張雅瓊, 郭建都, 徐 陽, 孫 瑜

(中國北方車輛研究所，北京 100072)

穩(wěn)瞄系統(tǒng)作為火控系統(tǒng)中的重要組成部分，是各類車載、機載等動態(tài)武器平臺實現(xiàn)精確打擊的關(guān)鍵前提和基礎(chǔ).實際工程中穩(wěn)瞄系統(tǒng)一般使用設(shè)計簡單且計算量小的傳統(tǒng)PID控制器，但在參數(shù)變化、扭矩波動和不確定的負(fù)載的擾動下傳統(tǒng)PID很難滿足控制精度和抗干擾性的要求.

近年來隨著對分?jǐn)?shù)階微積分理論的研究不斷趨于成熟，分?jǐn)?shù)階PID(Fractional Order，簡稱FOPID)已被廣泛地應(yīng)用于各個領(lǐng)域PIλDμ[1-3].其普遍研究的格式是Podlubny教授提出的[4]，其中可以是任意實數(shù)，傳統(tǒng)PID就是λ=1和μ=1的特殊情況.文獻(xiàn)[5]-[7]中表明分?jǐn)?shù)階控制器具有提高處理參數(shù)不確定性問題的能力以及良好的抗干擾性，可最大程度減少穩(wěn)態(tài)誤差.雖然較傳統(tǒng)PID，分?jǐn)?shù)階PID的5個參數(shù)提高了控制的靈活性，但其復(fù)雜冗長設(shè)計問題，為控制器的實現(xiàn)帶來了困難.因此需要一個數(shù)學(xué)上計算簡單，且能夠提供較好性能的分?jǐn)?shù)階PID控制器設(shè)計方法.

內(nèi)模控制(Internal Model Control，簡稱IMC)是基于數(shù)學(xué)模型的控制策略，由于其設(shè)計簡單，優(yōu)秀的控制特性，所以近年來關(guān)于內(nèi)?？刂频难芯吭絹碓蕉?文獻(xiàn)[8]中將內(nèi)模控制思想融入到PID控制器的設(shè)計中，所設(shè)計的控制器具有更好的調(diào)節(jié)品質(zhì)以及良好的魯棒性和抗干擾性，并且在PLC、智能儀表、總線控制系統(tǒng)中容易實現(xiàn)，有很高的工程應(yīng)用價值.文獻(xiàn)[9]提出一種基于內(nèi)?？刂频姆?jǐn)?shù)階PID，設(shè)計簡單僅有兩個整定參數(shù)且控制效果優(yōu)越.但該法僅適用二階系統(tǒng)，并不適用于裝甲車輛武器控制系統(tǒng)的穩(wěn)瞄系統(tǒng)，因此通過吸取前人的優(yōu)秀成果，文獻(xiàn)[10]提出一種適用于穩(wěn)瞄系統(tǒng)的分?jǐn)?shù)階PID控制器的設(shè)計方法.該方法將內(nèi)?？刂坪头?jǐn)?shù)階控制的優(yōu)點結(jié)合起來，不同于傳統(tǒng)分?jǐn)?shù)階PID的5個待整定參數(shù)，本研究的分?jǐn)?shù)階PID控制器僅含有3個未知參數(shù)，最后這些參數(shù)可通過CRONE控制方法整定.該方法簡化了分?jǐn)?shù)階PID復(fù)雜的整定問題.在Matlab平臺下的仿真實驗，與整數(shù)階PID控制器和分?jǐn)?shù)階PID控制器的進(jìn)行仿真對比，證明本研究的分?jǐn)?shù)階PID控制器在動態(tài)性能、抗干擾性及魯棒性方面具有更好的控制效果.

1 穩(wěn)瞄系統(tǒng)的組成與數(shù)學(xué)模型

穩(wěn)瞄系統(tǒng)的主要功能是保證穩(wěn)定瞄準(zhǔn)線不受運動載體影響，使瞄準(zhǔn)線精確地對準(zhǔn)目標(biāo)中央[11].實際工程中穩(wěn)瞄系統(tǒng)一般由水平和垂直兩個穩(wěn)定系統(tǒng)有機地構(gòu)成，由于穩(wěn)瞄系統(tǒng)中水平向與垂直向穩(wěn)定系統(tǒng)交叉耦合很小，且二者的工作原理及架構(gòu)相同，因此本研究僅針對水平向穩(wěn)瞄系統(tǒng)展開.穩(wěn)瞄系統(tǒng)控制框圖如圖1所示，系統(tǒng)主要由陀螺、控制器、功率放大器、直流電機和負(fù)載組成.陀螺是穩(wěn)瞄系統(tǒng)中的核心部件，當(dāng)運動載體或基座相對于慣性空間有轉(zhuǎn)動時，即有干擾力矩Mf輸入時，陀螺Ge(s)會輸出相應(yīng)的角速度(角位移)信號E，這個信號經(jīng)控制器C(s)和PWM功率放大后送到平臺的穩(wěn)定電機D(s)，穩(wěn)定電機產(chǎn)生相應(yīng)力矩驅(qū)動平臺朝著相對基座轉(zhuǎn)動相反方向轉(zhuǎn)動，直至陀螺信號為零.當(dāng)回路瞄準(zhǔn)目標(biāo)時，即有輸入信號R時，陀螺相對慣性空間也會產(chǎn)生一個角速度(角位移)信號E，同樣，此信號也得經(jīng)過上述環(huán)節(jié)以使瞄準(zhǔn)線精確跟隨瞄準(zhǔn)信號.

圖1 穩(wěn)瞄系統(tǒng)框圖

本系統(tǒng)采用穩(wěn)定性較好的光纖陀螺，陀螺的傳遞函數(shù)為

(1)

式中:Ke為陀螺的放大倍數(shù)，Bω為陀螺的閉環(huán)帶寬，Td為陀螺輸出延遲時間常數(shù).

功率放大器的任務(wù)是將控制信號進(jìn)行放大，使其有足夠大的功率供給電機用以產(chǎn)生所需的力矩，在控制系統(tǒng)中可以簡化為一個比例環(huán)節(jié)Kpwm.

直流力矩電機模型結(jié)構(gòu)如圖2所示，Ua、θ、Ea、Mf、ω分別為電機的輸入電壓、輸出角度、反電動勢、干擾力矩和電機轉(zhuǎn)速，La和Ra為電機總電感和總電阻，Cm和Ce為力矩系數(shù)和電機反電勢系數(shù)，J為電機輸出軸總轉(zhuǎn)動慣量.

圖2 直流電機簡化模型

機械時間常數(shù)Tm和電氣時間常數(shù)Te是直流電機的兩個關(guān)鍵常數(shù)，工程上計算方法如式(2)、式(3)所示.

(2)

(3)

化簡圖2的電機框圖并代入Tm、Te,求得直流電機的輸出力矩/控制電壓的傳遞函數(shù)為

(4)

某特種車輛的水平向穩(wěn)瞄系統(tǒng)的各項參數(shù)如表1所示.

表1 穩(wěn)瞄系統(tǒng)參數(shù)值

將表1的各項參數(shù)代入式(1)～式(4)中，根據(jù)圖1所示系統(tǒng)框圖建立穩(wěn)瞄系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型如圖3所示，R為穩(wěn)瞄系統(tǒng)輸入信號，Y為電機帶動負(fù)載轉(zhuǎn)過角度，Mf為回路干擾力矩.

由圖3可知，陀螺的傳遞函數(shù)為

圖3 穩(wěn)瞄系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型

(5)

被控對象P(s)的傳遞函數(shù)為

(6)

2 控制器設(shè)計的理論背景

2.1 分?jǐn)?shù)階PID

在控制系統(tǒng)中，積分器的數(shù)量越多，雖然跟蹤效果越好，但閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性越差；相反如果微分器的數(shù)量越多，雖然閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性裕度越大，但是會削弱噪聲抑制能力[12].因此，PIλDμ可以作為一些整數(shù)階PID(即PI2D,PID2,PI2D2)之間的折衷控制器.換句話說，分?jǐn)?shù)階PID可以在精度和穩(wěn)定性之間做更好的權(quán)衡.分?jǐn)?shù)階PID控制器的傳遞函數(shù)為

(7)

2.2 內(nèi)?？刂?/h3>

內(nèi)?？刂剖前淹獠孔饔眯盘柕膭恿W(xué)模型植入控制器來構(gòu)成高精度反饋控制系統(tǒng)的一種設(shè)計原理.利用該方法設(shè)計的控制器具有好的抗干擾性和魯棒性.本研究通過內(nèi)?？刂扑枷雭泶罱ǚ?jǐn)?shù)階PID控制器，以簡化PIλDμ控制器繁瑣的參數(shù)整定問題.

內(nèi)?？刂频幕窘Y(jié)構(gòu)如圖4所示，其中P(s)為實際被控過程對象，M(s)為被控過程的數(shù)學(xué)模型，Q(s)為內(nèi)模控制器，R(s)為輸入變量，Y(s)為輸出變量，D(s)為擾動輸入變量.Q(s)和M(s)組合在一起形成的內(nèi)?？刂破鰿IMC(s)，等效反饋控制結(jié)構(gòu)如圖5所示.

圖4 內(nèi)?？刂瓶刂撇呗?/p>

圖5 內(nèi)?？刂频刃Х答伩刂平Y(jié)構(gòu)

(8)

其中，

M(s)=M-(s)M+(s)，

(9)

(10)

2.3 整定規(guī)則

CRONE(Commande Robuste d’Ordre Non Entier)控制法[15]是一種可以對分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)進(jìn)行設(shè)計的頻域方法.根據(jù)理想Bode傳遞函數(shù)以及魯棒性設(shè)計系統(tǒng)時域以及頻域指標(biāo)，例如：系統(tǒng)帶寬、相位裕度等等[14].

對于任何控制器，參數(shù)的整定都是一個難題.本研究采用CRONE控制法[15]進(jìn)行參數(shù)整定.實際中的系統(tǒng)，假設(shè)給定截止頻率ωc和相位裕度φm，以及環(huán)路增益魯棒性要求，可通過以下3個約束方程[8]對控制器進(jìn)行參數(shù)整定.L(jω)為系統(tǒng)開環(huán)頻率特性；C(jω)為控制器頻率特性；P(jω)為系統(tǒng)被控對象頻率特性.

1)截止頻率約束

|L(jωc)|dB=|C(jωc)P(jωc)|dB=0.

(11)

2)相位裕度約束

Arg[L(jωc)]=Arg[C(jωc)P(jωc)]=-π+φm.

(12)

3)環(huán)路增益魯棒性要求Bode圖相位曲線在截止頻率ωc附近是平滑的，即相位對頻率的導(dǎo)數(shù)在ωc處為零.這也意味著系統(tǒng)對環(huán)路增益變化的魯棒性和響應(yīng)的超調(diào)幾乎相同.

(13)

3 控制器設(shè)計方法

3.1 構(gòu)造分?jǐn)?shù)階PID

本文提出分?jǐn)?shù)階PID控制器設(shè)計方法，首先利用內(nèi)?？刂评碚撛O(shè)計內(nèi)模PID減少控制參數(shù)，然后通過增加積分項階次與微分項階次來構(gòu)造分?jǐn)?shù)階PID.控制器的設(shè)計步驟如下：

1)模型分解

由2.2節(jié)內(nèi)?？刂圃砜芍到y(tǒng)被控過程的數(shù)學(xué)模型M(s)=P(s)，且

(14)

2)設(shè)計內(nèi)?？刂破?/p>

(15)

式(15)中：η為濾波器時間參數(shù)，0<η<2.

3)利用內(nèi)?？刂茦?gòu)造分?jǐn)?shù)階PID

由于M(s)=P(s)，故將式(15)和式(6)代入式(8)，可得到內(nèi)模PID控制器

(16)

顯而易見，式(16)為含有一個待整定參數(shù)的普通PID格式，對照式(7)設(shè)計分?jǐn)?shù)階PID格式的控制器CFO-IMC-PID(s)

(17)

此時，基于內(nèi)?？刂频姆?jǐn)?shù)階PID控制器CFO-IMC-PID(s)含有3個待整定參數(shù)η、λ、μ.

4)控制器整定

取式(17)對應(yīng)控制器CFO-IMC-PID(s)作為圖3穩(wěn)瞄系統(tǒng)的控制器，則系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為

L(s)=Ge(s)CFO-IMC-PID(s)P(s).(18)

令s=jω，對式(18)加以2.3節(jié)中的3條約束可得方程組

(19)

對于帶有分?jǐn)?shù)階次的虛數(shù)j可用式(20)處理：

(20)

給定截止頻率ωc與相位裕度φm,可求得η、λ、μ的唯一值.上述非線性方程組(19)可利用Matlab中的fslove( )函數(shù)求解.

3.2 分?jǐn)?shù)階微分算子的近似逼近

為了獲得式(17)的分?jǐn)?shù)階PID控制器，通常需要某種方法對分?jǐn)?shù)階微分算子sμ和s-γ近似逼近.目前最常采用的方法是改進(jìn)Oustaloup濾波器算法(Modified Oustaloup Filter Algorithm，簡稱MOFA)[16].由于濾波器不能實現(xiàn)全頻段的微分算子的近似，所以可以選擇感興趣的頻段(ωb,ωh)和需要近似的階次2N+1來對微分算子進(jìn)行近似逼近.

MOFA濾波器傳遞函數(shù)為

(21)

其增益和零極點為

(22)

根據(jù)經(jīng)驗計算得b=10,d=9.假設(shè)近似微分階次為0.5，頻帶為(0.01,100)，則α=0.5,ωb=0.01,ωh=100.

雖然MOFA可以在幅值和相角的頻率特性有很好的近似，但它有一定的局限性：濾波器階數(shù)只能為奇數(shù)(即2N+1)，且只能研究對稱的頻率范圍(即ωbωh=1).因此采用另一個具有良好近似特性的算法——最優(yōu)有理逼近算法(Optimal Rational Approximation Algorithm,簡稱ORAA)[17-18], 它可以消除MOFA的限制，且不會增加算法的復(fù)雜性.該算法通過數(shù)值最優(yōu)軌跡獲得帶增益的方法來改善系統(tǒng)性能.

ORAA濾波器傳遞函數(shù)為

(23)

其增益和零極點為

(24)

式(24)中：α為分?jǐn)?shù)階微分算子階次；M為濾波器階次；γ為頻帶增益，γ>1表示頻帶變寬，0<γ<1表示頻帶變窄，當(dāng)γ=1頻帶無變化.假設(shè)近似微分階次為0.5，頻帶為(0.01,100)，則α=0.5，ωb=0.01，ωh=100.頻帶增益γ=35，濾波器階次為M=11.兩個濾波器的Bode近似曲線如圖6所示，H為s0.5原始曲線.

從圖6 Bode曲線中可以得知，無論是微分算子的幅度頻率特性還是相位頻率特性，最優(yōu)有理逼近算法均優(yōu)于改進(jìn)的Oustaloup算法，因此本文選用前者對微分算子進(jìn)行合理化近似.

圖6 兩個濾波器Bode曲線對比圖

3.3 分?jǐn)?shù)階算子對閉環(huán)響應(yīng)的影響分析

為了進(jìn)一步研究微分算子對系統(tǒng)閉環(huán)響應(yīng)的影響，通過使控制器的λ和μ分別在(0.1,1.9)的范圍內(nèi)以0.1的步長進(jìn)行遍歷獲得相應(yīng)系統(tǒng)的bode圖，如圖7所示.

從bode圖7可以看出：λ主要作用于系統(tǒng)的低頻部分，而μ主要作用于系統(tǒng)的高頻部分.當(dāng)λ變化時系統(tǒng)的截止頻率和相位裕度幾乎沒有變化，但μ變化時系統(tǒng)的截止頻率和相位裕度卻改變了，這是由于設(shè)計的截止頻率處于高頻部分，因此改變μ會對截止頻率和相位裕度造成影響.此外，微分算子s±μ的頻率傳遞函數(shù)為

圖7 開環(huán)系統(tǒng)bode圖

(25)

其中增益和相角為

|G(jω)|dB=±20μlog(ω)，

(26)

(27)

4 實驗驗證

4.1 動態(tài)性能分析

為驗證基于內(nèi)?？刂频姆?jǐn)?shù)階PID控制器(簡稱FO-IMC-PID)對圖3穩(wěn)瞄系統(tǒng)的控制效果，與整數(shù)階PID控制器(簡稱IO-PID)和分?jǐn)?shù)階PD(簡稱FO-PD)作仿真對比(由于內(nèi)模PID和分?jǐn)?shù)階PI無法對系統(tǒng)取得穩(wěn)定控制，因此不做分析).根據(jù)2.3節(jié)整定規(guī)則知，給定截止頻率ωc與相位裕度φm可對本設(shè)計的式(17)所示FO-IMC-PID控制器進(jìn)行整定.利用試湊法確定截止頻率ωc與相位裕度φm；當(dāng)給定ωc=500rad/s、φm=40°時系統(tǒng)性能較好.將這兩個參數(shù)代入方程組(19)，解得控制器的參數(shù)為η=0.0064、λ=1.7645、μ=1.4251.

FO-IMC-PID傳遞函數(shù)為

(28)

用2.3節(jié)中整定規(guī)則的3個約束條件設(shè)計的整數(shù)階PID和分?jǐn)?shù)階PD的傳遞函數(shù)如下式(29)所示：

IO-PID傳遞函數(shù)為

(29)

FO-PD傳遞函數(shù)為

CFO-PD(s)=0.438 7+0.141 8s0.840 4.

(30)

圖8為各個控制器下系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)對比曲線.從圖中可以看出：本文設(shè)計的控制器FO-IMC-PID 可明顯提升系統(tǒng)的響應(yīng)速度，相較IO-PID超調(diào)也有一定減少.表2中控制器的動態(tài)性能指標(biāo)值可以看出：該控制器上升時間和調(diào)節(jié)時間明顯優(yōu)于其他兩個控制器，雖然FO-PD得超調(diào)量優(yōu)于該控制器，但20.10%超調(diào)量滿足特種車輛的動態(tài)性能指標(biāo)要求[19].綜合來看該控制器可以提供更好的控制性能.這在圖9中的開環(huán)傳遞函數(shù)的頻率響應(yīng)可以看出，該控制器具有更高的帶寬，這也證明了該控制器具有更快的響應(yīng)性能.

表2 各控制器動態(tài)性能指標(biāo)

圖8 系統(tǒng)階躍響應(yīng)對比圖

圖9 開環(huán)系統(tǒng)Bode圖

4.2 抗干擾性分析

在t=0.5 s時，在圖3所示穩(wěn)瞄系統(tǒng)M處加入負(fù)載干擾，系統(tǒng)的輸出響應(yīng)如圖10所示.由圖10可以看出：面對干擾FO-PD控制器已經(jīng)無法取得穩(wěn)定控制，IO-PID與本文設(shè)計的FO-IMC-PID仍然可以取得穩(wěn)定控制.但相較于IO-PID，F(xiàn)O-IMC-PID能夠快速地對干擾作出響應(yīng)，且震蕩幅度較小.因此FO-IMC-PID具有更好的抗干擾性能.

圖10 擾動系統(tǒng)單位響應(yīng)曲線

本文的研究對象為車載穩(wěn)瞄系統(tǒng)，該系統(tǒng)所處的工作環(huán)境相較于機載與艦載瞄準(zhǔn)系統(tǒng)更為復(fù)雜，會受到自身設(shè)備以及外界的擾動的干擾.因此好的抗干擾性，對車載穩(wěn)瞄系統(tǒng)至關(guān)重要.本文設(shè)計控制器可有效增強車載穩(wěn)瞄系統(tǒng)的抗干擾性.

4.3 魯棒性分析

在實際的控制中往往通過忽略部分影響小的參數(shù)，用近似模型來表示一個系統(tǒng)，因此模型具有不確定性，具體可表現(xiàn)為參數(shù)攝動.設(shè)計的控制器應(yīng)在模型存在不確定性的情況下，依然可以保持穩(wěn)定和良好的控制特性.通過被控對象P(s)的增益在±20%攝動來觀察FO-IMC-PID控制器控制下系統(tǒng)的魯棒性，與其他控制器對比.

P(s)增益增大20%傳遞函數(shù)為

(31)

P(s)增益減小20%傳遞函數(shù)為

(32)

從圖11攝動系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)曲線可知，在被控對象P(s)的增益±20%攝動時各個控制器都可以滿足穩(wěn)定響應(yīng).為了量化分析各個控制器的魯棒性能，引入誤差積分準(zhǔn)則作為評價控制器魯棒性的指標(biāo).

誤差積分準(zhǔn)則是用系統(tǒng)期望輸出與實際輸出或主反饋信號之間的偏差的某個函數(shù)的積分式表示的一種性能指標(biāo).性能指標(biāo)是衡量控制系統(tǒng)性能優(yōu)良度的一種尺度.本設(shè)計選用平方誤差積分準(zhǔn)則(ISE)、絕對誤差積分準(zhǔn)則(IAE)、以及時間乘絕對誤差積分準(zhǔn)則(ITAE)這3個誤差積分性能指標(biāo)來衡量系統(tǒng)的魯棒性.其計算公式如下

(33)

(34)

(35)

式(33)、式(34)與式(35)中:e(t)表示實際輸出與期望輸出的偏差；t為時間.

采用誤差積分指標(biāo)來衡量系統(tǒng)魯棒性時，體現(xiàn)為上述各類指標(biāo)值越小系統(tǒng)的魯棒性越好.表3為系統(tǒng)參數(shù)攝動時不同控制器控制下的系統(tǒng)誤差積分值.由表3中可以看出，F(xiàn)O-IMC-PID控制器使得各個指標(biāo)值最小，與圖11一樣，顯現(xiàn)出FO-IMC-PID控制器優(yōu)良的魯棒性.

圖11 攝動系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)曲線

表3 系統(tǒng)魯棒性評價指標(biāo)

4.4 樣機驗證

對以FO-IMC-PID為控制器的某周掃鏡的穩(wěn)瞄系統(tǒng)原理樣機為實驗對象進(jìn)行臺架試驗.控制芯片選擇32位DSP28335，利用CCS采集陀螺信號，數(shù)據(jù)的采集頻率為1 kHz,橫軸每個單位代表0.001 s,縱軸每個單位代表0.002 mil,階躍響應(yīng)與抗干擾響應(yīng)曲線如圖12和圖13所示.

圖12 硬件平臺單位階躍響應(yīng)曲線

圖13 硬件平臺干擾響應(yīng)曲線

由以上硬件試驗結(jié)果可以看出，F(xiàn)O-IMC-PID控制器無論在動態(tài)響應(yīng)和抗干擾性方面都有著顯著的效果，由圖13(a)可以求出傳統(tǒng)PID控制的系統(tǒng)精度為0.097 mil(1σ),由圖13(b)可求出分?jǐn)?shù)階PID控制下的系統(tǒng)的精度是0.021 mil(1σ),可以看出，改用分?jǐn)?shù)階PID控制后，系統(tǒng)抗干擾性提升將近4倍.

5 結(jié)論

針對穩(wěn)瞄系統(tǒng)提出一種基于內(nèi)模控制的分?jǐn)?shù)階PID設(shè)計方法.首先利用內(nèi)?？刂圃順?gòu)造一個含有一個整定參數(shù)的內(nèi)模PID；然后，通過增加積分項和微分項的分?jǐn)?shù)階次，使內(nèi)模PID轉(zhuǎn)換為含有三個可調(diào)參數(shù)的分?jǐn)?shù)階PID；最后，根據(jù)CRONE控制方法的3個約束，實現(xiàn)控制器參數(shù)的魯棒整定，克服了參數(shù)整定的盲目性.并利用在低頻和高頻具有很好近似效果的最優(yōu)有理逼近法對控制器的分?jǐn)?shù)階微分算子進(jìn)行逼近.Matlab仿真實驗與硬件試驗表明，提出的方法設(shè)計簡單有效，相較傳統(tǒng)PID在動態(tài)性能、抗干擾性以及魯棒性方面均有更好的控制效果，具有實際的工程應(yīng)用價值.