耿志超 趙紀(jì)坤

（鄭州大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，河南 鄭州 450066）

0 引言

高等數(shù)學(xué)是一門重要的大學(xué)基礎(chǔ)課程。物理、化學(xué)、機械、建筑及人工智能等理工學(xué)科，都需有高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)才能夠進行深入的學(xué)習(xí)和研究。人文社會科學(xué)也需要借助高等數(shù)學(xué)知識轉(zhuǎn)換視角、融入理性思考，從而帶來新發(fā)現(xiàn)。然而，高等數(shù)學(xué)具有高度抽象性、嚴(yán)密邏輯性等特點。這使得許多大學(xué)生在學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)時常常感到晦澀難懂、因而缺乏興趣，甚至懼怕。作為承擔(dān)高等數(shù)學(xué)教學(xué)任務(wù)的一線教師，要保證教學(xué)效果需要在“夯實專業(yè)素質(zhì)”和“激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)熱情”兩個方面下功夫。

在專業(yè)素質(zhì)上，要做到“實力過硬”。具體表現(xiàn)為，一方面，要具備扎實的數(shù)學(xué)專業(yè)知識，并不斷地充實自己的數(shù)學(xué)知識庫。另一方面，要清楚地了解涵蓋小學(xué)、中學(xué)、大學(xué)以及研究生階段的完整數(shù)學(xué)體系，了解各個階段的學(xué)生數(shù)學(xué)思維方式和數(shù)學(xué)能力要求。特別是，隨著中學(xué)教育改革的深入以及高等教育的普及化，高等數(shù)學(xué)與初等數(shù)學(xué)之間的界限逐漸模糊，中學(xué)教材中逐漸出現(xiàn)一些高等數(shù)學(xué)中的基礎(chǔ)知識[1]。這就要求教師在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中，適時地從高等數(shù)學(xué)的角度重新審視一些中學(xué)數(shù)學(xué)問題，這樣既能提高教學(xué)效果，又能與學(xué)生產(chǎn)生共鳴。比如，關(guān)于不等式的證明，中學(xué)多用放縮法、數(shù)學(xué)歸納法、反證法、分析法以及導(dǎo)數(shù)法與函數(shù)單調(diào)性等方法[2]；而高等數(shù)學(xué)中除了用導(dǎo)數(shù)法與函數(shù)單調(diào)性外，還常用微分中值定理、泰勒展開式以及利用柯西不等式、伯努利不等式等特殊不等式的結(jié)論來證明不等式。

在激發(fā)大學(xué)生學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的熱情上，作者認(rèn)為可以考慮以下幾個方面。

1 生動的課堂教學(xué)

課堂是教師傳授知識的最重要場所，高效的課堂教學(xué)是保證教學(xué)質(zhì)量的必要條件。講課對教師而言是一門藝術(shù)，講課技巧和藝術(shù)對數(shù)學(xué)教師而言尤為重要。如何才能將枯燥深奧的數(shù)學(xué)知識生動形象地講出來，是對數(shù)學(xué)教師的最高要求。

筆者認(rèn)為，講課要做到“生動”：首先，需要注意語言表達。盡量用簡潔明了的語言講解數(shù)學(xué)定義、公式及定理等，忌諱語言表達啰唆、詞不達意。經(jīng)常有這樣的情況發(fā)生，教師已經(jīng)花了很長時間講解某個知識點，學(xué)生仍一頭霧水。究其原因在于，教師可能對相關(guān)知識點沒有深層次的理解或無法用簡潔的語言對該知識點進行表述。前者需進一步修煉“內(nèi)功”，后者需提升“外力”。筆者的經(jīng)驗是，每當(dāng)講到較難的知識點時，會有意識地觀察學(xué)生的神情變化。一旦發(fā)現(xiàn)多數(shù)學(xué)生的臉上呈現(xiàn)困惑之意，就會提醒自己此處沒有講透徹，要及時改用更簡單的語言來表述，并在課后重新審視對相關(guān)知識點的理解是否真正抓住了本質(zhì)。比如，在講泰勒公式時，曾經(jīng)有學(xué)生問道，泰勒公式形式如此復(fù)雜，到底是要揭示什么現(xiàn)象。筆者突然意識到，可能自己過于注重公式本身地講解了，而沒明確指出“泰勒公式實質(zhì)是用簡單的多項式函數(shù)近似相對復(fù)雜的函數(shù)”。

其次，需要注意語調(diào)語速的變化。盡管給大學(xué)生講課不必像給小學(xué)生講課那樣聲情并茂，但適當(dāng)?shù)刈兓Z調(diào)語速還是必要的，這樣有助于調(diào)節(jié)課堂氛圍。如果教師整節(jié)課始終保持不變的平和語調(diào)語速，可能會使學(xué)生感覺平淡，甚至可能“催眠”一些學(xué)生。筆者的做法是，當(dāng)看到有學(xué)生注意力不集中時，就故意提高嗓門用以提醒；當(dāng)講解到重要知識點時，又故意降低語速拉長聲音用以引起學(xué)生的重視。

筆者認(rèn)為，講課要做到“形象”：需要注意將數(shù)學(xué)知識與日常生活相結(jié)合，多用生活例子來打比方。這樣可以使學(xué)生輕松理解相關(guān)數(shù)學(xué)原理。比如，在講復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)數(shù)的鏈?zhǔn)椒▌t和不定積分的湊微分法則時，筆者常用收到朋友送的生日禮物和為朋友準(zhǔn)備生日禮物來打比方。求復(fù)合函數(shù)y=f[u（x）]的導(dǎo)數(shù)，如同收到朋友送的生日禮物后，迫不及待地打開盒子——對外函數(shù)求導(dǎo)數(shù)f'[u（x）]，卻發(fā)現(xiàn)里面還有個小盒子，接著打開小盒子——對內(nèi)函數(shù)求導(dǎo)數(shù)u'（x），終于精美的禮品展現(xiàn)在了面前，很是感動！而計算不定積分∫f（u（x））u'（x）dx，又如同為朋友準(zhǔn)備生日禮物，先用小盒子裝起來∫f（u（x））du（x），因擔(dān)心在運送的過程中禮物受損，再把小盒子裝進了一個大盒子中。再比如，在講到格林公式時，筆者常用外表與內(nèi)心之間的關(guān)系來打比方。格林公式的左端是沿曲線封閉曲線L進行積分，如同人的外表；格林公式的右端是對L包圍的平面區(qū)域D進行積分，如同人的內(nèi)心。格林公式連接了L上的曲線積分與D內(nèi)的二重積分，這就如同一個人的外表與內(nèi)心是相伴相隨的。既擁有美麗的外表，又擁有善良的內(nèi)心，是每個人的愿望。但是，當(dāng)父母沒有給自己帶來美麗的外表時，也要時刻保持一顆善良的心。

2 熱烈的課后討論

課后輔導(dǎo)是輔助課堂教學(xué)的有效手段。教師課后輔導(dǎo)可以采取批改作業(yè)、答疑、與學(xué)生談心等多種方式。但筆者認(rèn)為，最有效的方式是，借助一些典型題目叫學(xué)生發(fā)表不同意見，定期進行討論，從而提高學(xué)生學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的熱情。這盡管會占用教師的部分業(yè)余時間，但對提高學(xué)生學(xué)習(xí)效果很有作用。筆者的做法是，專門建立了班級微信群，定期圍繞相關(guān)數(shù)學(xué)問題進行討論。比如，在初學(xué)用精確定義（∈-N說法）證明數(shù)列極限問題時，學(xué)生常常無法準(zhǔn)確地確定N的值。針對此種情況，筆者精選了一道題目[3]：用定義證明數(shù)列｝的極限等于1，供學(xué)生討論。 許多學(xué)生給出了自己的證明方法，其中一種有代表性的錯誤證法如下：

這種證法表面上看起來沒問題，實質(zhì)上是錯誤的。因為，當(dāng)ε≤1時，上面選擇的沒有意義。產(chǎn)生這種錯誤的原因是，證明過程中不恰當(dāng)?shù)姆糯?，?dǎo)致放大后的量的極限不再等于零了，自然地不會再恒小于∈了。 通過討論，學(xué)生普遍認(rèn)識到了，在利用定義證明數(shù)列極限時，鑒于N的值的不唯一性，為了更容易地確定N的值，可以在保證數(shù)列通項與極限值之差的絕對值的極限是無窮小量的前提下進行適當(dāng)放大。

再比如，在求分段函數(shù)在分界點處的導(dǎo)數(shù)時，一般的思路是：先分別利用定義求出該點處的左導(dǎo)數(shù)和右導(dǎo)數(shù)，再驗證左導(dǎo)數(shù)與右導(dǎo)數(shù)是否相等，從而確定函數(shù)在該點處的可導(dǎo)性。不過曾經(jīng)就有同學(xué)對此提出了不同意見，他認(rèn)為還有其他更有效的求導(dǎo)數(shù)方法。筆者首先肯定了該同學(xué)的探究精神，然后在班級微信群里給出了如下題目[4]：

筆者的評價是，這道題采用上面這種方法來求解是正確的，但是它不具有通用性。這種方法是基于導(dǎo)數(shù)與導(dǎo)函數(shù)的極限之間的關(guān)系進行了。事實上，可以證明右導(dǎo)數(shù)與導(dǎo)函數(shù)的右極限之間存在如下關(guān)系：

同樣地，左導(dǎo)數(shù)與導(dǎo)函數(shù)的左極限之間也存在類似關(guān)系。但是上面的結(jié)論的逆命題不正確。

通過課后的討論，調(diào)動了學(xué)生學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的積極性，也培養(yǎng)了學(xué)生的探索研究精神。

3 豐富的數(shù)學(xué)文化熏陶

數(shù)學(xué)文化是高等數(shù)學(xué)密不可分的組成部分。在高等數(shù)學(xué)的教學(xué)中融入諸如名人故事、人文風(fēng)情、典故悖論等數(shù)學(xué)文化以及人生哲理，不僅可以使枯燥乏味的高等數(shù)學(xué)課變得妙趣橫生，也能傳承數(shù)學(xué)文化價值，進而提高學(xué)生的數(shù)學(xué)乃至文化素養(yǎng)。比如，在講到費馬原理時，筆者曾向?qū)W生講到，費馬被譽為“業(yè)余數(shù)學(xué)家之王”。他的職業(yè)是律師，數(shù)學(xué)研究是業(yè)余愛好。費馬在解析幾何、概率論、微積分、光學(xué)等領(lǐng)域都做出了很大貢獻。費馬最大貢獻是開辟了數(shù)學(xué)分支-數(shù)論。他在數(shù)論方面的成果是巨大的，其中費馬大定理、費馬小定理影響深遠(yuǎn)。此外，筆者還提到，費馬有句名言“我確信已找到了一個極佳的證明，但書的空白太窄，寫不下”。在介紹完費馬的生平后，筆者看到許多學(xué)生的臉上洋溢著喜悅之情，熱情高漲。再比如，在講解定積分時，筆者融入了人生哲理[5]：一個函數(shù)在給定閉區(qū)間上的定積分，就如同人的一生，一個人由生到死的積分就是他的總價值，人的一生怎樣度過才有意義？無非就是延伸“生命的長度”或增大“生命的寬度”。所有的生命從起點到終點的積分都為零，所以不要在意結(jié)果如何，生命的意義在于過程。保持平和積極心態(tài)，看淡世事滄桑。

4 全面認(rèn)識高等數(shù)學(xué)的應(yīng)用性

作為基礎(chǔ)學(xué)科，數(shù)學(xué)往往不能在短期內(nèi)產(chǎn)生經(jīng)濟價值，這使得人們對其應(yīng)用性往往認(rèn)識不足。許多大學(xué)生在接觸高等數(shù)學(xué)這門課時，也常常提出疑問“高等數(shù)學(xué)在將來工作中能用上嗎？”。改變這種狀況，需要教師在課堂教學(xué)中不能僅停留在講授理論知識上，還要對高等數(shù)學(xué)廣闊應(yīng)用前景進行介紹，使大學(xué)生全面地認(rèn)識高等數(shù)學(xué)的應(yīng)用性。然而，如果教師只是泛泛地講“數(shù)學(xué)無處不在，滲透到日常生活的方方面面”等，學(xué)生沒有直觀感受，效果不佳。首先，借助具體的實例來說明，常常會產(chǎn)生良好效果。筆者曾在課堂上舉過下面的例子，華為公司當(dāng)年用高出俄羅斯公司5倍的價格，聘請了俄羅斯的一位非常優(yōu)秀的年輕數(shù)學(xué)家。平時，這位數(shù)學(xué)家就是自己埋頭琢磨自己的事情，也沒有太多的交流，就這樣默默無聞干了10幾年，也沒有做出什么成果。在所有人都要絕望時，突然一天，這位年輕數(shù)學(xué)家拿出來一套自己的算法，用在當(dāng)時剛出現(xiàn)的3G通信上。華為公司立刻拿到上海去測試，大獲成功。其次，組織、引導(dǎo)學(xué)生參加數(shù)學(xué)建?；顒?。筆者的經(jīng)驗是，在高等數(shù)學(xué)的教學(xué)過程中，結(jié)合實際教學(xué)內(nèi)容，為學(xué)生提供或設(shè)置一些與其他學(xué)科及生產(chǎn)生活密切相關(guān)的開放性題目，引導(dǎo)學(xué)生通過建立數(shù)學(xué)模型，找到解決實際問題的方法和對策。通過這樣的活動，學(xué)生能夠切身體驗如何運用數(shù)學(xué)知識來解決實際問題，從而激發(fā)學(xué)習(xí)的興趣。

5 結(jié)語

本文從課堂教學(xué)、課后輔導(dǎo)、融入數(shù)學(xué)文化和全面認(rèn)識數(shù)學(xué)的應(yīng)用性四個方面，結(jié)合個人工作經(jīng)驗，探討了如何激發(fā)大學(xué)生學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的熱情，從而提高高等數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量。然而，教育是一個綜合系統(tǒng)工程。教書與育人是教育工作的核心要義和永恒主題，二者密不可分。筆者認(rèn)為，在高等數(shù)學(xué)教學(xué)上，“教書”即如何有效傳授數(shù)學(xué)知識，提高教學(xué)效果，培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬎季S能力及探究創(chuàng)新能力；而“育人”則是要給予學(xué)生正能量，引導(dǎo)其形成正確的價值觀、積極自信的人生態(tài)度以及強烈的家國情懷。