng)模式不一定發(fā)生改變。因而，運(yùn)動(dòng)分岔機(jī)構(gòu)與多模式機(jī)構(gòu)不能等同。球面4R機(jī)構(gòu)處于約束奇異位形時(shí)，其連桿的瞬時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)軸線均不重合。