浙江省嘉興市秀洲區(qū)王店鎮(zhèn)建設(shè)中學(xué) (314011) 洪 安浙江省海寧市丁橋中學(xué) (314400) 陳振鋒

一、試題呈現(xiàn)與評(píng)價(jià)

(一)原題呈現(xiàn)

圖1

如圖1，在△ABC中， ∠BAC=30°,∠ACB=45°,AB=2,點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿AB方向運(yùn)動(dòng),到達(dá)點(diǎn)B時(shí)停止運(yùn)動(dòng).連接CP，點(diǎn)A關(guān)于直線CP的對(duì)稱點(diǎn)為A′，連接A′C，A′P.在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，點(diǎn)A′到直線AB距離的最大值是；點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)B時(shí)，線段A′P掃過(guò)的面積為.

(二)試題評(píng)價(jià)

1.動(dòng)靜結(jié)合，圖形美觀

本題的三角形是一個(gè)內(nèi)角為30度和45度的鈍角三角形，在初中階段，學(xué)生對(duì)于這兩個(gè)角度非常熟悉，在考場(chǎng)上看到這樣的角度和圖形，學(xué)生會(huì)有親切感.當(dāng)我們過(guò)點(diǎn)B做AC的垂線后，就分割成了兩個(gè)非常熟悉的直角三角形，從而已知一邊，可以快速求出其他線段的長(zhǎng)度.平時(shí)學(xué)習(xí)過(guò)程中，要多關(guān)注特殊的基本圖形，學(xué)會(huì)欣賞圖形的美妙之處.

P是線段AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)A關(guān)于直線CP的對(duì)稱點(diǎn)為A′，圖形的軸對(duì)稱變換是一種非常美觀的構(gòu)圖方式.題中的構(gòu)圖方式，有動(dòng)有靜，動(dòng)靜結(jié)合.學(xué)生能在這個(gè)變化中找到動(dòng)和靜，變與不變，將為解題帶來(lái)思路.整個(gè)圖形線條簡(jiǎn)潔，構(gòu)圖直觀，清晰美觀，讓學(xué)生體會(huì)幾何圖形獨(dú)特的美感.

2.線面結(jié)合，題目簡(jiǎn)潔

本題是2021年浙江省嘉興市初中數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)水平考試填空題的最后一題，兩小問(wèn)，共4分，問(wèn)題簡(jiǎn)潔，兩小問(wèn)具有遞進(jìn)關(guān)系，分別求的是點(diǎn)到直線的距離和線段掃過(guò)的面積.點(diǎn)動(dòng)到線動(dòng)，線動(dòng)又可以進(jìn)一步求解面積，這是我們平時(shí)學(xué)習(xí)的流程，從學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)出發(fā)，為通過(guò)動(dòng)點(diǎn)來(lái)發(fā)展教學(xué)內(nèi)容，提供了教學(xué)材料，讓學(xué)生經(jīng)歷知識(shí)的發(fā)展建構(gòu)過(guò)程，這為我們平時(shí)的教學(xué)提供了思路.這樣的教學(xué)流程，必然能提升學(xué)生的直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng).

二、試題求解

(一)重視審題，獲取思路

審題是解題的第一步，從審題的過(guò)程中獲取多少信息，產(chǎn)生多少知識(shí)間的聯(lián)想，將直接影響到題目的解決.在△ABC中，∠BAC=30°,∠ACB=45°,AB=2,直接可以得到另外兩邊的長(zhǎng)度.點(diǎn)A關(guān)于直線CP的對(duì)稱點(diǎn)為A′，可以得到△ACP?△A′CP，P在動(dòng)的過(guò)程中，線段A′C=AC，根據(jù)動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)，可以知道A′的軌跡是一條弧，這為我們后續(xù)的解題提供了方向.第一問(wèn)要求A′到直線AB距離的最大值，可以聯(lián)想到垂徑定理，即A′C垂直于直線AB時(shí)，所求距離最大.第二問(wèn)要求線段A′P掃過(guò)的面積，我們已經(jīng)確定A′的軌跡是一條弧，從而可以確定所求面積是圓心角為90度扇形的一部分，通過(guò)對(duì)P點(diǎn)特殊位置——起始點(diǎn)和終點(diǎn)的作圖，可以確定圖形，從而求解.

(二)重視畫(huà)圖，以靜制動(dòng)

解決幾何題，特別是動(dòng)點(diǎn)軌跡問(wèn)題，作圖是關(guān)鍵，可以幫助思考，輔助計(jì)算.在動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題中，要學(xué)會(huì)以靜制動(dòng)，根據(jù)題目條件的特點(diǎn)，作出符合題意的圖形，通過(guò)對(duì)圖形的直觀分析、判斷，以此來(lái)進(jìn)一步求解.本題中學(xué)生一定要嘗試大膽作圖，現(xiàn)將輔助圖形呈現(xiàn)如下：

第一問(wèn)輔助圖(見(jiàn)圖2，圖3，圖4)：

圖2 圖3 圖4

第二問(wèn)輔助圖(見(jiàn)圖5，圖6)：

圖5 圖6

有了圖形就能獲得直觀的感受，從而突破本題帶來(lái)的困擾.通過(guò)對(duì)圖形的分析和計(jì)算，就能獲得答案.作圖是一個(gè)呈現(xiàn)思維的過(guò)程，讓思維可視化，也讓教師進(jìn)一步了解學(xué)生的知識(shí)掌握情況和思維發(fā)展情況.精準(zhǔn)作圖，助力輕松解題.

(三)重視計(jì)算，獲得答案

三、深度挖掘

(一)再探基本圖形

本題的基本圖形是一個(gè)45度和30度的鈍角三角形，對(duì)于此圖形課本中涉及較少，能不能基于兩個(gè)特殊角，利用該圖形得到一些常用的結(jié)論，成了筆者在解決此題后思考的第一個(gè)問(wèn)題.

基本圖形7，過(guò)點(diǎn)B做AC的垂線，分割成兩個(gè)特殊的直角三角形，這兩個(gè)直角三角形在平時(shí)的課堂中研究較多，三邊的關(guān)系比較清楚，故在本文中，不再多加敘述.

圖7 圖8

圖形8，作AN=AB，將△ABC分割成一個(gè)頂角為30度的等腰三角形，則另一個(gè)三角形與它本身相似，此處，我們可以進(jìn)一步探究頂角為30度角等腰三角形模型的三邊關(guān)系.

圖9

圖形9，在一個(gè)頂角為120度的等腰三角形中，作FD=FQ，得到一個(gè)頂角為30度的等腰三角形和一個(gè)內(nèi)角為30度和45度的三角形，即△ABC～△EQD,從等腰三角形DEF的邊角關(guān)系可以進(jìn)一步探究分割出的三角形邊的關(guān)系.

(二)再作圖形變換

本題的圖形變化是軸對(duì)稱變換，還可以研究圖形的平移和旋轉(zhuǎn)，在此將進(jìn)一步通過(guò)圖形旋轉(zhuǎn)，探索在這個(gè)過(guò)程中，得到的一些結(jié)論，也啟發(fā)學(xué)生在平時(shí)的學(xué)習(xí)中，學(xué)會(huì)多角度的看待問(wèn)題，探究問(wèn)題，總結(jié)問(wèn)題.

圖10

變式1 如圖10，在△ABC中，∠BAC=30°,∠ACB=45°,AB=2,點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿AB方向運(yùn)動(dòng),到達(dá)點(diǎn)B時(shí)停止運(yùn)動(dòng).連接CP, 將△ACP繞著點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°得到△AC′P′.設(shè)AP的長(zhǎng)度為t，求：(1)PP′的長(zhǎng)度(用t表示)；(2)求△PC′P′面積的最大值.

圖11

變式2 如圖11，在△ABC中，∠BAC=30°, ∠ACB=45°,AB=2,點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿AB方向運(yùn)動(dòng),到達(dá)點(diǎn)B時(shí)停止運(yùn)動(dòng).連接CP，將△ACP繞著點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)和逆時(shí)針都旋轉(zhuǎn)30°得到△AC′P′和△AC″P″.設(shè)AP的長(zhǎng)度為t，求：

(1)∠P′PP″的度數(shù)是否為定值，若為定值，求出其度數(shù)；

(2)求△P′PP″的面積(用t表示)；

(三)再求變式結(jié)論

在有了兩個(gè)變式之后，可以嘗試去計(jì)算結(jié)果，培養(yǎng)空間觀念、運(yùn)算能力和模型思想.

在求解的過(guò)程中，學(xué)生綜合運(yùn)用了各種知識(shí)，對(duì)題目有了更深刻的認(rèn)識(shí)，提高了個(gè)人的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，培養(yǎng)了探究精神.

四、教學(xué)思考

(一)關(guān)注課標(biāo)，挖掘教材

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011年版)》指出：“教師教學(xué)應(yīng)該以學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展水平和已有的經(jīng)驗(yàn)為基礎(chǔ)，面向全體學(xué)生.”本題的背景源于課本，但是又高于課本.教材中對(duì)于特殊的直角三角形都有所涉及，但是組合型的三角形又沒(méi)有直接呈現(xiàn)，啟發(fā)我們?cè)诮虒W(xué)過(guò)程中多探索新的特殊圖形.《課標(biāo)》中對(duì)圖形的軸對(duì)稱提出了明確的要求，而本題是在動(dòng)態(tài)中的軸對(duì)稱，相比于以往的題目，難度有所增加，但是考查的知識(shí)點(diǎn)又都是我們所熟悉的.如何利用課本，又能讓學(xué)生挖掘出高于課本的素材，需要教師不斷的引導(dǎo)，師生共同的探索.

(二)關(guān)注方法，抽象模型

數(shù)學(xué)的練習(xí)，要做一題，會(huì)一類，這就需要在每道題后及時(shí)反思和總結(jié)方法.如對(duì)于本題來(lái)說(shuō)，首先如何解決軌跡問(wèn)題值得反思，初中階段，軌跡一般分為兩類，線段和弧.本題中確定軌跡為弧后，考慮利用割補(bǔ)法解決問(wèn)題.其次遇到點(diǎn)到直線的距離問(wèn)題如何思考，結(jié)合A′的軌跡為弧，轉(zhuǎn)化到了垂徑定理，從而解決問(wèn)題.我們也可以把上述的兩種思考，提煉出兩種模型，遇到相似的問(wèn)題時(shí)，就往這樣的角度去思考.在平時(shí)的教學(xué)過(guò)程中，我們要多引導(dǎo)學(xué)生對(duì)圖形進(jìn)行探究，通過(guò)歸納反思，提煉模型，培養(yǎng)模型意識(shí).

(三)關(guān)注思想，提升素養(yǎng)

數(shù)學(xué)思想蘊(yùn)含在數(shù)學(xué)知識(shí)形成、發(fā)展和應(yīng)用的過(guò)程中，是數(shù)學(xué)知識(shí)和方法在更高層次上的抽象與概括.而數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的積累是提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的手段，這是師生積極參與、交往互動(dòng)、共同發(fā)展的過(guò)程.在本題的解決過(guò)程中，學(xué)生的數(shù)感、空間觀念、幾何直觀、推理能力、運(yùn)算能力與模型能力等得到進(jìn)一步的提升.學(xué)生需要通過(guò)分析題意，利用幾何直觀構(gòu)建圖形，在此過(guò)程中學(xué)生的作圖能力得到進(jìn)一步發(fā)展.通過(guò)題意，利用所學(xué)，充分利用已知的模型，將復(fù)雜的問(wèn)題進(jìn)行轉(zhuǎn)化.這一過(guò)程中，學(xué)生也充分體會(huì)到了數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想對(duì)于解題的幫助.在平時(shí)的教學(xué)過(guò)程中，教師要強(qiáng)調(diào)幾何直觀和模型思想的重要性，要善于引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)模型，聯(lián)想模型，應(yīng)用模型.教師只有在平時(shí)的課堂中不斷的滲透數(shù)學(xué)思想方法，學(xué)生才能在學(xué)習(xí)活動(dòng)中感知核心素養(yǎng)，從而提升個(gè)人的數(shù)學(xué)素養(yǎng).