余 天，林 方，姚 欣，齊建起，張志友，聶 婭，王 磊，朱建華

(四川大學(xué) 物理學(xué)院,四川 成都 610065)

在本科物理及相關(guān)專業(yè)培養(yǎng)中，靜磁場是“電磁學(xué)”和“電動力學(xué)”課程教學(xué)的基本內(nèi)容.在教學(xué)中靜磁場通常采取與靜電場進行類比的方式展開.例如，在介紹無源單連通場域的靜磁場時，常類比靜電場引入磁標(biāo)勢，進而將此類靜磁問題化歸為已在靜電學(xué)中深入討論過的靜電拉普拉斯方程邊值問題.然而在類似靜電多極矩展開的靜磁多極矩展開教學(xué)中，國內(nèi)教學(xué)資料通常僅限于介紹直角坐標(biāo)表示的靜磁矢勢多極矩展開[1-4]，少見與靜電球諧多極矩展開呼應(yīng)的靜磁球諧多極矩展開介紹，也鮮有關(guān)于磁標(biāo)勢在靜磁多極矩展開中應(yīng)用的討論.

多極矩展開可有兩種情況：場點位于有限源區(qū)外部的外部多極矩展開和場點包圍在源區(qū)內(nèi)部的內(nèi)部多極矩展開[5].實際教學(xué)中主要介紹外部多極矩展開，給出的一般適用情況為：源分布在有限空間中其線度R遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于待求場點到源(中心)的距離，此時取原點在源分布中心附近，可將遠(yuǎn)源場點處電磁勢函數(shù)展為收斂級數(shù).靜磁外部球諧展開即在球坐標(biāo)系下將滿足上述條件的遠(yuǎn)源場點處靜磁場的勢函數(shù)展為關(guān)于場點距離冪和球諧函數(shù)的收斂級數(shù).本文綜合國外相關(guān)探討[5-7]先介紹靜磁標(biāo)勢的外部球諧多極矩展開，再分析靜磁矢勢的外部球諧多極矩展開.其中靜磁矢勢外部球諧多極矩展開的分析采用了2種不同的方法： 1)基于遠(yuǎn)源場點處的磁場既可由磁標(biāo)勢表示也可用磁矢勢表示，從靜磁標(biāo)勢的外部球諧多極矩展開出發(fā)分析得到慣用的靜磁矢勢外部球諧多極矩展開表示；2)從遠(yuǎn)源場點的磁矢勢出發(fā)，借由德拜勢表示的靜磁矢勢引入角動量算符直接獲得靜磁矢勢外部球諧多極矩展開慣用表示.

1 靜磁標(biāo)勢的外部球諧多極矩展開

考慮靜磁外部多極矩展開時，電流源總是分布在原點附近的有限源區(qū)空間V′中，而且待求場點在源區(qū)外部，因此待求場域總是單連通空間，在其上可以引入靜磁標(biāo)勢φ(r)，有

H(r)=-?φ(r)

(1)

對于磁導(dǎo)率為μ的簡單介質(zhì)，靜磁場相關(guān)的麥克斯韋方程組和本構(gòu)關(guān)系分別為：

(2)

B=μH

(3)

由此得到場點r處的磁感應(yīng)強度B(r)與該點處的靜磁標(biāo)勢φ(r)滿足關(guān)系：

B(r)=-μ?φ(r)

(4)

注意到有

?2(r·B)=r·?2B+2?·B=r·?2B

(5)

我們可得到關(guān)于標(biāo)量(r·B)的泊松方程：

?2(r·B)=-μr·(?×J)δ(r-r′)

(6)

其形式解不難類比于靜電標(biāo)勢泊松方程的庫侖積分而寫出，即

(7)

(8)

(r?r′) (9)

其中Ω=(θ,φ)和Ω′=(θ′,φ′)分別代表場點r和源點r′坐標(biāo)的角量部分.將其代入靜磁標(biāo)勢方程并對場點距離直接積分得到

(10)

其中積分系數(shù)：

(11)

2 從磁標(biāo)勢出發(fā)求靜磁外部球諧多極矩展開

數(shù)學(xué)上遠(yuǎn)源的單連通場點r處的靜磁場B(r)既可借由磁標(biāo)勢φ(r)刻畫也可等效由磁矢勢A(r)表示：

-μ?φ(r)=B(r)=?×A(r)

(12)

基于此我們由靜磁標(biāo)勢的外部球諧多極矩展開來求磁矢勢外部球諧多極矩展開形式.

上式左側(cè)給出

(r?r′) (13)

我們注意到球諧函數(shù)滿足如下關(guān)系：

(14a)

(14b)

引入關(guān)于場點的角動量算符：

(15)

不難將式(13)改寫為

(r?r′) (16)

換言之，我們找到了源區(qū)外部遠(yuǎn)源場點r處磁矢勢的一種表示：

(r?r′) (17)

這就是慣用靜磁矢勢外部球諧多極矩展開式.

3 靜磁矢勢的球諧多極矩展開的直接分析

磁標(biāo)勢的引入是有條件的，而任意場點都可定義磁矢勢.故而直接求靜磁矢勢外部球諧多極矩展開具有更普遍意義.

源區(qū)V′中恒定電流J(r′)在其外部遠(yuǎn)源場點r處所激勵靜磁場對應(yīng)磁矢勢可以取為

(18)

類似于靜磁標(biāo)勢情況容易將上式展為級數(shù)形式：

A(r)=

(r?r′) (19)

為了由式(19)出發(fā)獲得慣用靜磁矢勢外部球諧多極矩展開式，我們注意到任意矢量場總可分解為環(huán)向場(Toroidal Field)、極向場(Poloidal Field)和梯度場三部分[8-11].具體而言，我們總可將靜磁矢勢分解為

(20)

其中{ψ,χ}是德拜(P. Debye)在分析電磁輻射時最早引入的，故稱為德拜勢[8].對于靜磁問題采用庫侖規(guī)范，?·A=0，通常是方便的.此時磁矢勢無散，故上述分解中聯(lián)系梯度場的標(biāo)勢總可取為零，φ=0.再考慮到磁矢勢借由旋度聯(lián)系磁感應(yīng)強度，而極向場無旋對磁感應(yīng)強度沒有貢獻，因此德拜勢中不妨取χ=0.換言之，庫侖規(guī)范下的靜磁勢可取為純環(huán)向場，也即有

(21)

(22)

(23)

容易得到靜磁矢勢滿足

(24)

基于上式我們可以在磁矢勢表述中引入角動量算符:

A=

(r?r′) (25)

對于作用于源點的角動量算符

(26)

由球諧函數(shù)的完備性可知

(27)

具體到這里討論的外部多極矩展開，因為場域與源區(qū)無重疊，故有

(28)

進而得到

A=

(29)

其中反映源分布特性的積分系數(shù)為

(30)

利用矢量運算關(guān)系：

J·(r′×?′)=-(r′×J)·?′

(31)

(32)

(33)

再由矢量運算關(guān)系：

?′·(r′×J)=-r′·(?′×J)

(34)

容易發(fā)現(xiàn)

(35)

4 討論與總結(jié)

首先，應(yīng)該指出的是將電流密度J按球坐標(biāo)分解并利用前述式(19)可直接得到靜磁矢勢形如靜電外部球諧展開的級數(shù)表示.不難發(fā)現(xiàn)這一形式也滿足按場點距離冪與球諧函數(shù)階展為逐項遞減的級數(shù)，并且級數(shù)中積分系數(shù)也只與源區(qū)電流分布特性有關(guān)，然而這一形式并不是慣用的靜磁矢勢外部球諧展開式.這主要是人們對磁場的認(rèn)識最初是類比于電場采用磁荷觀點解釋磁現(xiàn)象所致.磁矢勢可以追溯到1845年紐曼(F. Neumann)在借助安培的方法分析電磁感應(yīng)定律時提出的“電動力學(xué)勢”[12]，而基于磁荷觀點，高斯(J. Gauss)在1839年已利用球諧展開分析得出地磁場主要源自地球內(nèi)部[13].有鑒于靜磁標(biāo)勢及其多極矩分析已有較多成熟應(yīng)用，在磁矢勢球諧多極矩展開中沿用基于靜磁標(biāo)勢的球諧磁多極矩自然得到磁矢勢球諧多極矩展開的慣用形式.其次，靜磁標(biāo)勢外部球諧多極矩展開呼應(yīng)了靜電標(biāo)勢外部多極矩展開[14-16].盡管現(xiàn)在人們已經(jīng)認(rèn)識到激勵磁標(biāo)勢的磁荷不是客觀的物理存在，但仍可以在單連通無源區(qū)域建立起靜磁標(biāo)勢與激勵靜磁場的恒定電流分布間的正確關(guān)系，即式(8).這區(qū)別于磁標(biāo)勢通常應(yīng)用中只直接與磁荷相關(guān)聯(lián)的情形，豐富了靜磁標(biāo)勢的應(yīng)用.第三，通常電磁學(xué)和電動力學(xué)中矢量分析的基礎(chǔ)是亥姆霍茲定理，即任意矢量場總可唯一確定地分解為橫場和縱場.利用德拜勢分解矢量場進一步拓展了矢量場分解的內(nèi)容，其核心在于任一橫場還可以進一步分解為環(huán)向場和極向場.最后，介紹靜磁外部球諧多極矩展開有助于向?qū)W生展示學(xué)科內(nèi)分支間聯(lián)系.例如，通常量子力學(xué)和原子物理課程中才涉及的角動量算符自然地出現(xiàn)在靜磁矢勢外部球諧多極矩展開中，不僅生動展現(xiàn)了算符作為運算工具的數(shù)學(xué)含義，也潛在的提示著我們磁矩與角動量間存在深刻聯(lián)系.

本文討論了靜磁球諧多極矩展開，給出了靜磁標(biāo)勢外部球諧多極矩展開和慣用的靜磁矢勢外部球諧多極矩展開.這些內(nèi)容作為電磁學(xué)和電動力學(xué)課程的拓展，不僅有助于豐富矢量分析和多極矩分析的內(nèi)容，深化學(xué)生對靜磁標(biāo)勢及其應(yīng)用的理解，還能展示物理學(xué)科內(nèi)部不同課程間聯(lián)系，提示我們進一步挖掘知識間的相互聯(lián)系.